Đề khảo sát chất lượng

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DUNG

I. Kiến thức cơ bản :

II . Các phương pháp giải:

A. Chứng minh bất đẳng thức bằng cách dùng định nghĩa :

Sử dụng các phép biến đổi tương đương đưa về bất đẳng thức đúng đã biết. Các bất đẳng thức đúng đã biết : a2 0 , a2 + b2 0 …

Ví dụ 1: Cho ba số thực a , b , c . Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 ab +bc + ca , từ đó suy ra

   ( ab + bc + ca)2 3abc(a+b+c)

Giải : Ta có :

a2 + b2 + c2 ab +bc + ca

                 2( a2 + b2 + c2 )2(ab +bc + ca)

       ( a2 – 2ab + b2 ) + ( b2 – 2bc + c2 )+ ( c2 – 2ca + a2 ) 0

                 ( a – b)2 + (b – c )2 + ( c – c )2 0 , Bất đẳng thức nầy đúng , bài toán chứng minh xong

Do ( ab + bc + ca)2 = (ab)2 +(bc)2 +(ca)2 + 2abc(a + b + c ) ab.bc +bc.ca + ca.ab +2abc(a+b+c)

           = 3abc(a+b+c)

Ví dụ 2 :Cho hai số a , b , c  thỏa a 1 . b 1  .Chứng minh rằng :

Giải :

(2+a2 + b2)(1+ab)   2(1+a2)(1+b2)

        2+a2 + b2 +2ab +ab(a2 + b2 ) 2(1 +a2+b2 +a2b2)

        2ab – a2 – b2 + ab(a2+b2) – 2a2b2 0

         ab(a – b)2 – (a – b)2 0

                ( a – b)2 ( ab – 1) 0 . Bất đẳng thức nầy đúng do ab 1 .

Ví dụ 3 : Cho hai số a , b thỏa : a + b 2 . Chứng minh rằng : a4 + b4 a3 + b3

Giải : a4 + b4 a3 + b3

         a4 – a3 + b4 – b3 0

          a3(a -1) + b3( b – 1) 0

         (a3 – 1)( a – 1) + (b3 – 1)(b – 1) + a + b – 2 0

          ( a – 1)2(a2+a +1) +(b – 1)2(b2+b+1) a + b – 2 0 . Bất đẳng thức nầy đúng

Nhận xét : Sử dụng cách làm trên thường ta cần phát hiện , phân tích thành các hằng đẳng thức .

B . Dùng các bất đẳng thức đã biết :( bất đẳng thức Cô-Si , Bất đẳng thức trị tuyệt đối )

Ví dụ 1 :Cho a , b , c dương . Chứng minh rằng :

Giải : Do a2 +bc 2a nên : . Tương tự ta có :

  Nên :

Ví dụ 2 :Cho a > 0 , b > 0 , c > 0 . Chứng minh rằng : ( a + b + c ) (

Giải : Ta có : 2(a + b + c) = a + b + b + c + c + a

Và .

Nên :

           ( a + b + c ) (

Ví dụ 3 : Cho x , y , z là 3 số dương thỏa : x.y.z = 1 . Chứng minh rằng :

Giải : Ta có :

Tương tự :

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên cho ta :

Mà x + y +z . Nên

Ví dụ 4 :Cho a , b , c dương và a + b +c =  1 .

Chứng minh rằng :

Giải :

Tương tự :.

Nhân các bất đẳng thức tương ứng cho ta :

Nhận xét : ta hay dùng bất đẳng thức Cô-si  sau đó nhân các bất đẳng thức hoặc cộng chúng lại với nhau.

Ví dụ 5 : Cho x , y , z là độ dài 3 cạnh của tam giác . Chứng minh rằng

Giải :

Nên :

Do x , y , z là ba cạnh của tam giác nên :

Cho ta :

Theo bất đẳng thức Cô-si :

Vậy :

C . Ứng dụng : Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến

Ví dụ : Cho các số thực dương x , y , z thỏa : x + y +z = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biêu thức

  P =

Giải : Ta có : P =

Mà : x2 + y2 – xy xy   với mọi x , y

Nên : x3 + y3 xy(x+y)  với mọi x , y dương

Hay : với mọi x , y dương

Tương tự :   với mọi x , y ,zdương

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức vừa nhận được ta có : P 2(x + y+ z) = 2 ( do x +y +z = 1)

Ta có ; P = 2 khi x = y = z = . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2

Ví dụ 2 :Cho x , y , z là các số dương thỏa mãn : x2 +y2 +z2 = 1 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = .

Giải : Ta có P2 =

Mà : 2y2 , .

Nên :P2 = 3. Dấu = xãy ra khi x = y = z = .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là .

Ví dụ 3 : Cho ba số dương a , b , c và thỏa mãn điều kiện : .

Tìm giá trị lớn nhất của Q = a.b.c

Giải :Ta có :

Tương tự :

Nhân các bất đẳng thức vừa nhận được ta có :

Hay : abc . Dấu = xãy ra khi a = b = c = . Vậy maxQ =

Nhận xét :Việc giải quyết bài toán tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của biểu thức nhiều biến , người ta thường dùng bất đẳng thức để chứng minh : biểu thức đó nhỏ hơn hoặc bằng (lớn hơn hoặc bằng) một hằng số và kiểm tra có dấu bằng xãy ra , để kết luận giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất

Bài tập :

Bài 1 :Cho x , y , z là ba số dương thỏa x + y + z 1.

Chứng minh rằng :  ( đề thi đh khối A – 2003)

Bài 2 :Cho x , y , z là các số dương thỏa mãn :.

Chứng minh rằng :      ( đề thi đh khối A – 2005)

Bài 3 : Cho các số dương x , y , z thỏa mãn x.y.z = 1 .

Chứng minh rằng :  ( đề thi đh khối D – 2005)

Bài 4 :Cho hai số thực x , y khác 0 ,thay đổi và thỏa mãn điều kiện  ( x +y)xy = x2 +y2 – xy .

Tìm giá trị lớn nhất biểu thức A =     ( đề thi đh khối A – 2006)

Bài 5 :Cho x , y là các số thực thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A =  ( đề thi đh khối B – 2006)

Bài 6 :Cho x, y , z là 3 số dương thỏa mãn : x(x +y +z) = 3yz .

Chứng minh rằng : (x +y)3 + (x +z)3 + 3(x+y)(x+z)(x+y) 5( y+z)3  (đề thi đh khối A-09)

Bài 7 :Cho hai số thực x , y thay đổi thỏa : ( x +y)3 + 4xy 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3(x4 +y4 +x2y2 ) – 2(x2+y2) + 1 (đề thi đh khối B-09)

Bài 8 :Cho x ; y không âm thỏa : x +y = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S = (4x2+3y)(4y2 =3x) + 25xy                                                                                    (đề thi đh khối D-09)

Bài 9 : Cho x , y là hai số thực không âm thay đổi . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P =         ( đề thi đh khối D -2008)

Bài 10 : cho x ,y , z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x.y.z =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P =     ( khối A 2007)

Bài 11:Cho hai số thực dương x , y thay đổi và thỏa mãn hệ thức : x2 + y2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :P =     ( khối B 2008)

Bài 12 :Cho ba số thực không âm a , b , c thỏa mãn : a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 3( a2b2 + b2c2 + c2a2) +3(ab+bc+ca) + 2  ( khối B -2010)