CHỦ ĐỀ 5. ĐẠO HÀM
KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm.
Cho hàm số xác định trên và . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm .
Kí hiệu: hoặc . Vậy .
STUDY TIP
Nếu và thì .
gọi là số gia của đối số tại điểm .
gọi là số gia của hàm số tương ứng.
2. Đạo hàm bên trái, bên phải.
a) Đạo hàm bên trái.
trong đó được hiểu là và .
b) Đạo hàm bên phải.
trong đó được hiểu là và .
Nhận xét: Hàm số có đạo hàm tại điểm và tồn tại và bằng nhau. Khi đó .
3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn.
a) Hàm số được gọi là có đạo hàm trên khoảng nếu có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.
b) Hàm số được gọi là có đạo hàm trên đoạn nếu có đạo hàm trên khoảng và có đạo hàm phải tại và đạo hàm trái tại .
4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liện tục của hàm số.
- Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì nó liên tục tại điểm đó.
STUDY TIP
Hàm số liên tục tại điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
Hàm số không liên tục tại thì không có đạo hàm tại điểm đó.
B. CÁC DẠNG TOÁN TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Phương pháp:
1. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm bằng định nghĩa.
Cách 1:
Tính (1).
Nếu tồn tại giới hạn (1) thì hàm số có đạo hàm tại và ngược lại thì hàm số không có đạo hàm tại .
Cách 2: Tính theo số gia.
Cho một số gia :.
Lập tỉ số .
Tính giới hạn .
2. Mối quan hệ giữa tính liên tục vào đạo hàm.
Hàm số liên tục tại điểm .
Hàm số có đạo hàm tại điểm liên tục tại điểm .
Hàm số liên tục tại điểm chưa chắc có đạo hàm tại điểm .
Cho hàm số . Tính đạo hàm của hàm số tại điểm .
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Đáp án A.
Cách 1: Xét
.
Cách 2:
.
.
.
STUDY TIP
Nhân lượng liên hợp: và .
Giải theo cách 1 tỏ ra đơn giản và nhanh hơn cách 2.
Khi tính đạo hàm của hàm số tại điểm , một học sinh đã tính theo các bước sau:
Bước 1: .
Bước 2: .
Bước 3: . Vậy .
Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào.
A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3 . D. Tính toán đúng.
Lời giải
Học sinh tính đạo hàm bằng định nghĩa theo cách 1 các bước đều đúng.
STUDY TIP
Phương trình bậc hai có hai nghiệm .
Số gia của hàm số ứng với số gia của đối số tại là:
A.. B.. C. . D..
Lời giải
Đáp án D.
Với số gia của đối số tại điểm , ta có: .
Cho hàm số , đạo hàm của hàm số ứng với số gia của đối số tại là:
A.. B..
C. . D..
Lời giải
Đáp án B.
Ta có:
.
Cho hàm số có đao hàm tại điểm là . Khẳng định nào sau đây là sai.
A.. B..
C. . D..
Lời giải
Đáp án D.
A đúng theo định nghĩa.
B đúng vì nên .
C đúng. Đặt , khi .
.
Vậy D sai.
Xét ba mệnh đề sau:
(1) Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì liên tục tại điểm đó.
(2) Nếu hàm số liên tục tại điểm thì có đạo hàm tại điểm đó .
(3) Nếu hàm số gián đoạn tại điểm thì chắc chắn không có đạo hàm tại điểm đó .
Trong ba mệnh trên:
A1) và (3) đúng. B2) đúng. C1) và (2) đúng . D2) và (3) đúng.
Lời giải
Đáp án A.
Mệnh đề (2) sai vì: Xét hàm số có tập
nguon VI OLET
