Đề cương ôn thi

CHỦ ĐỀ: GÓC – KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

I. GÓC

1. DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1.           Cho hình lập phương , góc giữa hai đường thẳng và là

A. .  B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có .

Xét có nên là tam giác đều.

Vậy .

Câu 2.           Cho hình lập phương . Góc giữa hai đường thẳng và bằng:

A. .  B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Có .

Câu 3.           Cho tứ diện có , , đôi một vuông góc với nhau, biết . Số đo góc giữa hai đường thẳng và bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

CÁCH 1. Vì .

CÁCH 2.

Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh .

Trong , có

Trong , có

Trong , có .

Ta có

Áp dụng định lý Cosin cho , có

Hay .

Câu 1.           Cho hình lập phương . Góc giữa hai đường thẳng và bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có: . Vì .

Câu 1.           Cho hình chóp có , . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng và ta được kết quả:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

* Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng , theo đầu bài và tam giác vuông cân tại ta có là trung điểm của . Gọi , lần lượt là trung điểm của , ta có: Góc giữa và là góc giữa và .

Xét tam giác ta có:

tam giác là tam giác đều . Vậy góc cần tìm là .

Câu 1.           Cho hình chóp có . Gọi , lần lượt là trung điểm của , và , . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Khi đó , , , lần lượt là đường trung bình của tam giác , , , nên ; và ; . Suy ra góc giữa hai đường thẳng và là góc và tứ giác là hình thoi.

Xét hình thoi : gọi giao điểm của hai đường chéo; vì nên ; trong tam giác vuông thì , khi đó tam giác đều hay .

Câu 2.           Cho tứ diện có độ dài các cạnh và . Góc giữa hai đường thẳng và bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Gọi , , , lần lượt là trung điểm các cạnh , , , thì là hình thoi. cân tại nên

là tam giác đều .

Câu 1.           Cho hình lăng trụ đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Gọi là trung điểm của . Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có .

Tam giác có ; và .

Câu 1.           Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, M là trung điểm của cạnh BC. Gọi là góc giữa hai đường thẳng và DM, khi đó bằng

A.  B.  C.  D.

Lời giải:

Chọn A

Gọi N là trung điểm của AC

là đường trung bình của

Vì và là các tam giác đều cạnh bằng a

.

Vì

Xét , ta có:

Vậy .

Câu 2.           Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy và . Khi đó, cosin góc giữa SB và AC bằng

A.  B.  C.  D.

Lời giải

Chọn B

Gọi I là trung điểm của SD

là đường trung bình của

Vì

Ta có:

cân tại I.

Gọi H là trung điểm của

Và

Xét , ta có:

Vậy .

Chú ý: Để tính ta có thể tính cách khác như sau:

.

Câu 1.           Cho hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng. Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Số đo của góc bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Gọi là tâm của hình thoi .

Ta có: .

Nên góc giữa và bằng góc giữa và .

Xét tam giác có

.

Nên tam giác đều.

Vậy góc giữa và bằng góc giữa và

bằng góc .

Câu 1.           Cho hình lập phương . Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi là trung điểm . Khi đó .

Ta có vì tam giác cân tại do .

Gọi trung điểm nên ; .

Vậy .

Câu 1.           Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Tính         

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Ta có là hình chiếu của lên mặt phẳng

.

Ta có : .

Có ; ; .

Xét , ta có: .            

Câu 1.           Cho hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Số đo của góc bằng

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn C.

Gọi là tâm của hình vuông là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông (1).

Ta có: nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông (2).

Từ (1) và (2) .

Từ giả thiết ta có: (do là đường trung bình của ). .

Mặt khác, ta lại có đều, do đó .

Câu 2.           Cho hình chóp có , , đôi một vuông góc với nhau và . Gọi là trung điểm của . Tính góc giữa hai đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi là trung điểm của . Khi đó góc giữa và bằng góc giữa và .

Ta có:



 (trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền).

 (trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền).

 .

Suy ra hay tam giác đều. Do đó .

Câu 1.           Cho hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng . Gọi , lần lượt là trung điểm của và . Số đo của góc giữa hai đường thẳng và là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Gọi là trung điểm của .

Ta có: .

Xét tam giác ta có: , ,

vuông tại

.

Câu 2.           Cho tứ diện có vuông góc với mặt phẳng . Biết tam giác vuông tại và , , . Gọi là trung điểm của . Góc giữa đường thẳng và bằng

A. . B. . C. . D. .