DAP AN DE THI MON TOAN KHOI A NAM 2002 dap an de thi mon toan khoi a nam 2002 pdf

bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o

------------------------------------

Kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2002

§¸p ¸n vµ thang ®iÓm

-

m«n to¸n khèi A

C©u

I

ý

1

Néi dung

§

H

C§

1,5 ®

3

2

m =1⇒ y = −x + 3x

1,0 ®

∑



^x1 ⁼⁰

2

TËp x¸c ®Þnh ∀x ∈ R . y'= −3x + 6x = −3x(x − 2) ,

y'= 0 ⇔



0,25 ®

0,5®

x₂= 2



y"= −6x + 6 = 0,

y"= 0 ⇔ x = 1

B¶ng biÕn thiªn

x

y

− ∞

0

1

2

+ ∞

'

−

+

0

−

0

,5 ®

0,5 ®

"

+

0

−

+∞

lâm

U

4

CT

0

2

C§

låi

− ∞



x = 0

x = 3

y = 0 ⇔

,

y(−1) = 4





§

å thÞ:

y

4

2

0

,25 ®

0,5 ®

0

1

2

3

-

1

x

(

ThÝ sinh cã thÓ lËp 2 b¶ng biÕn thiªn)

1

3

2

3

2

3

2

I

2

C¸ch I. Ta cã − x + 3x + k − 3k = 0 ⇔ −x + 3x = −k + 3k .

0,5 ®

∑

3 2 3 2

Æt a = −k + 3k Dùa vµo ®å thÞ ta thÊy ph−¬ng tr×nh − x + 3x = a

3 2

§

cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ 0 < a < 4 ⇔ 0 < −k + 3k < 4

0,25 ®

−1 < k < 3







0 ≠ k < 3

k +1)(k − 4k + 4) > 0







0 ≠ k < 3



⇔

⇔ 

_k ≠ 0 ∧ k ≠ 2

2

(

k +1)(k − 2

)

> 0

C¸ch II. Ta cã

−

-

---------- -----------

3 2 3 2 2 2

x + 3x + k − 3k = 0 ⇔ (x − k) x + (k − 3)x + k − 3k = 0

[

]

2 2

0,25®

0

,25 ®

cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ f (x) = x + (k − 3)x + k − 3k = 0

cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c k

2







∆ = −3k + 6k + 9 > 0

 −1 < k < 3

k ≠ 0 ∧ k ≠ 2

0

,25 ®

0,25 ®

⇔





2

k + k − 3k + k − 3k ≠ 0

3

1

,0 ®

1,0 ®

∑

C¸ch I.



^x1 ⁼^m⁻¹

'

2

'

0,25 ®

y = −3x + 6mx + 3(1− m ) = −3(x − m) + 3 ,

y = 0 ⇔



x₂= m +1



Ta thÊy x ≠ x vµ y' ®æi dÊu khi qua x vµ x ⇒ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i

1

2

1

2

0

,25 ®

0,25 ®

x vµ x .

1

2

y = y(x ) = −m + 3m − 2 vµ y = y(x ) = −m + 3m + 2

1

2

Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ

0

,25 ®

0,25 ®

2

M₁

(

m −1;−m + 3m − 2

x − m +1 y + m − 3m + 2

)

vµ M ₂

(

m +1;−m + 3m + 2

)

lµ:

2

0,25 ®

=

⇔ y = 2x − m + m

²'

2

4

2

---------- -----------

0,25 ®

C¸ch II. y = −3x + 6mx + 3(1− m ) = −3(x − m) + 3 ,

Ta thÊy

2 2

'= 9m + 9(1− m ) = 9 > 0 ⇒ y'= 0 cã 2 nghiÖm x ≠ x

1 2

∆

0

,25 ®

vµ y' ®æi dÊu khi qua x vµ x ⇒ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x vµ x .

1

2

1

2

3

2

3

2

Ta cã y = −x + 3mx + 3(1− m )x + m − m



1

3

m 



2

0

,25 ®

0,25®

=

 x −

(

− 3x + 6mx + 3 − 3m

)

+ 2x − m + m.



3 

2

0

,25 ®

0,25 ®

Tõ ®©y ta cã y = 2x − m + m vµ y = 2x − m + m .

VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ lµ y = 2x − m + m .

1

2

II

1.

0,5®

1,0 ®

∑

2

3

2

3

Víi m = 2 ta cã log x + log x +1 − 5 = 0

2

iÒu kiÖn x > 0. §Æt t = log x +1 ≥ 1 ta cã

3

§

0

,25 ®

0,5 ®



^t1 ⁼⁻³

2

t −1+ t − 5 = 0 ⇔ t + t − 6 = 0

⇔

.



t₂= 2



2

±

3

0,25 ®

0,5 ®

t = −3 (lo¹i) , t = 2 ⇔ log x = 3 ⇔ log x = ± 3 ⇔ x = 3

1

2

3

±

3

tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0.

x = 3

(

ThÝ sinh cã thÓ gi¶i trùc tiÕp hoÆc ®Æt Èn phô kiÓu kh¸c)

2

.

1,0 ®

∑

2

3

2

3

log x + log x +1 − 2m −1 = 0 (2)

2

iÒu kiÖn x > 0. §Æt t = log x +1 ≥ 1 ta cã

3

2 2

§

0

,25 ®

0,25 ®

t −1+ t − 2m −1 = 0 ⇔ t + t − 2m − 2 = 0 (3)

3

2

3

x ∈[1,3 ] ⇔ 0 ≤ log x ≤ 3 ⇔ 1 ≤ t = log x +1 ≤ 2.

3

VËy (2) cã nghiÖm ∈[1,3 ] khi vµ chØ khi (3) cã

0

,25 ®

0,25 ®

2

nghiÖm ∈

[

1,2

]

. §Æt f (t) = t + t

-

---------- ----------

C¸ch 1.

Hµm sè f (t) lµ hµm t¨ng trªn ®o¹n

[

1;2

]

. Ta cã f (1) = 2 vµ f (2) = 6.

1;2

2

0

,25 ®

0,25 ®

Ph−¬ng tr×nh t + t = 2m + 2 ⇔ f (t) = 2m + 2 cã nghiÖm ∈

[

]







f (1) ≤ 2m + 2

f (2) ≥ 2m + 2

2 ≤ 2m + 2

⇔

⇔ 0 ≤ m ≤ 2.



⇔

2m + 2 ≤ 6

0,25 ®



C¸ch 2.

TH1. Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm t ,t tháa m·n 1 < t ≤ t < 2 .

1

2

1

2

^t1 ⁺^t

2

1

2

0

,25 ®

Do

= − < 1 nªn kh«ng tån t¹i m .

2

TH2. Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm t ,t tháa m·n

1

2

t ≤ 1 ≤ t ≤ 2 hoÆc 1 ≤ t ≤ 2 ≤ t

1

2

1

2

⇔

−2m

(

4 − 2m

)

≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2.

0

,25 ®

0,25 ®

(

ThÝ sinh cã thÓ dïng ®å thÞ, ®¹o hµm hoÆc ®Æt Èn phô kiÓu kh¸c )

III

1.

1

,25 ®

,0 ®

1,0 ®

∑



cos3x + sin3x 

 = cos2x + 3. §iÒu kiÖn sin 2x ≠ −

1+ 2sin 2x 

1

2

0

0,25 ®

5

sin x +





cos3x + sin3x 

1+ 2sin 2x 

 sin x + 2sin x sin 2x + cos 3x + sin 3x 





Ta cã 5sin x +

 = 5



1+ 2sin 2x



sin x + cos x − cos3x + cos3x + sin3x 

 (2sin 2x +1)cos x 

=

5

 =5

_ = 5cos x



1+ 2sin 2x





1+ 2sin 2x

2

0,25 ®

VËy ta cã: 5cos x = cos2x + 3 ⇔ 2cos x − 5cos x + 2 = 0

1

π

cos x = 2 (lo¹i) hoÆc cos x = ⇒ x = ± + 2kπ (k ∈ Z).

2

3

π

5π

3

V× x ∈

(

0;2π

)

nªn lÊy x =

vµ x =

. Ta thÊy x , x tháa m·n ®iÒu

1

2

1

2

3

0

,25 ®

0,25 ®

1

2

π

5π

kiÖn sin 2x ≠ − . VËy c¸c nghiÖm cÇn t×m lµ: x =

vµ x =

.

1

2

3

(

ThÝ sinh cã thÓ sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi kh¸c)

2

.

y

1

,0 ®

1,0 ®

∑

8

3

1

-

1

0

1

2

3

5

x

-

2

Ta thÊy ph−¬ng tr×nh | x − 4x + 3 |= x + 3 cã 2 nghiÖm x = 0 vµ x = 5.

1

2

MÆt kh¸c | x − 4x + 3 |≤ x + 3 ∀ x ∈

[

0;5

]

. VËy

0

,25 ®

0,25 ®

5

1

3

2

S =

(

x + 3− | x − 4x + 3|

)d x =

(

x + 3 − x + 4x − 3

)dx +

(

x + 3 + x − 4x + 3 )d x

∫

0

1

5

2

+

(

x + 3 − x + 4x − 3

)d x

∫

3

1

3

5

2 2 2

(− x + 5x )d x + (x − 3x + 6 )d x + (− x + 5x )d x

∫ ∫

1 3

S =

∫

0

1

3

5



1

3

5

2



 1

3

2



 1

 3

3

5

2



S = − x + x  +  x − x + 6x + − x + x 

0,25 ®

0,25®





 3

3 26 22 109

(®.v.d.t)

6



0

1

3

1

6

S =

+

=

0

,25®

3

(

NÕu thÝ sinh vÏ h×nh th× kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i nªu bÊt ®¼ng thøc

2

|

x − 4x + 3 |≤ x + 3 ∀ x ∈

[

0;5

]

)

IV

1.

1

®

1®

∑

4

S

N

I

0

,25 ®

0,25 ®

M

C

A

K

B

Gäi K lµ trung ®iÓm cña BC vµ I = SK ∩ MN . Tõ gi¶ thiÕt

1

MN = BC = , MN // BC ⇒ I lµ trung ®iÓm cña SK vµ MN .

2

a

2

⇒

Ta cã ∆SAB = ∆SAC ⇒ hai trung tuyÕn t−¬ng øng AM = AN

⇒

∆AMN c©n t¹i A ⇒ AI⊥MN .



(

SBC

AI ⊂

AI⊥MN

)

⊥

(

AMN

)

0

,25 ®

0,25 ®





(

)

∩

(

AMN

)

= MN

)

MÆt kh¸c

⇒ AI⊥

(

SBC

)

⇒ AI⊥SK .

(

AMN





a 3

2

Suy ra ∆SAK c©n t¹i A ⇒ SA = AK =

.

2

3

a

4

a

=

4 2

a

2

SK = SB − BK =

−

2



SK 

 =

2 

3a

a

a 10

⇒

AI = SA − SI = SA − 

−

=

.



4

8

4

0

,25 ®

0,25 ®

2

1

2

a 10

16

Ta cã

S_∆_A_M_N= MN.AI =

(®vdt)

chó ý

1

) Cã thÓ chøng minh AI⊥MN nh− sau:

BC⊥ SAK ⇒ MN⊥ SAK ⇒ MN⊥AI .

( ) ( )

) Cã thÓ lµm theo ph−¬ng ph¸p täa ®é:

2

Ch¼ng h¹n chän hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz sao cho



 

;0, S0;

 



;h





a

2

  a

  2







− a 3

K(0;0;0), B ;0;0,C − ;0;0 , A0;





2

6



 



trong ®ã h lµ ®é dµi ®−êng cao SH cña h×nh chãp S.ABC .

5

2

a)

0

,5®

1,0 ®

∑

C¸ch I. Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa ®−êng th¼ng ∆ cã d¹ng:

1

2 2

x + 2y − 2z + 4 = 0 (α + β ≠ 0)

)

y + α − 2β z − 4α + 4β = 0

)

α

(

x − 2y + z − 4

)

+ β

(

0

,25 ®

0,5 ®

⇔

(

α + β 2α − 2β

)

x −

(

)

(

r

VËy n =

(

α + β;−2α + 2β;α − 2β

)

.Ta cã u =

(

1;1;2

)

//∆ vµ M

(

1;2;1

)

∈ ∆₂

P

2

r r







n .u = 0

α − β = 0



M ∉



0,25 ®

0,5 ®

P

2

(

P

)

//∆ ⇔

⇔

VËy

P

( )

(

P

)

: 2x − z = 0

2

-

---------- -----------

M ₂

(

1;2;1

)

∉

(

P

)

2

C¸ch II Ta cã thÓ chuyÓn ph−¬ng tr×nh ∆ sang d¹ng tham sè nh− sau:

1



x = 2t'



Tõ ph−¬ng tr×nh ∆ suy ra 2x − z = 0. §Æt x = 2t'⇒ ∆ : y = 3t'−2

1







z = 4t'

r

0;−2;0 ∈ ∆ ,u = (2;3;4) //∆ .

( )

1 1 1

⇒

M₁

(

Ta cã thÓ t×m täa ®é ®iÓm M ∈ ∆ b»ng c¸ch cho x = 0 ⇒ y = −2 z = 0

1

r

 − 2

1

1 1 1 − 2 

 =

vµ tÝnh u = 

;

(

2;3;4

)

).

1







2

− 2 − 2 1 1

2



r

Ta cã u =

(

1;1;2

2;0;−1 . VËy ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua M₁0;−2;0

) ( )

2;0;−1 lµ: 2x − z = 0 .

1;2;1 ⇒ ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng cÇn t×m lµ: 2x − z = 0

)

//∆ . Tõ ®ã ta cã vÐc t¬ ph¸p cña mÆt ph¼ng (P) lµ :

2

0

,25 ®

0

,5 ®

r

r r

n =

[

u ,u

]

=

(

P

1

2

r

vµ ⊥ n =

(

)

0,5 ®

P

MÆt kh¸c M ₂

(

∉ P

) ( )

2b)

0

,25 ®

,5®

1,0 ®

0,5 ®

∑

b)C¸ch I. H ∈ ∆ ⇒ H

(

1+ t,2 + t,1+ 2t

)

⇒ MH =

(

t −1;t +1;2t − 3

)

2

0

2

⇒

MH =

(

t −1

)

+

(

t +1

)

+

(

2t − 3

)

= 6t −12t +11 = 6(t −1) + 5

0

,25 ®

0,5 ®

®

¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vµ chØ khi t = 1⇒ H

C¸ch II. H ∈ ∆ ⇒ H 1+ t;2 + t;1+ 2t .

MH nhá nhÊt ⇔ MH⊥∆ ⇔ MH.u = 0 ⇔ t = 1⇒ H

(

2;3;3

)

-

---------- -----------

0,25 ®

,25 ®

(

)

2

0,5 ®

r

0

(

2;3;4

)

2

V

1.

1

®

∑

1;0

Ta cã BC I Ox = B . §Æt x = a ta cã A(a;o) vµ

( )

A

x = a ⇒ y = 3a − 3. VËy C

a; 3a − 3

( )

.

C











1

^xG ⁼

(

x + x + x

)

A B C

ta cã



G





2a +1 3(a −1)

3

;

 .



Tõ c«ng thøc

0,25 ®

1

3

y_G=

y + y + y

)





A

B

C

3

C¸ch I.

Ta cã :

AB =| a −1|, AC = 3 | a −1|, BC = 2 | a −1|. Do ®ã

6

1

2

3

2

a −1 .

)

^S∆

ABC

=

AB.AC =

r =

(

0,25 ®

2

S

3

(

a −1

)

| a −1|

3 +1

Ta cã

VËy

=

= 2.

AB + AC + BC 3 | a −1| + 3 | a −1|

| a −1|= 2 3 + 2.

0

,25 ®



7

1









+ 4 3 6 + 2 3

a = 2 3 + 3 ⇒ G 

;

TH1.

1

3







−

4 3 −1 − 6 − 2 3

a = −2 3 −1⇒ G 

;

 .



TH2

2

0,25 ®



3





-

----------

C¸ch II.

y

C

I

O

B

A

x

I

x −1

⇒ x = 1± 2 3 .

I

3

0

Ph−¬ng tr×nh BI : y = tg30 .

(

x −1

)

=

0,25 ®

TH1 NÕu A vµ O kh¸c phÝa ®èi víi B ⇒ x = 1+ 2 3. Tõ d(I, AC) = 2

I











7

+ 4 3 6 + 2 3

⇒

a = x + 2 = 3 + 2 3. ⇒ G 

;

I

1

3



TH 2. NÕu A vµ O cïng phÝa ®èi víi B ⇒ x = 1− 2 3. T−¬ng tù

I









−

4 3 −1 − 6 − 2 3

ta cã a = x − 2 = −1− 2 3.

⇒

G 

;

I

2



3

0,25 ®



2

.

1

®

∑

3

n

1

n

Tõ C = 5C ta cã n ≥ 3 vµ

7

n!

n − 3

n!

n −1

n(n −1)(n − 2)

2

0

,25 ®

=

5

⇔

= 5n ⇔ n − 3n − 28 = 0

3

!

(

)

!

(

)

!

6

⇒

n₁= −4 (lo¹i) hoÆc n₂= 7.

0,25 ®

Víi n = 7 ta cã

4

3

x−1

2

−x



 

 

 







3

7

2x−2 −x

x−2

3



C 2

2

= 140 ⇔ 35.2 .2 = 140 ⇔ 2 = 4 ⇔ x = 4.



0

,5 ®



8