|
SỞ GD & ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC
|
ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 10
NĂM HỌC 2016 – 2017
(Thời gian làm bài: 120 phút)
|
Câu 1. (3,5 điểm): Cho hàm số 
và hàm số 
. Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác OAB đến các trục tọa độ bằng nhau. (điểm O là gốc tọa độ)
Câu 2. (6.5 điểm):
a). Giải hệ phương trình: 
b). Giải phương trình: 
.
Câu 3. (1,5 điểm): Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức 
. (
là độ dài đường cao ứng với cạnh AC). Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.
Câu 4. (3,5 điểm): Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3;1). Trên trục Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm tọa độ điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất biết hoành độ của điểm B và tung độ của điểm C không âm.
Câu 5. (3,0 điểm): Cho đường tròn tâm O và ba dây cung song song AB, CD, EF của đường tròn đó. Gọi H, I, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ACF, AED, CEB. Chứng minh H, I, K thẳng hàng.
Câu 6. (2,0 điểm): Cho 
thỏa mãn: 
.
Chứng minh: 
.
--------------- Hết ------------------
Họ tên thí sinh: ................................................................................ SBD: ......................
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
|
SỞ GD & ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC
|
KỲ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 10
NĂM HỌC 2016 – 2017
|
ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM
|
Câu
|
Nội dung đáp án
|
Điểm
|
|
1
(3,5đ)
|
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
 (1)
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  
|
1,5
|
|
Gọi  là hai nghiệm của phương trình (1), G là trọng tâm của tam giác OAB.
Ta có: 
|
1,0
|
|
Yêu cầu bài toán 
Kết hợp điều kiện,vậy m=-3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
|
1,0
|
|
2a
(3,5 đ)
|
Điều kiện:  .
|
0,5
|
|
Với điều kiện trên, hệ phương trình
|
1,5
|
|
 
|
1,0
|
|
KL: Vậy hệ phương trình có nghiệm (5; 2).
|
0,5
|
|
2b
(3,0 đ)
|
Điều kiện:  .
|
0,25
|
|
Với điều kiện trên, phương trình tương đương:
 
|
1,0
|
|
|
0,5
|
|
Đặt 
 Phương trình (2) trở thành:  
|
0,5
|
|
Với 
Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của phương trình là: 
|
0,5
0,25
|
|
3
(1,5đ)
|
Ta có:
|
0,5
|
|
Theo đề bài: 
|
0,5
|
|
Vậy tam giác ABC cân tại B
|
0,5
|
|
4
(3,5đ)
|
Gọi B(b;0), C(0;c) ( )
Tam giác ABC vuông tại A 
Mà 
|
1,5
|
|
Lại có: 
|
1,0
|
|
Xét hàm số  ( )
  Bảng biến thiên: x 0 3 
  f(x) 15 
Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất là 15 khi b=0
|
1,0
|
|
5
(3,0đ)
|
*) Chứng minh tính chất: Cho tam giác ABC. Gọi H, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì: 
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua O, D là trung điểm của BC.
Ta có: tứ giác BHCA’ là hình bình hành nên D là trung điểm của HA’
Mà  
|
1,0
|
|
*)Ta có: H, I, K lần lượt là trực tâm của tam giác ACF, AED, BCE.
 
Từ (1)và (2) 
(1)và (3) 
|
1,0
|
|
Mà AB//CD//EF  sao cho  ,  .
 , 
 cùng phương.
 thẳng hàng
|
1,0
|
|
6
(3,0đ)
|
Đặt  ,  (x,y >0)
Theo đề bài : 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: 
Do đó: 
|
1,0
|
|
Ta có:
|
1,5
|
|
Dấu bằng xảy ra khi x = y =1a=b=c
|
0,5
|
