dai so 9

Chuyên đề: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Tác giả: Nguyễn Văn Anh Giáo viên Trường THCS Hoài Đức 2.3 – Mô tả phân tích các giải pháp 2.3.1. Hệ thống một số sai lầm thường gặp khi giải bài toán phương trình vô tỉ. Qua tham khảo bài làm của học sinh khi tham gia các kì thi cấp huyện, cấp tỉnh cũng như bài làm của học sinh trong quá trình học tập thì các em thường mắc phải các sai lầm sau: Thứ nhất: Không xác định hoặc xác định sai lầm điều kiện Ví dụ 1a: Giải phương trình: H

Thể loại Giáo án bài giảng Khác (Toán học)

Số trang 1

Ngày tạo 10/6/2019 7:56:25 PM +00:00

Loại tệp docx

Kích thước 1.37 M

Tên tệp chuyen de pt vo ti docx

Download

Chuyên đề:

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

Tác giả: Nguyễn Văn Anh

Giáo viên Trường THCS Hoài Đức

2.3 – Mô tả phân tích các giải pháp

2.3.1. Hệ thống một số sai lầm thường gặp khi giải bài toán phương trình vô tỉ.

Qua tham khảo bài làm của học sinh khi tham gia các kì thi cấp huyện, cấp tỉnh cũng như bài làm của học sinh trong quá trình học tập thì các em thường mắc phải các sai lầm sau:

Thứ nhất: Không xác định hoặc xác định sai lầm điều kiện

Ví dụ 1a: Giải phương trình:

Học sinh giải:

(3)

Giải phương trình có

Vậy phương trình có tập nghiệm là .

* Sai lầm trong cách giải là:

+ Không tìm điều kiện của là .

+ Khi biến đổi tương đương từ phương trìnhđến phương trìnhhọc sinh chưa đặt điều kiện cho:

+ Khi kết luận nghiệm chưa thoả mãn các điều kiện nên nghiệm chưa chính xác.

Lời giải đúng:

Điều kiện: . Khi đó:

* Với Ta có:.

(3)

Giải phương trình có

Kết hợp điều kiện:suy ra tập nghiệm của phương trình là:

Ví dụ 1b: Giải phương trình:

Học sinh mắc sai lầm:

Ta có:

Trang 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

Học sinh đã mắc sai lầm:

+ Bài giải hoàn hảo nhưng với thì vế trái không xác định nguyên nhân học sinh không xác định điều kiện trước khi tiến hành biến đổi.

Lời giải đúng: Điều kiện: .

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

Có học sinh giải như sau: Điều kiện :

Khi đó: (1)

Với , khi đó: Phương trình vô nghiệm

* Sai lầm trong cách giải là: Cho nên học sinh đã giải sai điều kiện nhầm lẫn khi giải phương trình tích.

Học sinh phải nhớ rằng và

Lời giải đúng: Điều kiện:

* Với Tương tự lời giải.

* Với Phương trình được nghiệm đúng

Vậy nghiệm của phương trình là

- Trong khi giải phương trình dạng : . Học sinh thường biến đổi như sau :

Sau khi giải được nghiệm học sinh không thử lại với phương trình mà khẳng định ngay nghiệm của là nghiệm của hoặc nếu kiểm tra thì chỉ kiểm tra điều kiện không quan tâm đến điều kiện

Ví dụ 3: Giải phương trình:

Trang 1

Để khắc phục sai lầm cho học sinh ta hướng dẫn học sinh giải theo phương pháp sau: =g(x) (n N)

* Đối với phương trình bậc lẻ:

Học sinh thường biến đổi như sau :

Sau khi giải xong phương trình học sinh kết luận luôn nghiệm của chính là nghiệm của .

Sai lầm của học sinh là cho rằng và là hai phương trình tương đương nhưng thực ra chúng không tương đương vì đã thay thế h(x) bởi

Ví dụ 4: Giải phương trình:

Thử lại chỉ có là thoả mãn. Vậy nghiệm của phương trình là :

Để khắc phục sai lầm cho học sinh ta nhấn mạnh rằngvà không tương đương. Phương trình là hệ quả của phương trình nên khi giải xong phải thử lại nghiệm vào phương trình

* Đối với phương trình dạng :, học sinh thường biến đổi như sau:

Do đó để khắc phục sai lầm cho học sinh ta cần nhấn mạnh rằng muốn bình phương hai vế thì hai vế phải không âm thì mới có hai phương trình tương đương

Thực chất (1)

Nhiều HS còn mắc sai lầm ngây thơ

Thứ hai: Sai lầm khi sử dụng các phép biến đổi căn thức, biến đổi phương trình tương đương.

a/ Khi sử dụng hằng đẳng thức thực hiện phép biến đổi đưa thừa số ra ngoài (hoặc vào trong dấu căn)

Ví dụ 5: Giải phương trình:

Lời giải: Ta có:

Trang 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm và .

Học sinh có thể kết luận với và là hai nghiệm thoả mãn của phương trình. (Bài giải đã thiếu mất nghiệm )

Lời giải đúng:

Ta có:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: ; và

Chú ý rằng:

Lời giải trên đã bỏ sót mất trường hợp .

b/ Khi vận dụng qui tắc khai phương của một tích, một thương

Ví dụ 6: Giải phương trình:

Lời giải: Ta có:

Điều kiện: , khi đó ta có: và . Do đó:

. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Học sinh mắc sai lầm:

+ Không xét đầy đủ các trường hợp trong điều kiện để thực hiện vận dụng các qui tắc khai phương cả tích hoặc của thương. Cụ thể chưa xét trường hợp và

Lời giải đúng: Điều kiện: hoặc

Ta có: + Với . Phương trình được nghiệm đúng

+ Với . Khi đó:

Vì , khi đó ta có: và . Do đó:

. Suy ra phương trình vô nghiệm.

+ Với . Khi đó:

Trang 1

Vì, khi đó ta có: và . Do đó:

. Suy ra phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:

c/ Khi trục căn thức hoặc khử mẫu biểu thức dưới dấu căn

Ví dụ 7: Giải phương trình:

Lời giải: Ta có:

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Học sinh mắc sai lầm:

+ Khi khử mẫu đưa thừa số ra ngoài dấu căn không để ý đến giá trị tuyệt đối nên bỏ sót một trường hợp.

Chú ý rằng:

Lời giải đúng: Điều kiện: hoặc

Ta có: + Với . Ta có:

. (Không thỏa mãn điều kiện). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

+ Với . Ta có:

. (Thỏa mãn điều kiện). Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:

d/ Khi thực hiện các phép biến đổi tương đương

Ví dụ 8: Giải phương trình:

Lời giải: Ta có:

Trang 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

Học sinh mắc sai lầm:

+ Bài giải hoàn hảo nhưng với thì vế trái có giá trị dương, vế phải có giá trị âm nên không phải là nghiệm của phương trình nguyên nhân sai lầm ở chỗ:

thực chất phép biến đổi thay (Sử dụng điều kiện của bài toán) là phép hệ quả chứ không phải biến đổi tương đương.

Lời giải đúng:Ta có:

Thử lại ta thấy thỏa mãn, vậy phương trình đã cho có nghiệm:

Thứ ba: Sai lầm trong khi đặt ẩn phụ

+ Học sinh sau khi đặt ẩn phụ thường quên không đặt điều kiện cho ẩn phụ

Ví dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Lời giải: Đặt

Vậy

Xét phương trình có:

Phương trìnhcó nghiệmphương trìnhcó nghiệm

Vậy với thì phương trình có nghiệm.

Học sinh mắc sai lầm:

+ Với ta có phương trình : (Vô lý).

Phương trình vô nghiệm. Nguyên nhân:

Phương trìnhcó nghiệmphương trìnhcó nghiệm

Mà thực chất phương trìnhcó nghiệmphương trìnhcó nghiệm t

+ Học sinh có đặt điều kiện cho ẩn phụ nhưng mới chỉ là điều kiện cần chưa phải là điều kiện đủ.

Lời giải đúng:

Đặt . Điều kiện:

Vậy

Xét phương trình có:

Phương trìnhcó nghiệmphương trìnhcó nghiệm và ít nhất một nghiệm

Trang 1

(Vì hệ vô nghiệm)

Vậy với thì phương trình có nghiệm.

Ví dụ 10: Tìm m để cho phương trình sau có nghiệm:

Lời giải: Đặt

Học sinh thường mắc sai lầm

Phương trìnhcó nghiệm khi phương trìnhcó nghiệm là đủ. Nhưng đó chỉ là điều kiện cần , ta phải tìm điều kiện của .

Gợi ý lời giải đúng: Ta có :

Phương trìnhcó nghiệm khi phương trìnhcó nghiệm thỏa.

Thứ tư: Sai lầm khi sử dụng bất đẳng thức để giải phương trình vô tỉ

Ví dụ 11: Giải phương trình:

Lời giải: Điều kiện: Đặt .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky cho hai bộ số , ta được: .Dấu “=” xảy ra .

Do đó thay cho việc giải phương trình , ta giải phương trình

Xét phương trình :

(Thỏa mãn điều kiện )

Vậy nghiệm của phương trình là :

Học sinh thường mắc sai lầm

+ Thực ra không là nghiệm của phương trình . Nguyên nhân:

+ Với điều kiện , phép biến đổi:

là phép biến đổi hệ quả chứ không phải là phép biến đổi tương đương, nên làm xuất hiện nghiệm ngoại lai

Lời giải đúng:

Điều kiện: Đặt .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky cho hai bộ số , ta được: .Dấu “=” xảy ra .

Trang 1

Do đó thay cho việc giải phương trình , ta giải phương trình

Xét phương trình : . Điều kiện :

Vậy nghiệm của phương trình là :

2.3.2. Định hướng một số phương pháp giải bài toán phương trình vô tỉ.

P1. Phương pháp nâng lên lũy thừa

Cơ sở kiến thức về căn thức liên quan:



 Tổng quát:

 (chuyển về dạng 2)

 (1)

và ta sử dụng phép thế: ta được phương trình : (2)



Trên cơ sở lý thuyết kiến thức về căn thức ta định hướng phương pháp giải bằng cách nâng lên lũy thừa của một số dạng bài toán về phương trình vô tỉ sau:

a) Dạng 1: