1. Hệ đối xứng loại (kiểu) I:
a. Là hệ có dạng : , trong đó
b. Phương pháp giải chung:
- Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
- Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện .
- Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Sau khi tìm được S, P thì x, y là nghiệm của phương trình t2 – St + P = 0.
c. Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P:
x2 + y2 = (x + y) 2 – 2xy = S2 – 2P
x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = S3 – 3PS
x2y + xy2 = xy(x + y) = S.P
x4 + y4 = (x2 + y 2) 2 – 2x 2 y 2 = (S2 – 2P) 2 – 2P 2
d. Chú ý: Ngoài phương pháp chung ta có thể sử dụng các phương pháp khác như:
- Phương pháp thế.
- Phương pháp hàm số.
- Phương pháp điều kiện cần và đủ.
- Phương pháp đánh giá.
e. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình (1)
GIẢI
Đặt điều kiện . Hệ phương trình (1) trở thành:
.
=> x, y là nghiệm của phương trình t2 – 5t + 6 = 0
Vậy hệ (1) có 2 nghiệm (2;3); (3;2)
* Lưu ý một số trường hợp đặc biệt:
i) Có những hệ phương trình trở thành loại I sau khi đặt ẩn phụ:
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình (2)
GIẢI
Nhận xét: Hệ trên vốn không đối xứng.
Đặt t= - y ta được hệ đối xứng:
Đặt , điều kiện ta được:
.
Với ta có:
=> x, t là nghiệm của phương trình u2 – 2u + 1 = 0 => u = 1
Vậy x= t =1. t = 1 => y = -1.
Vậy hệ (1) có nghiệm duy nhất (1; -1)
ii) Trong một số trường hợp ta đặt ẩn phụ u = u(x); v = v(x) và sau đó đặt thì ta sẽ được hệ phương trình đơn giản hơn so với việc đặt
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình (3)
GIẢI
Đặt thì (3) trở thành (3’)
Đặt , hệ (3’) trở thành
=> u, v là nghiệm của phương trình t2 – 5t + 6 = 0
=> (3’) có nghiệm (2;3) hoặc (3;2) => Hệ phương trình (2) có 2 nghiệm (1;2); (2;1)
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình (4)
GIẢI
Nhận xét: Nếu đặt ta thu được hệ (-> phức tạp)
Đặt thì (4) trở thành
=> u, v là nghiệm của phương trình t2 – 8t + 12 = 0
Vậy Do đó ta có hoặc
Vậy (4) có 8 nghiệm (1; 2); (1:-3); (-2;2); (-2;-3) và (2; 1); (-3:1); (2;-2); (-3;-2)
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình (5)
GIẢI
Nhận xét: Nếu đặt như thông thường thì sẽ dẫn tới 1 hệ phương trình phức tạp.
Điều kiện:
Đặt thì (5) trở thành (5’)
Đặt điều kiện . Hệ phương trình (5’) trở thành:
=> u, v là nghiệm của phương trình t2 – 4t + 4 = 0
Vậy
Vậy hệ phương trình (5) có nghiệm duy nhất là (1;1).
iii) Có những hệ phương trình đối xứng loại I không giải được theo cách giải quen thuộc. Ta phải dùng ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đối xứng giải được theo phương pháp quen thuộc.
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình (6)
GIẢI
Điều kiện x, y 0.
Nhận xét: Đây là hệ đối xứng loại I không giải được theo phương pháp quen thuộc.
Đặt u = ; v = thì hệ (6) trở thành (6’)
Giải như ví dụ 1 ta được kết quả nghiệm của (6’) là (2;3) ; (3;2)
=> (6) có nghiệm: (4;9); (9; 4)
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình (7)
GIẢI
Điều kiện x, y 0.
Đặt
nguon VI OLET
