PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn: Toán – (Thời gian làm bài: 150 phút)
----------------------------------
Bài 1. (6,0 điểm)
a) Cho . Tính giá trị biểu thức
b) Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn: . Chứng minh rằng
c) Giải phương trình nghiệm nguyên: .
Bài 2. (4,0 điểm). Giải các phương trình sau:
a)
b)
Bài 3. (3,0 điểm)
a) Cho x, y là hai số dương thoả mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b) Cho thoả mãn . Chứng minh rằng:
Bài 4. (6,0 điểm)
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là các tiếp điểm). Kẻ các đường kính AC và BD, đường thẳng MO cắt AB và CD lần lượt tại I và K. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm B đến đường kính AC.
a) Chứng minh rằng BH.AC = 2MB.CH
b) Gọi giao điểm của MC và BH là E. Tính BE theo theo R và MO = d.
c) Trên tia đối của tia DA lấy điểm F bất kì. Gọi giao điểm của AC và FK là N. Chứng minh
Bài 5. (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng cho 2020 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được ít nhất 253 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn .
------------------Hết------------------
Họ và tên: ........................................................................................................................
Số báo danh:...................................
.
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN 9 NĂM HỌC 2020-2021
Bài
Câu
Nội dung
Điểm
1
a
a) Cho . Tính giá trị biểu thức
2.0
Ta có
0.25
0,25
Ta có:
0.5
Thay vào ta được
0.25
0.25
0,25
Vậy
0.25
b
b) Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn: . Chứng minh rằng
2.0
Ta có:
0.25
0.5
(Vì là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có thừa số chia hết cho 2, thừa số chia hết cho 3 mà (2;3)=1 nên tích đó chia hết cho 6; )
(1)
0.5
Mặt khác:
(2)
0.5
Từ (1) và (2) suy ra:
0.25
c
c) Giải phương trình nghiệm nguyên: .
2.0
Ta có
0,25
0.5
TH1:
TH2:
0.5
0.5
Vậy .
0.25
2
a
Giải phương trình:
2.0
ĐK:
0.25
0.5
0.5
Vì .
Vậy
0,5
0,25
b
Giải phương trình: (1)
2.0
ĐK: x -1.
(1)
0.25
0.5
0.25
. Vậy
0,5
0,5
3
a
a) Cho x, y là hai số dương thoả mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1.5
0.5
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: ;
0.25
Mặt khác: ;
Do đó
0.25
0.25
Dấu “=” xảy ra
Vậy
0.25
b
Cho thoả mãn . Chứng minh rằng:
1.5
3
nguon VI OLET
