Đề luyện thi vào lớp 10 MÔN TOÁN (last update)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2 điểm)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) 2x² – x – 3 = 0

b)   

c) x4 + x² – 12 = 0

d) x² – 2x – 7 = 0

Bài 2: (1,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x² và đường thẳng (D): trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.

Bài 3: (1,5 điểm)

 Thu gọn các biểu thức sau:

với x > 0;

 

Bài 4: (1,5 điểm)

 Cho phương trình x² – 2mx + m – 2 = 0 (x là ẩn số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình.

Tìm m để biểu thức M = đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 5: (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME < MF). Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO).

a) Chứng minh rằng MA.MB = ME.MF

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO. Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp.

c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF. Chứng minh rằng đường thẳng MS vuông góc với đường thẳng KC.

d) Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và T là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng.

ĐÁP SỐ:

Bài 1:

a) S = {–1; 3/2}

b) (2; –1)

c) x =

d) x =

Bài 2:

a) Bạn đọc tự vẽ

b) (–4; 4), (2; 1)

Bài 3:

với x > 0; x ≠ 1

Bài 4:

a) Phương trình (1) có Δ’ = (m – 2)² + 4 > 0 với mọi m nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) M đạt giá trị nhỏ nhất là –2 khi m = 1

Bài 5:

a) Vì ta có do hai tam giác đồng dạng MAE và MBF

Nên suy ra MA.MB = ME.MF

(Phương tích của M đối với đường tròn tâm O)

b) Do hệ thức lượng trong đường tròn ta có MA.MB = MC², mặt khác hệ thức lượng trong tam giác vuông MCO ta có MH.MO = MC² suy ra MA.MB = MH.MO

nên tứ giác AHOB nội tiếp trong đường tròn.

c) Xét tứ giác MKSC nội tiếp trong đường tròn đường kính MS (có hai góc K và C vuông). Vậy ta có: MK² = ME.MF = MC² nên MK = MC. Do đó MF chính là đường trung trực của KC nên MS vuông góc với KC tại V.

d) Do hệ thức lượng trong đường tròn ta có MA.MB = MV.MS của đường tròn tâm Q. Tương tự với đường tròn tâm P ta cũng có MV.MS = ME.MF nên PQ vuông góc với MS và là đường trung trực của VS (đường nối hai tâm của hai đường tròn). Nên PQ cũng đi qua trung điểm của KS (do định lí trung bình của tam giác SKV). Vậy 3 điểm T, Q, P thẳng hàng.

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT MÔN TOÁN

MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

 

Bài 1: (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: (x + 1)(x + 2) = 0

b) Giải hệ phương trình:

Bài 2: (1,0 điểm)

Rút gọn biểu thức

Bài 3: (1,5 điểm)

 Biết rằng đường cong trong hình vẽ bên là một parabol y = ax².

a) Tìm hệ số a.

b) Gọi M và N là các giao điểm của đường thẳng y = x + 4 với parabol. Tìm tọa độ của các điểm M và N.

Bài 4: (2,0 điểm)

 Cho phương trình x² – 2x – 3m² = 0, với m là tham số.

a) Giải phương trình khi m = 1.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa điều kiện .

Bài 5: (3,5 điểm)

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B thuộc (O), C thuộc (O’). Đường thẳng BO cắt (O) tại điểm thứ hai là D.

a) Chứng minh rằng tứ giác CO’OB là một hình thang vuông.

b) Chứng minh rằng ba điểm A, C, D thẳng hàng.

c) Từ D kẻ tiếp tuyến DE với đường tròn (O’) (E là tiếp điểm). Chứng minh rằng DB = DE.

ĐÁP SỐ:

Bài 1:

a) x = –1 hay x = –2

b) (–1; –3)

Bài 2: A = 4

Bài 3:

a) Theo đồ thị ta có y(2) = 2 → a = 1/2

b) M(–2; 2) và N(4; 8).

Bài 4:

a) x = –1 hay x = 3

b) m = 1

Bài 5:

a) Theo tính chất của tiếp tuyến ta có OB, O’C vuông góc với BC → tứ giác CO’OB là hình thang vuông.

b) Ta có góc ABC = góc BDC → góc ABC + góc BCA = 90→ góc BAC = 90°

Mặt khác, ta có góc BAD = 90° (nội tiếp nửa đường tròn)

Vậy ta có góc DAC = 180° nên 3 điểm D, A, C thẳng hàng.

c) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông DBC ta có DB² = DA.DC

Mặt khác, theo hệ thức lượng trong đường tròn ta có DE² = DA.DC → DB = DE.

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT MÔN TOÁN

Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)

 

Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức: P =

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.

b) Rút gọn P

Câu 2 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình:

a) Giải hệ phương trình với a = 1

b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Câu 3 (2,0 điểm). Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng một nửa chiều dài. Biết rằng nếu giảm mỗi chiều đi 2m thì diện tích hình chữ nhật đã cho giảm đi một nửa. Tính chiều dài hình chữ nhật đã cho.

Câu 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn (O; R) cố định và điểm M nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (B,C là các tiếp điểm) của (O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC. Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đường thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai là A. Vẽ đường kính BB’ của (O). Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BB’,đường thẳng này cắt MC và B’C lần lượt tại K và E. Chứng minh rằng:

a) 4 điểm M,B,O,C cùng nằm trên một đường tròn.

b) Đoạn thẳng ME = R.

c) Khi điểm M di động mà OM = 2R thì điểm K di động trên một đường tròn cố định, chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 4. Chứng minh rằng:

ĐÁP SỐ

Bài 1

a) x ≠ 1 & x ≠ –1

b) P = (x – 1) / (x + 1)

Bài 2

a) (–1; –2)

b) với mọi a

Bài 3. m

Bài 4

a) Ta có: góc MOB = 90° (vì MB là tiếp tuyến)

góc MCO = 90° (vì MC là tiếp tuyến)

=> góc MBO + góc MCO = 180°

=> Tứ giác MBOC nội tiếp

=> 4 điểm M, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn

b) Ta có MB // EO (vì cùng vuông góc với BB’)

=> góc O1 = góc M1 (so le trong)

Mà góc M1 = góc M2 (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

=> góc M2 = góc O1 (1)

C/m được MO // EB’ (vì cùng vuông góc với BC)

=> góc O1 = góc E1 (so le trong) (2)

Từ (1), (2) => góc M2 = góc E1 => MOCE nội tiếp

=> góc MEO = góc MCO = 90°

=> góc MEO = góc MBO = góc BOE = 90°

=> MBOE là hình chữ nhật

=> ME = OB = R (điều phải chứng minh)

c) Chứng minh được tam giác MBC đều => góc BMC = 60°

=> góc BOC = 120°

=> góc KOC = 60° – góc O1 = 60° – góc M1 = 30°

Trong tam giác KOC vuông tại C, ta có:

Mà O cố định, R không đổi => K di động trên đường tròn tâm O (điều phải chứng minh)

Bài 5

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

 

Câu 1. (2,5đ)

1. Giải phương trình:

a) 2x² – 7x + 3 = 0.   b) 9x4 + 5x² – 4 = 0.

2. Tìm hàm số y = ax + b, biết đồ thị hàm số của nó đi qua 2 điểm A(2; 5), B(–2; –3).

Câu 2. (1,5đ)

a) Hai ô tô đi từ A đến B dài 200km. Biết vận tốc xe thứ nhất nhanh hơn vận tốc xe thứ hai là 10km/h nên xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe.

b) Rút gọn biểu thức: với x ≥ 0.

Câu 3. (1,5 đ)

Cho phương trình: x² – 2(m + 2)x + m² + 4m +3 = 0.

a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.

b) Tìm giá trị của m để biểu thức A = đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 4. (3,5đ)

 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. E là trung điểm đoạn AD. EC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác OEBM nội tiếp.

b) MB² = MA.MD.

c) góc BFC = góc MOC.

d) BF // AM

Câu 5. (1đ)

Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x + 2y = 3. Chứng minh: ≥ 3

ĐÁP SỐ

Câu 1.

1. Giải phương trình:

a) {3; 1/2}

b) x = .

2. y = 2x + 1

Câu 2.

a) Vận tốc xe thứ nhất là 50km/h, vận tốc xe thứ hai là 40km/h.

b) A = x với x ≥ 0.

Câu 3. (1,5 đ)

a) Δ’ > 0 với mọi m.

b) với m = –2 thì min A = 2

Câu 4.

a) Ta có EA = ED (gt) suy ra OE AD (Quan hệ giữa đường kính và dây)

Nên góc OEM = 90°; góc OBM = 90° (tính chất tiếp tuyến)

E và B cùng nhìn OM dưới một góc vuông suy ra tứ giác OEBM nội tiếp.

b) Ta có góc MBD = (1/2)sđ cung BD (góc nt)

góc MAB = (1/2) sđ cùn BD (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung BD)

Suy ra góc MBD = góc MAB.

Nên ΔMBD đồng dạng với ΔMAB suy ra

Vậy MB² = MA.MD

c) Ta có: góc BOC = (1/2) ssd cung BC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

góc BFC = (1/2) sđ cung BC (góc nội tiếp)

Suy ra góc BFC = góc MOC.

d) Tứ giác MFOC nội tiếp suy ra góc MFC = góc MOC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC), mặt khác góc BFC = góc MOC (theo câu c) nên góc BFC = góc MFC. Vậy BF // AM.

Câu 5.

Ta có x + 2y = 3 suy ra x = 3 – 2y, vì x dương nên 3 – 2y > 0

Xét hiệu ≥ 0 (vì y > 0 và 3 – 2y > 0)

→ ≥ 3 dấu “ =” xãy ra <=> x = y = 1

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

 

Câu I (2,0 điểm)

a) Giải phương trình .

b) Giải hệ phương trình .

Câu II (1,0 điểm)

Rút gọn biểu thức với a > 0 và a ≠ 4.

Câu III (1,0 điểm)

Một tam giác vuông có chu vi là 30 cm, độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông đó.

Câu IV (2,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 và parabol (P): .

a) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(–1; 3).

b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) sao cho x1x2(y1 + y2) + 48 = 0.

Câu V (3,0 điểm)

 Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm C khác A sao cho AC < BC. Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau ở điểm D, AD cắt (O) tại E khác A.

a) Chứng minh BE² = AE.DE.

b) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB tại H, DO cắt BC tại F. Chứng minh tứ giác CHOF nội tiếp.

c) Gọi I là giao điểm của AD và CH. Chứng minh I là trung điểm của CH.

Câu VI (1,0 điểm)

Cho 2 số dương a, b thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.

ĐÁP SỐ

Câu 1.

a) x = –2

b) (3; 1)

Câu 2. P = –1

Câu 3. 5 cm; 12 cm; 13 cm

Câu 4.

a) m = –4

b) m = –1

Câu 5.

a) Vì BD là tiếp tuyến của (O) nên ΔABD vuông tại B

Vì AB là đường kính của (O) nên AE BE

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABD (BE AD) ta có BE² = AE.DE

b) Có DB = DC (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau), OB = OC (bán kính)

=> OD là đường trung trực của đoạn BC => góc OFC = 90° (1)

Có CH // BD (gt), mà AB BD (tiếp tuyến)

=> CH AB => góc OHC = 90° (2)

Từ (1) và (2) ta có góc OFC + góc OHC = 180° => tứ giác CHOF nội tiếp

Có CH // BD => góc HCB = góc CBD (so le trong) mà

ΔBCD cân tại D => góc CBD = góc DCB nên CB là tia phân giác của góc HCD

c) do CA CB => CA là tia phân giác góc ngoài đỉnh C của ΔICD (3)

Trong ΔABD có HI // BD => (4)

Từ (3) và (4) => mà CD = BD suy ra CI = HI nên I là trung điểm của CH

Câu 6. Với a > 0, b > 0 ta có: (a² – b)² ≥ 0 suy ra a4 + b² ≥ 2a²b

<=> a4 + b² + 2ab² ≥ 2ab (a + b)

(1)

Tương tự có (2).

Từ (1) và (2) (3)

Vì a + b = 2ab

mà (4).

Khi a = b = 1 thì max Q = 1/2.

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Giải phương trình: x² – 6x + 9 = 0

b) Giải hệ phương trình:

c) Giải phương trình:

Câu 2 (2,5 điểm)

Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B đến A hết tất cả 4 giờ. Tính vận tốc ca nô khi nước yên lặng, biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là 4 km/h.

Câu 3 (2,5 điểm)

 Trên đường tròn (O) lấy hai điểm M, N sao cho M, O, N không thẳng hàng. Hai tiếp tuyến tại M, N với đường tròn (O) cắt nhau tại A. Từ O kẻ đường vuông góc với OM cắt AN tại S. Từ A kẻ đường vuông góc với AM cắt ON tại I. Chứng minh:

a) SO = SA

b) Tam giác OIA cân

Câu 4 (2,0 điểm).

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x² + 2y² + 2xy + 3y – 4 = 0

b) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là giao điểm các đường phân giác trong. Biết AB = 5 cm, IC = 6 cm. Tính BC.

ĐÁP SỐ

Câu 1.

a) x = 3

b) (2; 2/3)

c) Vô nghiệm

Câu 2. 16 km/h

Câu 3.

a) Vì AM, AN là các tiếp tuyến nên: góc MAO = góc SAO (1)

Vì MA // SO nên: góc MAO = góc SOA (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ta có: góc SAO = góc SOA suy ra ΔSAO cân tại S

Vậy SA = SO (đ.p.c.m)

b) Vì AM, AN là các tiếp tuyến nên: góc MOA = góc NOA (3)

Vì MO // AI nên: góc MOA = góc OAI (so le trong) (4)

Từ (3) và (4) ta có: IOA = góc IAO suy ra ΔOIA cân (đ.p.c.m)

Câu 4.

a) (1) <=> (y – 1)(y + 4) = –(x + y)² (2)

Suy ra –4 ≤ y ≤ 1

Các cặp nghiệm nguyên là (4; –4), (1; –3), (5; –3), (–2; 0), (–1; 1).

b) Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng BI, E là giao điểm của AB và CD. ΔBIC có góc DIC là góc ngoài nên: góc DIC = 45°

Suy ra ΔDIC vuông cân

Nên DC =

Mặt khác BD là đường phân giác và đường cao nên tam giác BEC cân tại B

Suy ra EC = 2DC = và BC = BE

Gọi x = BC = BE. (x > 0).

Áp dụng định lý Pi–ta–go vào các tam giác vuông ABC và ACE ta có:

AC² = BC² – AB² = x² – 25

EC² = AC² + AE² = x² – 25 + (x – 5)² = 2x² – 10x

<=> x² – 5x – 36 = 0

Giải phương trình ta có nghiệm x = 9 thỏa mãn. Vậy BC = 9 (cm)

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài I (2,5 điểm)

1) Cho biểu thức . Tính giá trị của A khi x = 36

2) Rút gọn biểu thức (với x ≥ 0; x ≠ 16)

3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên.

Bài II (2,0 điểm).

Hai người cùng làm chung một công việc trong 2,4 giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?

Bài III (1,5 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

2) Cho phương trình: x² – (4m – 1)x + 3m² – 2m = 0 với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện:

Bài IV (3,5 điểm)

 Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.

1) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh góc ACM = góc ACK

3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C.

4) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và AP.MB = MA.R. Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.

Bài V (0,5 điểm). Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

ĐÁP SỐ

Bài I: (2,5 điểm)

1) Với x = 36, ta có: A = 5/4

2)

3) x = 14; 15; 17; 18

Bài II: (2,0 điểm)

Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ, người thứ hai làm xong công việc trong 6 giờ.

Bài III: (1,5 điểm)

1) (2; 1)

2) m = 1 hay m = –3/5.

Bài IV: (3,5 điểm)

1) Ta có góc HCB = 90° (do chắn nửa đường tròn)

góc HKB = 90° (do K là hình chiếu của H trên AB)

=> góc HCB + góc HKB = 180° nên tứ giác CBKH nội tiếp trong đường tròn.

2) Ta có góc ACM = góc ABM (do cùng chắn cung AM)

và góc ACK = góc HCK = góc HBK (vì cùng chắn cung HK)

Vậy góc ACM = góc ACK

3) Vì OC  AB nên C là điểm chính giữa của cung AB

Suy ra AC = BC và sđ cung AC = sđ cung BC = 90°

Xét 2 tam giác MAC và EBC có

MA = EB (gt), AC = CB (cmt) và góc MAC = góc MBC vì cùng chắn cung MC

Suy ra ΔMAC = ΔEBC (c – g – c)

Nên CM = CE

Do đó tam giác MCE cân tại C (1)

Ta lại có góc CMB = 45° (vì chắn cung CB)

Suy ra góc CEM = góc CMB = 45° (tính chất tam giác MCE cân tại C)

Mà góc CME + góc CEM + góc MCE = 180° (tổng ba góc trong tam giác)

Nên góc MCE = 90° (2)

Từ (1), (2) suy ra tam giác MCE là tam giác vuông cân tại C (đpcm).

4) Gọi S là giao điểm của BM và đường thẳng (d), N là giao điểm của BP với HK.

Xét ΔPAM và ΔOBM đồng dạng

Nên PA = PM (3)

Vì góc AMB = 90° nên góc AMS = 90°

Suy ra góc PAM + góc PSM = 90°

và góc PMA + góc PMS = 90°

Suy ra góc PMS = góc PSM

Do đó PS = PM (4)

Từ (3) và (4) suy ra PA = PS hay P là trung điểm của AS.

Vì HK // AS (cùng vuông góc AB) nên hay

mà PA = PS(cmt) suy ra NK = NH hay BP đi qua trung điểm N của HK. (đpcm)

Bài V: (0,5 điểm)

Ta có M =

Vì (x – 2y)² ≥ 0 và x ≥ 2y

min M = 5/2 khi x = 2y

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài:120 phút

Câu 1: (2,0 điểm)

Cho biểu thức , (Với a > 0, a ≠ 1)

1. Rút gọn P

2. Tìm giá trị của a để P = a

Câu 2: (2,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y = x² và đư­ờng thẳng (d): y = 2x + 3

1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt

2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ)

Câu 3: (2,0 điểm)

Cho ph­ương trình x² + 2mx + m² – 2m + 4 = 0

1. Giải ph­ơng trình khi m = 4

2. Tìm m để phư­ơng trình có hai nghiệm phân biệt

Câu 4: (3,0 điểm)

 Cho đ­ường tròn (O) có đ­ờng kính AB cố định, M là một điểm thuộc (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau ở C. Đư­ờng tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đư­ờng thẳng AC tại C. CD là đường kính của (I). Chứng minh rằng:

1. Ba điểm O, M, D thẳng hàng

2. Tam giác COD là tam giác cân

3. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đư­ờng tròn (O)

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho a, b, c là các số d­ương không âm thỏa mãn: a² + b² + c² = 3

Chứng minh rằng:

ĐÁP SỐ

Câu 1.

1. P = 2/(a – 1)

2. a = 2

Câu 2.

1. A(–1; 1) và B(3; 9)

2. SABC = 6 dvdt

Câu 3.

1. {–2; –6}

2. m > 2

Câu 4.

1. Ta có MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên MC  MO (1)

Xét đ­ường tròn (I): góc CMD = 90° suy ra MC  MD (2)

Từ (1) và (2) => MO // MD

Vậy O, M, D thẳng hàng

2. Ta có CA  AB (tiếp tuyến) (3)

Đường tròn (I) tiếp xúc với AC tại C suy ra CA  CD (4)

Từ (3) và (4) suy ra CD // AB

Nên góc DCO = góc COA (*) (so le trong)

CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên góc COA = góc COD (**)

Từ (*) và (**) suy ra góc DOC = góc DCO

Vậy tam giác COD cân tại D

3. Gọi chân đường vuông góc hạ từ D tới BC là H. Suy ra H thuộc (I). DH kéo dài cắt AB tại K.

Gọi N là giao điểm của CO và đư­ờng tròn (I)

Chứng minh được NC = NO

Ta có tứ giác NHOK nội tiếp

Mặt khác góc NDH = góc NCH

ΔDHN và ΔCOB đồng dạng

Tương tự và

suy ra góc ONH = góc CDH

Do đó ΔNHO đồng dạng với ΔDHC

Suy ra góc NHO = 90° nên góc NKO = 90° suy ra NK  AB hay NK // AC

Do đó K là trung điểm của OA cố định suy ra ĐPCM

Câu 5.

* Chứng minh bổ đề

* Ta có: a² + 2b + 3 = a² + 1 + 2b + 2 ≥ 2a + 2b + 2

Áp dụng tương tự suy ra A ≤

Ta chứng minh

≥ 2

3 – B ≥ Suy ra đpcm

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

 

Câu 1: (2,0 điểm)

Giải hệ phương trình, phương trình sau:

1.

2. |x + 5| = 2x – 18

3. x² – 12x + 36 = 0

4.

Câu 2: (1,5 điểm)

 Cho biểu thức: (với a > 0, a ≠ 1)

1. Rút gọn biểu thức K.

2. Tìm a để .

Câu 3: (1,5 điểm)

 Cho phương trình x² – 4x – m² + 3 = 0 (*) với m là tham số.

1. Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2. Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm x1, x2 thỏa x2 = –5x1.

Câu 4: (1,5 điểm)

 Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định. Sau khi đi được 1 giờ thì ô tô bị chặn bởi xe cứu hỏa 10 phút. Do đó để đến B đúng hạn xe phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ô tô.

Câu 5: (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O), từ điểm A ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B, C là các tiếp điểm). OA cắt BC tại E.

1. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.

2. Chứng minh BC vuông góc với OA và BA.BE = AE.BO.

3. Gọi I là trung điểm của BE, đường thẳng qua I và vuông góc OI cắt các tia AB, AC theo thứ tự tại D và F. Chứng minh góc IDO = góc BCO và ΔDOF cân tại O.

4. Chứng minh F là trung điểm của AC.

ĐÁP SỐ

Câu 1: (2,0 điểm)

1. (21; 22)

2. x = 23

3. x = 6

4. x = 2012

Câu 2: (1,5 điểm)

1.

2. a = 503 (thỏa mãn điều kiện)

Câu 3: (1,5 điểm)

1. Δ = 4m² + 4 > 0 với mọi m

2. m =

Câu 4: (1,5 điểm)

x = 48 km/h

Câu 5.

3. Tam giác BOC cân tại O => góc OBC = góc OCB

Tứ giác OIBD có góc OID = góc OBD = 90° nên OIBD nội tiếp => góc ODI = góc OBI

Do đó góc IDO = góc BCO

Lại có FIOC nội tiếp nên góc IFO = góc ICO

Suy ra góc OPF = góc OFP; vậy ΔDOF cân tại O.

4. Xét tứ giác BPFE có IB = IE; IP = IF (Tam giác OPF cân có OI là đường cao)

Nên BPEF là Hình bình hành => BP // FE

Tam giác ABC có EB = EC; BA // FE; nên EF là ĐTB của tam giác ABC => FA = FC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1: 2,5 điểm

Cho biểu thức A =

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A.

b) Tìm tất cả các giá trị của x để A > 1/2

c) Tìm tất cả các giá trị của x để B = 7A / 3 đạt giá trị nguyên.

Câu 2: 1,5 điểm

 Quảng đường AB dài 156 km. Một người đi xe máy tử A, một người đi xe đạp từ B. Hai xe xuất phát cùng một lúc và sau 3 giờ gặp nhau. Biết rằng vận tốc của người đi xe máy nhanh hơn vận tốc của người đi xe đạp là 28 km/h. Tính vận tốc của mỗi xe?

Câu 3: 2 điểm

Cho phương trình: x² – 2(m–1)x + m² – 6 = 0 (m là tham số).

a) Giải phương trình khi m = 3

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

Câu 4: 4 điểm

 Cho điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O. Vẽ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D), OM cắt AB và (O) lần lượt tại H và I. Chứng minh

a) Tứ giác MAOB nội tiếp.

b) MC.MD = MA²

c) OH.OM + MC.MD = MO²

d) CI là tia phân giác góc MCH.

ĐÁP SỐ

Câu 1: (2,5 điểm)

a) x > 0 và x ≠ 4

A =

b) x > 4.

c) x = 25; 144

Câu 2: (1,5 điểm)

Vận tốc của xe đạp là 12 km/h và vận tốc của xe máy là 12 + 28 = 40 (km/h)

Câu 3: (2,0 điểm)

a) x1 = 1, x2 = 3.

b) m = 0, m = –4

Câu 4: (4,0 điểm)

a) Vì MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B nên các góc của tứ giác MAOB vuông tại A và B, nên nội tiếp được đường tròn.

b) Cm ΔMAC và ΔMDA đồng dạng. Từ đó suy ra suy ra đpcm

c) ΔMAO và ΔAHO đồng dạng suy ra OH.OM = OA²

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông MAO và các hệ thức trên để suy ra điều phải chứng minh.

d) Từ MH.OM = MA², MC.MD = MA² suy ra MH.OM = MC.MD hay (*)

Do đó ΔMHC và ΔMDO đồng dạng.

Suy ra hay (1)

Ta lại có góc MAI = góc IAH nên AI là phân giác của góc MAH.

Theo t/c đường phân giác của tam giác: (2)

ΔMHA và ΔMAO đồng dạng suy ra (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra suy ra CI là tia phân giác của góc MCH

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2,0 điểm)

a. Giải hệ phương trình:

b. Xác định các giá trị của m để hệ phương trình sau vô nghiệm (m là tham số)

Bài 2: (3,0 điểm)

 Cho hai hàm số y = x² và y = x + 2.

a. Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b. Bằng phép tính hãy xác định tọa độ các giao điểm A, B của hai đồ thị trên; điểm A có hoành độ âm.

c. Tính diện tích của tam giác OAB (O là gốc tọa độ).

Bài 3: (1,0 điểm)

 Tính giá trị của biểu thức H =

Bài 4: (3,0 điểm)

 Cho đường tròn tâm O, đường kính AC = 2R. Từ một điểm E ở trên đoạn OA (E không trùng với A và O). Kẻ dây BD vuông góc với AC. Kẻ đường kính DI của đường tròn (O).

a. Chứng minh rằng: AB = CI.

b. Chứng minh rằng: EA² + EB² + EC² + ED² = 4R²

c. Tính diện tích của đa giác ABICD theo R khi OE = 2R / 3.

Bài 5: (1,0 điểm)

 Cho tam giác ABC và các trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh rằng

(AB + BC + CA) < AM + BN + CP < AB + BC + CA

ĐÁP SỐ

Bài 1: (2,0 điểm)

a. x = y = 1

b. m = –5/2

Bài 2: (3,0 điểm)

a. Bạn đọc tự vẽ.

b. A(–1; 1), B(2; 4).

c. SOAB = 3.

Bài 3: (1,0 điểm)

H = 4

Bài 4: (3,0 điểm)

a. Ta có: BD vuông góc với AC (gt). Góc DBI = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) → BD vuông góc BI. Do đó: AC // BI suy ra cung AB = cung CI nên AB = CI

b. Vì BD vuông góc với AC → cung AB = cung AD nên AB = AD. Ta có: EA² + EB² + EC² + ED² = AB² + CD² = AD² + CD² = AC² = (2R)² = 4R².

c. SABICD = SABD + SABIC = .DE.AC + .EB.(BI + AC)

* OE = 2R/3 → AE = R/3 và EC = 5R/3

* DE² = AE.EC = → DE = . Do đó: EB =

* BI = AC – 2AE = 4R/3

SABICD = (đvdt)

Bài 5: (1,0 điểm)

 Gọi G là trọng tâm của ΔABC, ta có: GM = AM/3; GN = BN/3; GP = CP/3.

Vì AM, BN, CP các trung tuyến, nên: M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB

Do đó: MN, NP, MP là các đường trung bình của ΔABC

Nên: MN = AB / 2; NP = BC / 2; MP = AC / 2

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có

* AM < MN + AN hay AM < (AB + AC)/2 (1)

Tương tự: BN < (AB + BC)/2 (2) và CP < (BC + AC)/2 (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: AM + BN + CP < AB + BC + CA (*)

* GN + GM > MN hay (BN + AM)/3 > AB/2 (4)

Tương tự: (BN + CP)/3 > BC/2 (5) và (CP + AM)/3 > AC/2 (6)

Từ (4), (5), (6) suy ra: 2(BN + AM + CP)/3 > (AB + BC + AC)/2

Suy ra (AB + BC + CA) < AM + BN + CP (**)

Từ (*), (**) suy ra: (AB + BC + CA) < AM + BN + CP < AB + BC + CA

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1.

a. Giải phương trình 2x – 5 = 1

b. Giải bất phương trình 3x – 1 > 5

Câu 2.

a. Giải hệ phương trình

b. Chứng minh rằng

Câu 3. Cho phương trình x² – 2(m – 3)x – 1 = 0

a. Giải phương trình khi m = 1

b. Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 sao cho biểu thức A = đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn tâm B bán kính AB. Lấy C làm tâm vẽ đường tròn tâm C bán kính AC, hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là D. Vẽ AM, AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa M; N.

a. CMR: ΔABC = ΔDBC

b. CMR: ABDC là tứ giác nội tiếp.

c. CMR: ba điểm M, D, N thẳng hàng.

d. Xác định vị trí của các dây AM; AN của đường tròn (B) và (C) sao cho đoạn MN có độ dài lớn nhất.

Câu 5. Giải Hệ PT

Đáp số:

Câu 1.

a. x = 3 b. x > 2

Câu 2.

a. x = 2; y = –3. b. Bạn đọc tự chứng minh.

Câu 3.

a. x1 = ; x2 =

b. GTNN của A = 3 khi m = 3

Câu 4.

a. Có AB = DB; AC = DC; BC chung → ΔABC = ΔDBC (c – c – c)

b. ΔABC = ΔDBC → góc BAC =BDC = 90° → ABDC là tứ giác nội tiếp

c. Có góc A1 = góc M1 (ΔABM cân tại B)

góc A4 = góc N2 (ΔACN cân tại C)

góc A1 = góc A4 (cùng phụ A23)

→ gócA1 = gócM1 =gócA4= gócN2

góc A2 = góc N1 (cùng chắn cung AD của (C))

Lại có A1 + A2 + A3 = 90° => M1 + N1 + A3 = 90°

Mà ΔAMN vuông tại A => M1 + N1 + M2 = 90°

=> A3 = M2 => A3 = D1.

ΔCDN cân tại C nên N12 = D4.

→ D23 + D1 + D4 = D23 + D1 + N12 = D23 + M2 + N1 + N2 = 90° + M2 + N1 + M1 = 180°

→ M; D; N thẳng hàng.

d. ΔAMN đồng dạng ΔABC (g – g)

Ta có NM² = AN² +AM² để NM lớn nhất thì AN; AM lớn nhất

Mà AM; AN lớn nhât khi AM; AN lần lượt là đường kính của (B) và (C)

Vậy khi AM; AN lần lượt là đường kính của (B) và (C) thì NM lớn nhất.

Câu 5. Hướng dẫn

Đặt x + 2y = a; 2x – y – 1 = b; b ≥ 0

Chứng minh a = b

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (4; 1)

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (2,5 điểm)

1. Giải các phương trình:

a. x4 – x² – 20 = 0

b.

2. Giải hệ phương trình:

Câu 2: (2,0 điểm)

 Cho parabol y = x² (P) và đường thẳng y = mx (d), với m là tham số.

a. Tìm các giá trị m để (P) và (d) cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 9.

b. Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm, mà khoảng cách giữa hai điểm này bằng

Câu 3: (2,0 điểm)

a. Tính:

b. Chứng minh: a5 + b5 ≥ a³b² + a²b³, biết rằng a + b ≥ 0

Câu 4: (3,5 điểm)

 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AH, đường tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại D và E.

a. Chứng minh tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp được đường tròn.

b. Chứng minh 3 điểm D, O, E thẳng hàng.

c. Cho biết AB = 3 cm, BC = 5 cm. Tính diện tích tứ giác BDEC.

ĐÁP SỐ

Câu 1: (2,5 điểm)

1a. x =    1b. x = 3.

2.

Câu 2: (2,0 điểm)

a. m = 3 V m = –3

b. .

Câu 3: (2,0 điểm)

a. P = 2

b. Bạn đọc tự chứng minh.

Câu 4: (3,5 điểm)

a. Nối H với E. góc HEA = 90° (vì AH là đường kính), góc AHC = 90° (AH là đường cao)

=> góc AHE = góc ACB (cùng phụ với góc EHC) (1)

Mặt khác góc ADE = góc AHE (góc nội tiếp cùng chắn cung AE) (2)

Từ (1) và (2) => góc ADE = góc ACB => Tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn

b. Vì góc DAE = 90° => DE là đường kính nên D, O, E thẳng hàng.

c. Ta có SBDEC = SΔABC – SΔADE.

ΔABC vuông có AH là đường cao.

nên SΔABC = 6 (cm²)

(cm) (cùng là đường kính).

ΔADE và ΔABC có đòng dạng =>

 

Vậy SBDEC = 4,6176 (cm²)

THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (1,5 điểm)

 Cho phương trình x4 – 16x² + 32 = 0. Chứng minh rằng là một nghiệm của phương trình đã cho.

Câu 2. (2,5 điểm)

 Giải hệ phương trình

Câu 3. (1,5 điểm)

 Cho tam giác đều MNP có cạnh bằng 2 cm. Lấy n điểm thuộc các cạnh hoặc ở phía trong tam giác đều MNP sao cho khoảng cách giửa hai điểm tuỳ ý lớn hơn 1 cm (với n là số nguyên dương). Tìm n lớn nhất thỏa mãn điều kiện đã cho.

Câu 4. (1 điểm)

 Chứng minh rằng trong 10 số nguyên dương liên tiếp không tồn tại hai số có ước chung lớn hơn 9.

Câu 5. (3,5 điểm)

 Cho tam giác ABC không là tam giác cân, biết tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D,E,F lần lượt là các tiếp điểm của BC, CA, AB với đường tròn (I). Gọi M là giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC, biết AD cắt đường tròn (I) tại điểm N (N không trùng với D), giọi K là giao điểm của AI và EF.

a. Chứng minh rằng các điểm I, D, N, K cùng thuộc một đường tròn.

b. Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đường tròn (I).

ĐÁP SỐ:

Câu 1:

Thế x vào vế phải của (1) ta có:

=

Vậy đpcm.

Câu 2: (1; –2),

Câu 3. Tam giác đều có cạnh bằng 2 cm thì diện tích bằng cm², tam giác đều có cạnh bằng 1 cm thì diện tích bằng cm². Nếu tam giác đều có cạnh > 1 cm thì diện tích > cm². Gọi t là số tam giác đều có cạnh bằng > 1 cm chứa được trong tam giác đều có cạnh 2 cm. Suy ra 1 ≤ t < 4 (với t là số nguyên dương) => tmax = 3. Theo nguyên lý Drichen sẽ có 1 trong t tam giác đều có cạnh > 1 cm đó chứa tối đa 2 điểm thỏa mãn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ luôn > 1 cm. Vậy số điểm thỏa yêu cầu bài toán là: 2 ≤ n ≤ 4. Vậy nmax = 4.

Cách 2: Giải theo kiến thức hình học

Nếu ta chọn 3 điểm ở 3 đỉnh của tam giác đều cạnh bằng 2 cm vẽ 3 đường tròn đường kính 1 cm, các đường tròn này tiếp xúc với nhau ở trung điểm mỗi cạnh tam giác. => Các điểm khác trong tam giác cách 3 đỉnh > 1cm chỉ có thể nằm trong phần diện tích còn lại của tam giác (ngoài phần diện tích bị ba hinh tròn che phủ), được giới hạn bởi 3 cung tròn bán kính 1 cm. Vì 3 dây cung là 3 đường trung bình của tam giác có độ dài 1 cm => khoảng cách giửa hai điểm bất kỳ nằm trong phần diện tích còn lại đó của tam giác luôn ≤ 1 cm. => trong phần diện tích đó chỉ lấy được 1 điểm mà khoảng cách đến 3 đỉnh của tam giác luôn > 1 cm. Vậy số điểm lớn nhất thỏa mãn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ > 1cm là: nmax = 3 + 1 = 4 điểm.

Câu 4. Gọi a và b là hai số bất kỳ trong 10 số nguyên dương liên tiếp với a > b (a; b nguyên dương)

→ 1 ≤ a – b ≤ 9.

Gọi n là ước chung của a và b, khi đó: a = n.x và b = n.y (n, x, y là số nguyên dương).

Vì a > b => x > y => x – y ≥ 1 → 1 ≤ nx – ny ≤ 9 → 9/n ≥ 1 → n ≤ 9

Vậy trong 10 số nguyên dương liên tiếp không tồn tại hai số có ước chung lớn hơn 9.

Câu 5.

a. Nối N và F, D và F.

Chứng minh ΔANF đồng dạng với ΔAFD => (1)

Chứng minh ΔAFI vuông tại F có FK là đường cao => AK.AI = AF² (2)

Từ (1) và (2) => AN.AD = AK.AI =>

Chứng minh ΔANK đồng dạng với ΔAID => góc NKA = góc IDN (3)

=> tứ giác DIKN nội tiếp đt => các điểm I, D, N, K cùng thuộc một đường tròn.

b. Ta có ID vuông góc DM và IK vuông góc KM => tứ giác DIKM nội tiếp đường tròn đường kính MI. Vì 4 điểm D, I, K, N cũng thuộc một đường tròn. Mà hai đường tròn này cùng ngoại tiếp ΔDIK => hai đường tròn trùng nhau => N cũng nằm trên đường tròn đường kính MI => góc INM = 90°. Vì IN là bán kính đường tròn, MN vuông góc IN => MN là tiếp tuyến của đường tròn (I) tại tiếp điểm N.

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x² + 2mx – 2m – 3 = 0 (1)

a. Giải phương trình (1) với m = –1.

b. Xác định giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 sao cho A = nhỏ nhất. Tìm nghiệm của phương trình (1) ứng với m vừa tìm được.

Câu 2.

1. Cho biểu thức A =

a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tìm các giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.

2. Giải phương trình:

Câu 3. Một người đi xe đạp từ A tới B, quãng đường AB dài 24 km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4 km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A tới B.

Câu 4. Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O). Giả sử M là điểm thuộc đoạn thẳng AB (M ≠ A, B); N là điểm thuộc tia đối của tia CA sao cho khi MN cắt BC tại I thì I là trung điểm của MN. Đường tròn ngoại tiếp ΔAMN cắt (O) tại điểm P khác A.

a. CMR các tứ giác BMIP và CNPI nội tiếp được.

b. Giả sử PB = PC. Chứng minh rằng ΔABC cân.

Câu 5. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x² + y² = 1. Tìm GTLN của:

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu I. (2,0 điểm)

1. Rút gọn các biểu thức

a. A =   b. B = với x ≥ 0, x ≠ 1.

2. Giải hệ phương trình

Câu II. (2,0 điểm)

Cho phương trình: x² – ax – 2 = 0 (*) với a là tham số.

a. Giải phương trình (*) với a = 1.

b. Chứng minh rằng phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a.

c. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị của a để biểu thức N = có giá trị nhỏ nhất.

Câu III. (2,0 điểm)

 Quãng đường sông AB dài 78 km. Một chiếc thuyền máy đi từ A về phía B. Sau đó 1 giờ, một chiếc ca nô đi từ B về phía A. Thuyền và ca nô gặp nhau tại C cách B 36 km. Tính thời gian của thuyền, thời gian của ca nô đã đi từ lúc khởi hành đến khi gặp nhau, biết vận tốc của ca nô lớn hơn vận tốc của thuyền là 4 km/h.

Câu IV. (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy điểm D khác A và C. Đường tròn (O) Đường kính DC cắt BC tại E khác C.

a. Chứng minh tứ giác ABED nội tiếp.

b. Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai I. Chứng minh ED là tia phân giác của góc AEI.

Câu V. (0,5 điểm) Giải phương trình:

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu I: (2,5 điểm)

1. Thực hiện phép tính

a.   b.

2. Cho biểu thức: P =

a. Tìm điều kiện của a để P xác định  b. Rút gọn biểu thức P.

Câu II: (1,5 điểm)

1. Cho hai hàm số bậc nhất y = –x + 2 và y = (m + 3)x + 4. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho là

a. Hai đường thẳng cắt nhau.

b. Hai đường thẳng song song.

2. Tìm các giá trị của a để đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) đi qua điểm M(–1; 2).

Câu III: (1,5 điểm)

a. Giải phương trình x² – 7x – 8 = 0

b. Cho phương trình x² – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn điều kiện

Câu IV: (1,5 điểm)

a. Giải hệ phương trình

b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1.

Câu V: (3,0 điểm)

 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D khác B.

a. Chứng minh AMOC là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b. Chứng minh AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.

c. Chứng minh góc ADE = góc ACO.

ĐÁP SỐ:

Câu I: (2,5 điểm)

1. Thực hiện phép tính:

a. A = –12  b. B = –2

2a. a ≥ 0 và a ≠ 1 2b. P =

Câu II: (1,5 điểm)

1a. m ≠ –3, m ≠ –4. 1b. m = –4.

2. a = 2.

Câu III: (1,5 điểm)

a. x1 = –1 và x2 = 8.

b. Không có giá trị nào của m.

Câu IV: (1,5 điểm)

a. (x; y) = (1; 1)

b. m > 0.

Câu V: (3,0 điểm)

a. Vì góc MAO = góc MCO = 90° → tứ giác AMCO nội tiếp.

b. góc MEA = góc MDA = 90°. Tứ giác AMDE có D, E cùng nhìn AM dưới cùng một góc 90° nên AMDE nội tiếp.

c. Vì AMDE nội tiếp nên góc ADE = góc AME.

Vì AMCO nội tiếp nên góc ACO = góc AME.

→ góc ADE = góc ACO.

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1. (2,0 điểm)

 Cho biểu thức , với x > 0, x ≠ 1.

a. Rút gọn biểu thức Q.

b. Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên.

Câu 2. (1,5 điểm)

 Cho phương trình x² – 2(m + 1)x + m – 2 = 0, với x là ẩn số.

a. Giải phương trình đã cho khi m  –2.

b. Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m.

Câu 3. (2,0 điểm)

 Cho hệ phương trình , với m thuộc R

a. Giải hệ trên khi m  –3

b. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.

Câu 4. (2,0 điểm)

 Cho hàm số y = –x² có đồ thị (P). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M(0; 1) và có hệ số góc k.

a. Viết phương trình của đường thẳng d

b. Tìm điều kiện của k để (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt.

Câu 5. (2,5 điểm)

 Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của hai đường cao BD và CE của tam giác ABC (D thuộc AC, E thuộc AB).

a. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp.

b. Gọi I là điểm đối xứng với A qua O và J là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, J, I thẳng hàng.

c. Gọi K, M lần lượt là giao điểm của AI với ED và BD. Chứng minh

ĐÁP SỐ:

Câu 1.

a.    b. x = 2 hoặc x = 3.

Câu 2.

a. x = –1   b. x1 + x2 – 2x1x2 – 6 = 0

Câu 3.

a. (7; 1)   b. m ≠ –1 và m ≠ 1; (x, y) = 

Câu 4.

a. y = kx + 1   b. k < –2 hoặc k > 2

Câu 5.

a. góc BEC = góc BDC = 90°. Suy ra BCDE nội tiếp đường tròn đường kính BC

b. IB vuông góc AB; CE vuông góc AB

Suy ra IB // CH

IC vuông góc AC; BD vuông góc AC.

Suy ra BH // IC

Như vậy tứ giác BHCI là hình bình hành

J trung điểm BC → J trung điểm IH

Vậy H, J, I thẳng hàng.

c. góc ACB = góc AIB = (1/2) sđ cung AB

góc ACB = góc DEA cùng bù với góc DEB của tứ giác nội tiếp BCDE

góc BAI + góc AIB = 90° vì ΔABI vuông tại B

Suy ra góc BAI + góc AED = 90° hay góc EAK + góc AEK = 90°

Suy ra ΔAEK vuông tại K

Xét ΔADM vuông tại M

DK vuông góc AM

Vậy

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (3,0 điểm)

a. Giải hệ phương trình:

b. Rút gọn biểu thức với a ≥ 0 và a ≠ 4

c. Tính giá trị của biểu thức

Bài 2: (2,0 điểm)

 Cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình lần lượt là y = mx² và y = (m – 2)x + m – 1 (m là tham số, m ≠ 0).

a. Với m = –1, tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).

b. Chứng minh rằng với mọi m ≠ 0 đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

Bài 3: (2,0 điểm)

 Quãng đường từ Quy Nhơn đến Bồng Sơn dài 100 km. Cùng một lúc, một xe máy khởi hành từ Quy Nhơn đi Bồng Sơn và một xe ô tô khởi hành từ Bồng Sơn đi Quy Nhơn. Sau khi hai xe gặp nhau, xe máy đi 1 giờ 30 phút nữa mới đến Bồng Sơn. Biết vận tốc hai xe không thay đổi trên suốt quãng đường đi và vận tốc của xe máy kém vận tốc xe ô tô là 20 km/h. Tính vận tốc mỗi xe.

Bài 4: (3,0 điểm)

 Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA, qua C kẻ dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.

a. Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.

b. Chứng minh rằng AK.AH = R²

c. Trên KN lấy điểm I sao cho KI = KM, chứng minh NI = KB.

ĐÁP SỐ:

Bài 1:

a. (8; 10)  b. A = 4 – a  c. B = 3

Bài 2:

a. (1; –1), (–2; –4). b. Với mọi m ≠ 0 đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

Bài 3: Vậy vận tốc của xe máy là 40 km/h. Vận tốc của ô tô là 60 km/h.

Bài 4:

a. Ta có: góc AKB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

hay góc HKB = 90°; góc HCB = 90° (gt)

Tứ giác BCHK có góc HKB + góc HCB = 180°

→ tứ giác BCHK nội tiếp.

b. Dễ thấy ΔACH đồng dạng với ΔAKB

c. ΔOAM có OA = OM = R suy ra ΔOAM cân tại O (1)

ΔOAM có MC là đường cao đồng thời là đường trung tuyến → ΔOAM cân tại M (2)

Từ (1) và (2) → ΔOAM là tam giác đều → góc MOA = 60° → góc MON = 120° → góc MKI = 60°

ΔKMI là tam giác cân có góc MKI = 60° nên là tam giác đều → MI = MK (3).

Dễ thấy ΔBMK cân tại B có góc MBN = (1/2) góc MON = 60° nên là tam giác đều → MN = MB (4)

Gọi E là giao điểm của AK và MI.

Dễ thấy góc NKB = góc NMB = MIK = 60° → góc NKB = góc MIK nên KB // MI

mặt khác AK vuông góc KB (cmt) nên AK vuông góc MI tại E

Suy ra góc A2 = A1.

Ta có: góc HAC = 90° – góc AHC, góc HME = 90° – góc MHE, góc AHC = góc MHE

Suy ra góc HAC = góc HME mặt khác góc HAC = góc KMB

→ góc HME = góc KMB hay góc NMI = góc KMB (5)

Từ (3), (4), (5) → ΔIMN = ΔKMB

Vậy NI = KB

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (1,5 điểm)

a. Giải phương trình: 7x² – 8x – 9 = 0.

b. Giải hệ phương trình:

Câu 2: (2,0 điểm)

a. Rút gọn các biểu thức:

b. Cho x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: x² – x – 1 = 0. Tính: .

Câu 3: (1,5 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho các hàm số: y = 3x² có đồ thị (P); y = 2x – 3 có đồ thị là (d); y = kx + n có đồ thị là (d1) với k và n là những số thực.

a. Vẽ đồ thị (P).

b. Tìm k và n biết (d1) đi qua điểm T(1; 2) và (d1) // (d).

Câu 4: (1,5 điểm)

 Một thửa đất hình chữ nhật có chu vi bằng 198 m, diện tích bằng 2430 m². Tính chiều dài và chiều rộng của thửa đất hình chữ nhật đã cho.

Câu 5: (3,5 điểm)

 Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E thuộc cạnh BC, với E không trùng B và E không trùng C. Vẽ EF vuông góc với AE, với F thuộc CD. Đường thẳng AF cắt đường thẳng BC tại G. Vẽ đường thẳng a đi qua A và vuông góc với AE, đường thẳng a cắt đường thẳng DE tại điểm H.

a. Chứng minh AE.DE = CD.AF.

b. Chứng minh rằng tứ giác AEGH là tứ giác nội tiếp được đường tròn.

c. Gọi b là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE tại E, biết b cắt đường trung trực của đoạn thẳng EG tại điểm K. Chứng minh rằng KG là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.

ĐÁP SỐ:

Câu 1: (1,5 điểm)

a.   b. (–1; 2)

Câu 2: (2,0 điểm)

a. A = 1 +  b. B = –1.

Câu 3: (1,5 điểm)

a. Vẽ đồ thị (P). b. k = 2 và n = 0.

Câu 4: (1,5 điểm)

Chiều dài thửa đất hình chữ nhật là 54 (m); chiều rộng của thửa đất hình chữ nhật là: 99 – 54 = 45 (m)

Câu 5: (3,5 điểm)

a. Chứng minh tứ giác AEFD nội tiếp

suy ra góc A1 = góc D1.

Nên ΔAEF đồng dạng với ΔDCE

Suy ra

Vậy đpcm.

b. Ta có: góc A2 phụ với góc A1.

Ta có E1 phụ với góc D1.

Mà góc A1 = góc D1.

Suy ra góc A2 = góc E1.

Suy ra tứ giác AEFD nội tiếp đường tròn đường kính HE

Gọi I trung điểm của HE → I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFD cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAHE. Suy ra I nằm trên đường trung trực EG nên IE = IG.

Vì K nằm trên đường trung trực EG suy ra KE = KG

Suy ra ΔIEK = ΔIGK (c – c – c)

Nên góc IGK = góc IEK = 90°.

Suy ra KG vuông góc IG tại G.

Vậy KG là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔAHE.

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1. (2 điểm)
a. Tính A =

b. Xác định giá trị của a, biết đồ thị hàm số y = ax – 1 đi qua M(1; 5)

Câu 2. (3 điểm)

a. Rút gọn biểu thức: với a > 0, a ≠ 4

b. Giải hệ pt:

c. Chứng minh rằng pt: x² + mx + m – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của pt đã cho, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 3. (1,5 điểm)

 Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau 2 giờ 30 phút thì một ôtô taxi cũng xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và đến B cùng lúc với xe ô tô tải. Tính độ dài quãng đường AB.

Câu 4. (3 điểm)

 Cho đường tròn (O) và một điểm A sao cho OA = 3R. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AP và AQ của đường tròn (O), với P và Q là 2 tiếp điểm. Lấy M thuộc đường tròn (O) sao cho PM song song với AQ. Gọi N là giao điểm thứ 2 của đường thẳng AM và đường tròn (O). Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K.

a. Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp.

b. Chứng minh KA² = KN.KP

c. Kẻ đường kính QS của đường tròn (O). Chứng minh tia NS là tia phân giác của góc PNM.

d. Gọi G là giao điểm của 2 đường thẳng AO và PK. Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính R.

Câu 5. (0,5 điểm)

Cho a, b, c là 3 số thực khác không và thỏa mãn a²(b + c) + b²(c + a) + c²(a + b) + 2abc = 0 và a2013 + b2013 + c2013 = 1. Tính giá trị của biểu thức

ĐÁP SỐ:

Câu 1.

a. A = 1 b. a = 6

Câu 2.

a. A = 1 b. (2; –1) c. min B = 1 khi m = –1

Câu 3. AB = 300 km

Câu 4.

a. Xét tứ giác APOQ có góc APO = 90°; góc AQO = 90°

Suy ra góc APO + góc AQO = 180°, nên tứ giác APOQ nội tiếp

b. Chứng minh ΔAKN và Δ PKA đồng dạng

→ AK² = NK.KP (đpcm)

c. Kẻ đường kính QS của đường tròn (O)

Ta có AQ vuông góc QS

Mà PM//AQ (gt) nên PM vuông góc QS

nên QS đi qua điểm chính giữa của cung PM nhỏ

sđ cung PS = sđ cung SM nên góc PNS = góc SNM (hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

Hay NS là tia phân giác của góc PNM

d. Chứng minh được ΔAQO vuông ở Q, có QG vuông góc AO

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

OQ² = OI.OA

Do ΔKNQ đồng dạng ΔKQP suy ra KQ² = KN.KP mà AK² = NK.KP nên AK = KQ

ΔAPQ có các trung tuyến AI và PK cắt nhau ở G nên G là trọng tâm

→ AG = 2AI/3 = 16R/9

Câu 5. Ta có a²(b + c) + b²(c + a) + c²(a + b) + 2abc = 0

<=> a²b + a²c + b²c + b²a + c²a + c²b + 2abc = 0

<=> ab(a + b) + c²(a + b) + c(a + b)² = 0

<=> (a + b)(ab + c² + ca + cb) = 0

<=> (a + b)(b + c)(c + a) = 0 (*)

Xét 3 trường hợp của (*)

Vậy