SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2018-2019
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, chuyên Tin học
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (3,0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol và đường thẳng ( là tham số). Tìm tất cả các giá trị của để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt và thỏa mãn
Giải phương trình:
Giải hệ phương trình
Câu 2 (2,0 điểm). Cho phương trình , trong đó là ẩn và là tích các số nguyên dương liên tiếp từ đến .
Chứng minh rằng nếu có các số nguyên thỏa mãn (1) thì đều chia hết cho .
Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương thỏa mãn (1).
Câu 3 (1,0 điểm). Cho các số thực dương . Chứng minh rằng
Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình thoi . Đường tròn nội tiếp của tứ giác theo thứ tự tiếp xúc với các cạnh tại các điểm . Xét điểm trên đoạn và điểm trên đoạn sao cho tiếp xúc với đường tròn .
a) Chứng minh rằng và
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt cạnh tại điểm khác và đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt cạnh tại điểm khác . Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.
c) Lấy các điểm tương ứng trên các đoạn sao cho song song với . Chứng minh rằng tiếp xúc với .
Câu 5 (1,0 điểm). Một bảng hình vuông gồm có hàng và cột ( là một số nguyên dương). Các hàng và cột được đánh số từ đến (các hàng đánh số từ trên xuống dưới và các cột đánh số từ trái qua phải). Ô vuông nằm trên hàng , cột của bảng gọi là ô . Tại mỗi ô của bảng điền một số 0 hoặc 1 sao cho nếu ô điền số 0, thì , trong đó là số số 1 trên dòng và là số số 1 trên cột . Gọi là tổng tất cả các số trong các ô của bảng hình vuông đã cho.
a) Xây dựng một bảng hình vuông thỏa mãn yêu cầu bài toán trong trường hợp và .
b) Chứng minh rằng , với là phần nguyên của số .
-----Hết-----
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: ……………
SỞ GDĐT VĨNH PHÚC
(Đáp án gồm 06 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2018 – 2019
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
(Dành cho chuyên Toán, chuyên Tin học)
Câu 1 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol và đường thẳng ( là tham số). Tìm tất cả các giá trị của để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt và thỏa mãn
Giải phương trình:
Giải hệ phương trình
1a) Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol và đường thẳng ( là tham số). Tìm tất cả các giá trị của để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt và thỏa mãn
1,00
Phương trình hoành độ giao điểm của và
Để cắt tại hai điểm phân biệt thì phải có hai nghiệm phân biệt
đúng
0,25
Theo Vi-ét ta có
0,25
Vậy, với thì đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt thỏa mãn đề bài
0,5
1b) Giải phương trình:
1,00
ĐK .
0,25
Bình phương hai vế phương trình ta được
0,25
Đặt PT có dạng
0,25
Phương tình có nghiệm .
0,25
1c) Giải hệ phương trình
1,00
Ta có
0,25
0,25
0,25
TH1. (vô nghiệm)
TH2.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
0,25
Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình , trong đó là ẩn và là tích các số nguyên dương liên tiếp từ đến .
Chứng minh rằng nếu có các số nguyên thỏa mãn (1) thì đều chia hết cho
Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương thỏa mãn (1).
Nội dung cần
nguon VI OLET
