SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016 – 2017
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Câu 1 (2,0 điểm). Cho phương trình ( là tham số).
a) Giải phương trình khi
b) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm dương.
Câu 2 (3,0 điểm).
a) Giải phương trình
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình
Câu 3 (1,0 điểm). Cho là các số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng
Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn với . Gọi M là trung điểm , cắt tại điểm khác . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường thẳng tại khác . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường thẳng tại khác
a) Chứng minh rằng hai tam giác đồng dạng và ba điểm thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng
c) Phân giác của góc cắt tại điểm . Phân giác của các góc và lần lượt cắt tại và . Chứng minh rằng song song với
Câu 5 (1,0 điểm). Tập hợp ( là số nguyên dương) được gọi là tập hợp cân đối nếu có thể chia thành tập hợp con và thỏa mãn hai điều kiện sau:
i) Mỗi tập hợp gồm ba số phân biệt và có một số bằng tổng của hai số còn lại.
ii) Các tập hợp đôi một không có phần tử chung.
a) Chứng minh rằng tập không là tập hợp cân đối.
b) Chứng minh rằng tập là tập hợp cân đối.
—— Hết——
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……………………………………..; Số báo danh:……………………………...
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
(Hướng dẫn chấm có 03 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016-2017
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN CHUYÊN
—————————
A. LƯU Ý CHUNG
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm, bài học sinh có thể làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu
Ý
Nội dung trình bày
Điểm
1
2,0
a
Với , phương trình đã cho trở thành:
Ta thấy ngay , chia hai vế của phương trình cho ta được:
0,25
Đặt , ta được phương trình:
0,25
Với thì (vô nghiệm).
0,25
Với thì
Vậy phương trình có hai nghiệm là
0,25
b
Trong trường hợp tổng quát ta có phương trình:
Ta có (2).
Từ đó suy ra điều kiện để (2) có nghiệm dương là
0,25
Vậy PT đã cho có ít nhất một nghiệm dương khi và chỉ khi (1) có nghiệm
0,25
Xét PT (1) có Khi đó .
0,25
Do đó (1) có nghiệm khi:
Vậy giá trị cần tìm của m là
0,25
2
3,0
a
ĐKXĐ :
0,25
Phương trình đã cho tương đương:
0,5
0,5
(vô nghiệm).
0,5
Kết hợp điều kiện suy ra phương trình có nghiệm là
0,25
b
Ta có (1)
Coi (1) là PT bậc hai ẩn x, ta có
0,25
(1) có nghiệm nguyên nên là số chính phương, đặt
Khi đó
0,25
Xét các trường hợp và chú ý ta được các bộ
0,25
Với ta được: Với ta được:
Vậy các nghiệm cần tìm là
0,25
3
1,0
nguon VI OLET
