Đề cương Toán 11 HK2

ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ II MÔN TOÁN 11

A. GIẢI TÍCH

Bài 1. Tìm các giới hạn sau

a. lim  b. lim  c. lim()

d. lim( ) e. lim() f. lim()

g. lim   h. lim i. lim

Bài 2. Tìm các giới hạn sau

a.  b.  c.  d.

e.  f.  g.   h.

i.  j.  k.   ℓ.

m.  n.  o.

p.   q.  r.

Bài 3. Xác định m để hàm số có giới hạn tại xo.

a. tại xo = 2 b. tại xo = 0

Bài 4. Xét sự liên tục của hàm số

a. f(x) = tại xo = 1 b. f(x) = tại xo = 2

c. f(x) = tại xo = 1 d. f(x) = tại xo = 1

Bài 5. Tìm m hoặc a để hàm số liên tục.

a. f(x) = tại xo = 0 b. f(x) = tại xo = –2

c. f(x) = liên tục trên R.

d. f(x) = liên tục trên R.

Bài 6. Chứng minh rằng phương trình x5 – 5x³ + 4x – 1 = 0 có 5 ngiệm trên (–2; 2).

Bài 7. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có ngiệm với mọi giá trị của tham số m:

a. m(x – 1)³(x – 2) + 2x – 3 = 0  b. x4 + mx² – 2mx – 2 = 0

Bài 8. Tìm đạo hàm

a. y = x³ – 3x + 1 b. y = x4 – 8x² + 12 c. y = (x² + x)(5 – 3x²) d. y = (2x² + 5)³

e. y =  f. y =   g. y =   h. y =

i. y = x j. y =  k. y =   ℓ. y = sin² 2x – 2cos 2x

m. y = 3sin (3x – 2) – 4cos 2x.  n. y = sin 2x cos 3x  o. y =

p. y =  q. y = 3sin² x + 2cos³ x r. y = (1 + tan x)² s. y = cos x sin² x

t. y =  u. y = tan³ 2x + 3tan (2x – π/4) v. y =

Bài 9. Cho hàm số: y = x³ + 4x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trong các trường hợp sau

a. Tại điểm có hoành độ xo = 1

b. Tiếp tuyến có hệ số góc k = 31

c. Tiếp tuyến Song song với đường thẳng d: y = 7x + 3

d. Vuông góc với đường thẳng Δ: y = –.

Bài 10. Tính các giới hạn:

a.   b.   c.  

d.   e.   g.

h.  i.  j.

Bài 11. Tính các giới hạn

a.  b.  c.  d.

e.  g.  h.  i.

j.  k.  ℓ.  m.

Bài 12. Xét tính liên tục của các hàm số

a. tại x = 1  b. g(x) = tại x = 2

c. h(x) = trên R

Bài 13. Tìm số thực m sao cho hàm số sau liên tục tại điểm cho trước

a. f(x) = liên tục tại x = 2 b. g(x) = liên tục tại x = 2.

Bài 14. Chứng minh

a. Phương trình sau có nghiệm hay không trên khoảng (–2; 0): x³ + 3x² – 4x – 7 = 0

b. Với mọi m > 2 thì phương trình |x|³ – 2mx² + 2 = 0 luôn có bốn nghiệm phân biệt.

c. Phương trình (m² + 2)x7 + x5 – 1 = 0 có nghiệm với mọi số thực m

Bài 15. Tính đạo hàm của hàm số

a. y =  b. y =  c. y =

d. y =  e. y = (x³ + 2x)5. f. y = 2(x² – 4x) sin² 2x

g. y = sin³ 3x – cos² 2x + tan x h. y = (2tan³ 2x + 3sin² x)²

i. y = sin 2x cos 2x cos 4x cos 8x j. y = sin² (cos x) + cos² (sin x)

k. y = x² cos x + x sin x ℓ. y =  m. y =

Bài 16. Giải phương trình f’(x) = 0 biết f(x) = cos x + sin x – 2x – 5

Bài 17. Cho hàm số y = xcos x. Chứng minh rằng: 2(cos x – y’) + x(y” + y) = 0.

Bài 18. Cho y = x cos 2x. Chứng minh xy” + 2(cos 2x – y’) + 4xy = 0.

Bài 19. Cho hàm số y =

a. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 3.

b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc là –4/9.

c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = –4x + 8

d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = 4x – 3

Bài 20. Cho hàm số y = x³ – 5x² + 2 có đồ thị (C).

a. Giải bất phương trình f’(x) ≥ –7

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 3x + y – 1 = 0

c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng x – 7y – 28 = 0

Bài 21. Cho hàm số y = f(x) = có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt hai đường thẳng d1: x = –1 và d2: y = 1 lần lượt tại A và B sao cho bán kính đường tròn nội tiếp ΔIAB là lớn nhất, với I là giao điểm của d1 và d2.

Bài 22. Tìm vi phân của hàm số y = (sin 3x + 3)³

Bài 23. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số

a. y = sin 5x  b. y =   c. y =

Bài 24. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

a. y =   b. y = sin x  c. y = sin 3x cos x

B. PHẦN HÌNH HỌC

Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SA vuông góc với (ABCD); SA = a. Gọi AM, AN lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và SAD.

a. Chứng minh rằng các mặt bên của chóp là các tam giác vuông. Tính tổng diện tích các tam giác đó.

b. Gọi P là trung điểm của SC. Chứng minh rằng OP vuông góc với (ABCD).

c. Chứng minh BD vuông góc với (SAC), MN vuông góc với (SAC).

d. Chứng minh SC vuông góc với (AMN).

e. Tính góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABCD).

Bài 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với (ABC). Kẻ AH, AK lần lượt vuông góc với SB, SC tại H và K, có SA = AB = a.

a. Chứng minh rằng tam giác SBC vuông.

b. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính diện tích tam giác AHK.

c. Tính góc giữa AK và (SBC).

Bài 27. Cho tứ diện ABCD có (ABD) vuông góc với (BCD), tam giác ABD cân tại A; M, N lần lượt là trung điểm của BD, BC.

a. Chứng minh AM vuông góc với (BCD)

b. Chứng minh rằng (ABC) vuông góc với (BCD)

c. Kẻ MH vuông góc với AN, chứng minh MH vuông góc với (ABC)

Bài 28. Chi tứ diện ABCD, tam giác ABC và ACD cân tại A và B; M là trung điểm của CD.

a. Chứng minh rằng (ACD) vuông góc với (BCD)

b. Kẻ MH vuông góc với BM tại H, chứng minh rằng AH vuông góc với (BCD)

c. Kẻ HK vuông góc với AM tại K, chứng minh rằng HK vuông góc với (ACD)

Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình thang vuông có BC là đáy bé và góc ACD = 90°.

a. Chứng minh rằng tam giác SCD, SBC vuông

b. Kẻ AH vuông góc với SB, chứng minh AH vuông góc với (SBC)

c. Kẻ AK vuông góc với SC, chứng minh AK vuông góc với (SCD)

Bài 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA = SB = SC = SD = a; O là tâm của hình vuông ABCD.

a. Chứng minh rằng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD).

b. Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (SBD)

c. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)

d. Tính góc giữa đường SB và (ABCD).

e. Gọi M là trung điểm của CD, hạ OH vuông góc với SM, chứng minh H là trực tâm tam giác SCD

f. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)

g. Tính khoảng cách giữa SM và BC; SM và AB.

Bài 31. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD) và SA = a; đáy ABCD là hình thang vuông có đáy bé là BC, biết AB = BC = a, AD = 2a.

a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.

c. Gọi M, H lần lượt là trung điểm của AD, SM. Chứng minh rằng AH vuông góc với (SCM)

d. Tính góc giữa SD và (ABCD); SC và (ABCD)

e. Tính góc giữa SC và (SAD)

f. Tính tổng diện tích các mặt của chóp.

Bài 32. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OA = OB = OC = a.

a. Chứng minh các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB) đôi một vuông góc nhau

b. Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng (ABC) vuông góc với (OAM)

c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.

d. Tính góc giữa (OBC) và (ABC)

e. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)

Bài 33. Cho chóp OABC có OA = OB = OC = a; góc AOC = 120°; góc BOA = 60°; góc BOC = 90°.

a. Chứng minh ABC là tam giác vuông

b. Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh tam giác BOM là tam giác vuông

c. Chứng minh rằng (OAC) vuông góc với (ABC)

d. Tính góc giữa (OAB) và (OBC)

Bài 34. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C, CA = CB = 2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt đáy, cạnh SA = a. Gọi D là trung điểm của AB.

a. Chứng minh rằng (SCD) vuông góc với (SAB)

b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)

Bài 35. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.

a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

b. Tính góc giữa câc cạnh bên và mặt đáy

c. Tính góc giữa các mặt bên và mặt đáy

d. Chứng minh các cặp cạnh đối vuông góc nhau.

Bài 36. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’; gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’ và A’B’.

a. Tính d(BD, B’C’)

b. Tính d(BD, CC’), d(MN, CC’)

Bài 37. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có AB = BC = a; AC = a

a. Chứng minh BC vuông góc với AB’.

b. Gọi M là trung điểm của AC, chứng minh rằng (BC’M) vuông góc với (ACC’A’)

c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC.

Bài 38. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông tại C, CA = a; CB = b, mặt bên AA’B’B là hình vuông. Từ C kẻ đường thẳng CH vuông góc với AB, kẻ HK vuông góc với AA’.

a. Chứng minh rằng BC vuông góc với CK, AB’ vuông góc với (CHK)

b. Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA’B’B) và (CHK)

c. Tính khoảng cách từ C đến (AA’B’B)

Bài 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; SA vuông góc với (ABCD). Một mặt phẳng (α) đi qua A và song song với đường chéo BD của hình thoi cắt các cạnh SB, SD theo thứ tự tại các điểm E, F. Chứng minh EF vuông góc với SC

Bài 40. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác cân ABC đỉnh A. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm D. Gọi M là trung điểm BC và H là hình chiếu của A trên DM.

a. Chứng minh AH vuông góc với CD.

b. Xác định góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC).

Bài 41. Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh

a. AH, SK, BC đồng quy.

b. SC vuông góc với mặt phẳng (BHK)

c. HK vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Bài 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, SA vuông góc với (ABCD). Gọi (α) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với SC và cắt SC tại I.

a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

b. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

c. Tìm giao điểm K của SO và mặt phẳng (α).

d. Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và BD // (α)

e. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α).

Bài 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với (ABCD), cạnh bên SC tạo với đáy (ABCD) góc 60°.

a. Tính độ dài đường cao của hình chóp S.ABCD.

b. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

c. Chứng minh BD vuông góc với SC và (SBC) vuông góc với (SAB).

d. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SB.

e. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABK).

Bài 44. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a.

a. Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD)

b. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAD)

c. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD)

d. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

e. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P) và tính diện tích thiết diện. Tính góc giữa AB và mặt phẳng (P).

Bài 45. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

a. Chứng minh BC’ vuông góc với (A’B’CD)

b. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’.

c. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của BD’ và CB’.

Bài 46. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc nhọn A = 60°. Các cạnh bên SA = SC; SB = SD = a

a. Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD).

b. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC).

c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD.

d. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và SC.

Bài 47. Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = a, SC vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a).

a. Tính độ dài đoạn thẳng MN.

b. Tìm giá trị của t để đoạn MN ngắn nhất.

c. Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA.

Bài 48. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A. Điểm M di động trên Δ; gọi N là hình chiếu vuông góc của điểm C trên đường thẳng BM.

a. Chứng minh rằng tích BM.BN là đại lượng không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên Δ.

b. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác MBC khi M thay đổi trên Δ.

Bài 49. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN biết rằng (AMN) vuông góc với (SBC).

Bài 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông góc với đáy. Gọi I, K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD.

a. Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông.

b. Tính góc giữa SC và (ABCD).

c. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

d. Chứng minh (SAC) vuông góc (AIK)

Bài 51. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy, SA = a

a. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC vuông góc với (SAM).

b. Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC).

c. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Bài 52. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là tâm của đáy ABCD.

a. Chứng minh (SAC) vuông góc với (SBD), (SBD) vuông góc với (ABCD).

b. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) và từ điểm O đến mặt phẳng (SBC).

c. Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Bài 53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a

a. Chứng minh: BD vuông góc với SC, (SBD) vuông góc với (SAC).

b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

c. Tính góc giữa SC và (ABCD).