SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học 2010- 2011
THANH HOÁ
Đề chính thức
Số báo danh
Môn thi: Toán
Lớp: 9 THCS
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24/03/2011
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).
Câu I. (5,0 điểm).
2
1
) Cho phương trình: x −2mx + 2m−1= 0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm
2
x x +3
1 2
x , x với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
khi m thay đổi.
1
2
2
1
2
x + x +2(1+ x x )
2
1 2
1
1 1
2
) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn + = . Chứng minh rằng A = a + b + c
a b
2
2
2
c
là số hữu tỉ.
b). Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
(
1
1
1
2
B =
+
+
là số hữu tỉ.
2
2
(
x− y) (y−z) (z−x)
2
2
⎛
⎝
x ⎞ ⎛ x ⎞ 10
Câu II. (5,0 điểm).1) Giải phương trình:
+
=
⎟
x −1⎠ ⎝ x +1⎠
.
9
⎜
⎟
⎜
⎧
1 ⎛ 1 ⎞
2
x + x + 1+
= 4
⎟
y
⎠
⎪
⎪
⎨
⎜
y
⎝
2) Giải hệ phương trình:
2
x
x
1
+ = 4.
3
⎪
3
x +
+
2
⎪
y
y
y
⎩
Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB,
sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC.
�
Tính BPE.
Câu IV. (4,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O∉ AB ). P là điểm di động
trên đoạn thẳng AB ( P ≠ A, B và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm
P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường
tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N ≠ P ).
�
�
1
2
) Chứng minh rằng ANP = BNP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động.
Câu V. (4,0 điểm).
1
) Cho a ,a ,....,a là 45 số tự nhiên dương thoả mãn a < a < .... < a ≤130. Đặt
1 2 45 1 2 45
d = a − a , ( j =1,2,...,44). Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu d xuất hiện ít
j
j+1
j
j
nhất 10 lần.
) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn: a + b + b + c + c + a = 2011.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
1 2011
≥ .
Chứng minh rằng:
+
+
b + c c + a a + b
2
2
............................................................. HẾT ........................................................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
