Đề cương ôn thi toán học kì 1

TÀI LIỆU ÔN TẬP HỌC KỲ I MÔN TOÁN 9

ĐẠI SỐ

CHỦ ĐỀ 1:           CĂN THỨC – RÚT GỌN BIỂU THỨC

I. CĂN THỨC:

  Kiến thức cơ bản:

1. Điều kiện tồn tại : Có nghĩa

2. Hằng đẳng thức:                                                 

3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương:      

4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương:                 

5. Đưa thừa số ra ngoài căn:                    

6. Đưa thừa số vào trong căn:                    

                                                                 

7. Khử căn thức ở mẫu:                                    

8. Trục căn thức ở mẫu:                  

 Bài tập: 

 Tìm điều kiện xác định:   Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:

1)         2)

3)         4)

   5)         6)

   7)         8)

  Rỳt gọn biểu thức 

1)        2)

3)       4)

5)        6)

7)       8)

9)        10)

11)       12)

13)      14)

15)       16)

17)       18)

19)       20)

21)       22)

23)

 Giải phương trình:

1)        2)

3)        4)

5)        6)

7)        8)

9)         10)

11)         12)

II. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN:

A.CÁC BƯỚC THỰC HIÊN:

 Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được)

Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại.

Quy đồng, gồm các bước:

+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng.

+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung.

Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.

Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.

Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên).

Rút gọn.

B.BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Bài 1    Cho biểu thức :   A = với ( x >0 và x ≠ 1)

1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tính giá trị của biểu thức A tại

Bài 2.      Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 )

1) Rút gọn biểu thức P.

2) Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1.

Bài 3: Cho biểu thức A =

1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa

2/.Rút gọn biểu thức A

3/.Với giá trị nào của x thì A< -1

Bài 4:   Cho biểu thức  A   =        ( Với )

a) Rút gọn A

b) Tìm x để A = - 1

Bài 5: Cho biểu thức : B  =

a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B

b;  Tính giá trị của B với x =3

c;  Tìm giá trị của x để

Bài 6: Cho biểu thức :   P =

a;  Tìm TXĐ

b;  Rút gọn P

c;  Tìm x để P = 2

 Bài 7: Cho biểu thức:       Q = (

a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q

b;  Tìm a để Q dương

c;  Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9- 4

Bài 8:  Cho biểu thức:   M =

a/ Tìm ĐKXĐ của M.

b/ Rút gọn M

Tìm giá trị của a để M = - 4

CHỦ ĐỀ 2:                    HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT

I. HÀM SỐ:

Khái niệm hàm số

* Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.

* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng.

II. HÀM SỐ BẬC NHẤT:

 Kiến thức cơ bản:

 Định nghĩa:

Hàm số bậc nhất có dạng: Trong đó a; b là các hệ số

Như vậy: Điều kiện để hàm số dạng: là hàm số bậc nhất là:

Ví dụ: Cho hàm số:       y = (3 – m) x - 2  (1)

Tìm các giá trị của m để hàm số (1) là hàm số bậc nhất.

Giải:   Hàm số (1) là bậc nhất

 Tính chất:

+ TXĐ:

+ Đồng biến khi . Nghịch biến khi

Ví dụ: Cho hàm số:       y = (3 – m) x -  2  (2)

Tìm các giá trị của m để hàm số (2):

+ Đồng biến trên R

+ Nghịch biến trên R

Giải:   + Hàm số (1) Đồng biến

+ Hàm số (1) Nghịch biến

 Đồ thị:

+ Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằngb.

cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng .

+ Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ:

x	0	-b/a
y	b	0

Vẽ đường thẳng qua hai điểm: -b/a ( ở trục hoành) và b ( ở trục tung)  

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1

Giải:

 

x	0	- 0,5
y	1	0

                               

 Điều kiện để hai đường thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, :

+ Cắt nhau:  (d1) cắt (d2).

  */. Để hai đường thẳng cắt nhau trên trục tung thì cân thêm điều kiện .

  */. Để hai đường thẳng vuông góc với nhau thì :

+ Song song với nhau:  (d1) // (d2).

+ Trùng nhau: (d1) (d2).

Ví dụ:Cho hai hàm số bậc nhất:y = (3–m)x+ 2 (d1) và y=2x–m(d2)

a/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau.

b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau

c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Giải:

a/ (d1)//(d2)

b/ (d1) cắt (d2)

c/ (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung 

 Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b là a.

+ Cách tính góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lượng giác

• Trường hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là góc nhọn.
• Trường hợp: a < 0 thì  góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là góc tù ()

Ví dụ 1: Tính góc tạo bởi đường thẳng  y = 2x + 1 với trục Ox

Giải:

Ta có: Tan=2 ~630

Vậy góc tạo bởi đường thẳng  y = 2x + 1 với trục Ox là:

Ví dụ 2:   Tính góc tạo bởi đường thẳng  y = - 2x + 1 với trục Ox.

Ta có: Tan(1800-) =2 1800- =630 =1170

Vậy góc tạo bởi đường thẳng  y = - 2x + 1 với trục Ox là:

 CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP:

-Dạng 3: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox

Xem lại các ví dụ ở trên.

-Dạng 4:   Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị:

Phương pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không?

Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính được y0. Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y0y1 thì điểm M không thuộc đồ thị.

-Dạng 5:  Viết phương trình đường thẳng:

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b  đi qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1).

Phương pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta được phương trình y0 = ax0 + b (1)

                       + Thay x1; y1 vào y = ax + b  ta được phương trình y1 = ax1 + b (2)

                       + Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a và b.

                       + Thay giá trị của a và b vào y = ax + b  ta được phương tri9nhf đường thẳng cần tìm.

-Dạng 6:  Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh  đồng quy:

Ví dụ: Cho các đường thẳng :

(d1) : y = (m2-1) x + m2 -5  ( Với m 1; m -1 )

(d2) : y =  x +1

(d3) : y = -x +3

a) C/m rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua 1điểm cố định .

b) C/m rằng khi d1 //d3 thì d1 vuông góc d2

c) Xác định m để 3 đường thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui

Giải:

a) Gọi điểm cố định mà đường thẳng d1 đi qua là A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có :

y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Với mọi m

=> m2(x0+1) -(x0 +y0 +5)  =0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi :

x0+ 1 =0

x0+y0+5 = 0  suy ra : x0 =-1

                                   Y0 = - 4

Vậy điểm cố định là A (-1; - 4)

b) +Ta tìm giao điểm B của (d2) và (d3) :

Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3   => x =1

Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2  Vậy B (1;2)

Để 3 đường thẳng đồng qui thì (d1) phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vào pt (d1) ta có:

2 = (m2 -1) .1 + m2 -5

                m2 = 4 => m = 2 và m = -2

Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đường thẳng trên đồng qui.

 Bài tập: 

Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 và  (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2

 1) Tìm m để (d1) và  (d2)  cắt nhau .

 2) Với m =  – 1 , vẽ (d1) và  (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ giao                   điểm của hai đường thẳng (d1) và  (d2) bằng phép tính.             

Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm  số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vỡ sao?

Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x  + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao?

Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(mvà y = (2 - m)x + 4 ;. Tỡm điều kiện của m để hai đường thẳng trên:

a)     Song song.

b)    Cắt nhau .

Bài 5: Với giỏ trị nào của m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại  một điểm trên trục tung .Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với 

  (d’): y = và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 10.

Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm A(2;7).

Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3).

Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = và (d2): y =

a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)?

Bài 9: Cho các đường thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m0

                                               (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9)

a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2)

b; Với giá trị nào của m  thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm  Khi m = 2

c; C/m rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố định B . Tính BA ?

Bài 10: Cho hàm số :  y = ax +b

a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)

b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc  tạo bởi đường thẳng trên với trục Ox ?

c; Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với đường thẳng y = - 4x +3 ?

d; Tìm giá trị của m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y = (2m-3)x +2

CHỦ ĐỀ 3:           HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I. CÁC KHÁI NIỆM:

Phương trình bậc nhất hai ẩn:

+Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết(hoặc

+ Một nghiệm của phương trình là cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c 

+ Phương trình bậc nhất hai ẩn  ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm.

+ Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c. Nếu thì đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất: .

 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

+ Dạng:

+ Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phương trình

+ Nếu hai phư­ơng trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm

+ Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đư­ờng thẳng biểu diễn tập nghiệm:

-Phư­ơng trình (1) được­ biểu diễn bởi đường thẳng (d)

-Ph­ương trình (2) được biểu diễn bởi đư­ờng thẳng (d')

*Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất

*Nếu (d) song song với (d') thì hệ vô nghiệm

*Nếu (d) trùng (d') thì hệ vô số nghiệm.

 Hệ phư­ơng trình tương đương:

Hai hệ ph­ơng trình được gọi là tư­ơng đư­ơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH:

Giải hệ ph­ương trình bằng phương pháp thế:

a)     Quy tắc thế:

+ B­ước 1: Từ một ph­ương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào phương trình thứ hai để đư­ợc một phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn).

+ Bư­ớc 2: Dùng phương trình mới này để thay thế cho ph­ương trình thứ hai trong hệ (phư­ơng trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có đư­ợc ở bước 1).

Ví dụ: xét hệ phương trình:

+ Bước 1: Từ phương trình (1) ta biểu diễn x theo y ( gọi là rút x) ta có:

                 Thay vào phương trình (2) ta được:

+ Bước 2: Thế phương trình vào phương trình hai của hệ ta có:

      b)  Giải hệ :

 

Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x = 1; y = 0).

 Giải hệ ph­ương trình bằng phương pháp cộng đại số:

    a)Quy tắc cộng đại số:

+ B­ước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phư­ơng trình của hệ của hệ phương trình đã cho để đư­ợc một phương trình mới.

+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai ph­ương trình của hệ (và giữ nguyên ph­ương trình kia)

Lưu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.

            Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ.

            Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để đư­a về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số)

BÀI TẬP:

Giải hệ phư­ơng trình bằng phư­ơng pháp thế.

                                                                                

                                                                    

                                                                                 

 Giải hệ phư­ơng trình bằng phương pháp cộng đại số

                                                      +

                                                 

                                                    

Đặt ẩn phụ rồi giải các hệ phư­ơng trình sau

                                              

 

        CHỦ ĐỀ 4:                          HÌNH HỌC

 I. HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG:

 Hệ thức giữa cạnh và đường cao:

*                                    * 

*                                               *                                           

*

*                                            *

 

Hệ thức giữa cạnh và góc:

Tỷ số lượng giác:

“Sin đi học

Cos không hư

Tan đoàn kết,

Cot kết đoàn”

Tính chất của tỷ số lượng giác:

1/ Nếu Thì:                               

2/Với nhọn thì 0 < sin < 1, 0 < cos < 1

 *sin2 + cos2 = 1 ; *tan =   ; *cot=    ;*tan. cot=1

Hệ thức giữa cạnh và góc:

+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Sin góc đối:

                

+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Cos góc kề:

               

+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Tan góc đối:

              b=ctanB; c=btanC

+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Cot góc kề:

             b=cCotC  ; c=bCotB

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Cho ABC vuông tại A. Biết b = 4 cm, c = 3 cm. Giải tam giỏc ABC

Bài 2: Cho ABC vuông tại A . Biết b’ = 7, c’ = 3.      Giải tam giác ABC?

Bài 3a: Cho  ABC vuông tại A . Biết b = 4, b’ = 3.2.  Giải tam giác ABC?

Bài 3b: Cho ABC vuông tại A . Biết c = 4, b’ = 3.2.  Giải tam giác ABC?

Bài 4:  Cho  ABC vuông tại A . Biết AH = 4.8, BC =10. Giải tam giác ABC?

Bài 5: Cho ABC vuông tại A . Biết h = 4, c’ = 3.        Giải tam giác ABC?

Bài 6: Cho ABC vuông tại A. Biết b = 12, a = 20.    Giải tam giác ABC?

Bài7: Cho ABC vuông tại A . Biết h = 4, c = 5.           Giải tam giác ABC?

 Bài 8: Cho ABC vuông  A = 900 . Biết b = 5,   = 400. Giải tam giác ABC?

 Bài 9: Cho ABC vuông tại A  . Biết a = 15,   = 600.   Giải tam giác ABC?

 Bài 10:Cho ABC vuông tại A. Biết . Biết   AH = 3,   = 400. Giải tam giác ABC?

 Bài 11: Cho ABC vuông tại A . Biết c’ = 4,   = 550.    Giải tam giác ABC?

Bài 12: Cho ABC vuông tại A,  trung tuyến ứng với cạnh huyền m= 5, h = 4.     

Giải tam giác ABC?

Bài13: Cho ABC vuông tại A, trung tuyến ứng với cạnh huyền m= 5, một góc nhọn bằng 470. Giải tam giác ABC?

Bài14: Cho vuông tại A. Biết  h = 4, Đường phân giác ứng với cạnh huyền g= 5.

Giải tam giác ABC?

 Bài15: Cho vuông tại A Đường phân giác ứng với cạnh huyền g= 5.  = 300. Giải tam giác ABC?

Đường tròn

Su xác dịnh đường tròn:

-Tìm đường tròn biết tâm và bán kính

-Tìm đường tròn biết bán kính

-Tìm đường tròn qua 3 điểm không thẳng hàng

Tính chất đối xứngc:

-Tâm đối xứng

-Trục đối xứng

Các mối lien hệ:

-Quan hệ giữa đường kính và dây

-Đường kính vuông góc với dây

-Đường kính đi qua trung điểm dây không qua tâm

-Quan hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:

-Ba vị trí tương đối

-Hệ thức lien hệ giữa d và R

Tiếp tuyến của đường tròn:

-Định nghĩa tiếp tuyến

-Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

-Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

Vị trí tương dối  đường tròn:

-Ba vị trí tương đối

-Quan hệ với đường nối tâm

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: ChoABC(AB=AC)đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tại D.Chứng minh

a)     AD là đường kính

b)     =?

c)     Biết AB=AC=20cm;BC=24cm.Tính R=?

Bài 2: Cho (O) kẻ tiếp tuyến AB và AC với (O) Chứng minh:

a)     OA BC

b)    Vẽ đường kính CD Chứng minh BD//AO

c)     Tính độ dài các cạnh ABC biết OB=4 cm; OC=8cm

Bài 3: Cho (O:R) AB=2R. C(O) Kẻ tiếp tuyến d với đường tròn tại C. AE d; AF d; CH AB.Chứng minh:

a)     CE=CF

b)    AC là phân giác

c)     CH2 =AE.BF

Bài 4: Cho (O) AB=2R Kẻ tiếp tuyến Ax và Ay Từ M (O) kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax và Ay tại C và D. BC cắt AO tại N. Chứng minh

       a) =

        b) MN AB

        c) =900

Bài 5:Cho (O) AB=2Rvà M (O). N đối xứng với A qua M, BN cát (O) tại C,AC cắt BM tại E. Chứng minh

a)     NE AB 

b)    F đối xứng với E qua M. Chứng minhFA là tiếp tuyến của (O)

c)     FN là tiếp tuyến của (B;BA)

d)    BM.BE=BF2 - FN2  

Baì 6: Cho nửa đường tròn O có AB=2R. Kẻ tiếp tuyến Ax và By.Qua M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax và By taị C. và D Chứng minh:

a)     CD=AC+BD; =900

b)    AC.BD=R2

c)     OC cắt AM tại E ;OD cắt AM tại F. Chứng minh È=R

d)    Tìm vị trí của M để CD bé nhất

Bài 7: Cho (O:R) có AB=2R .Kẻ 2 tiếp Ax và By. Đường thẳng qua O cắt Ax và By tại M và P .Từ O vẽ đường vuông góc với MP cắt By tại N. Chứng minh

a)     OM=OP ; NMP cân.

b)    Kẻ OI MN .Chứng minh OI=R;  MN là tiếp tuyến (O)

c)     AM.BN=R2

d)    Tìm M để SAMNB nhỏ nhất vẽ hình minh họa

Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O AB=2R. Từ M (O) kẻ tiếp tuyến xy AD xy; BC xy

a)     MC=MD

b)    AD+BC không đổi khi M chuyển động trên nửa đường tròn.