Bài toán: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) (OM>2R) vẽ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM và AB. Lấy điểm C thuộc đoạn HB. Đường thẳng MC cắt (O) tại D và E (D nằm giữa M và E)
a/.Chứng minh: AD.BE=AE.BD
b/. Chứng minh tứ giác OHDE nội tiếp và CD.ME=CE.MD
c/.Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD. Chứng minh: KD là tiếp tuyến của (O)
d/.Vẽ đường kính BF của (O). Đường thẳng MO cắt FD, EF lần lượt tại I và N. Chứng minh: O là trung điểm IN
a) + Chứng minh được tam giác MDB và tam giác MEB đồng dạng . Suy ra:
+ Tương tự: tam giác MAD và tam giác MEA đồng dạng . Suy ra:
+ Kết hợp với MA = MB (t/c hai t/t cắt nhau) ta được:
b) Chứng minh: Tứ giác OHDE nội tiếp và CD.ME=CE.MD
*Chứng minh: Tứ giác OHDE nội tiếp
+ Chứng minh được MA2 = MD. ME và MA2 = MH. MO (bài toán quen thuộc)
Suy ra MH.MO = MD. ME =>
+ Hai tam giác MHD và MEO có: và góc M chung nên chúng đồng dạng
Suy ra: . Vậy OHDE là tứ giác nội tiếp
* Chứng minh :CD.ME = CE.MD
+ Chú ý (cùng bù góc DHO) ; (do t giác ODE cân tại O),
(cùng chắn cung OE) nên .
Mà nên => HC là phân giac trong của tam giác DHE. Lại có HM HC nên HM là phân giác ngoài của tam giác DHE
Theo t/c của đường p/g trong và p/g ngoài ta có:
c).Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD. Chứng minh: KD là tiếp tuyến của (O)
+ Tam giác MHD và tam giác EHO có (chứng minh trên) và (do cùng bù ) nên . Mà (cùng chắn cung OH) nên
=> DO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD => OK OD tại D thuộc (O)
=> KD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
d)Vẽ đường kính BF của (O). Đường thẳng MO cắt FD, EF lần lượt tại I và N. CM: O là trung điểm IN
* Cần chứng minh vì đã có OF = OB và (đối đỉnh) ,
Vậy cần cm BI // FN
+ (góc nội tiếp chắn nửa đ tròn) và (do AB vuông góc MO)
=> DIHB là tứ giác nội tiếp => (cùng chắn cung BD)
Mà (chứng minh trên) và nên
Lại có: (quan hệ góc ở tâm và ……..)
Do đó => IB // FN => (so le trong)
+ (vì OF = OB và (đối đỉnh) ,) => OI = ON
nguon VI OLET
