TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 VÒNG II
NĂM HỌC 2012 – 2013
(Thời gian làm bài 150 phút)
..................................................................
Bài 1:(5 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức Q = 
Biết 
và 
b) Cho các số nguyên a, b, c 
0 thoả mãn: 
Chứng minh rằng: 
là số chính phương
Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình: 
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x( x
+ x + 1) = 4y( y + 1)
Bài 3: (4 điểm)
a) Cho a, b, c là các số thực dương sao cho a 
c, b 
c. Chứng minh rằng
b) Gi¶ sö f(x) lµ mét ®a thøc bËc 4 víi hÖ sè nguyªn.
Chøng minh r»ng: NÕu f(x) 
víi 
th× tõng hÖ sè cña f(x) còng 
Bài 4: (5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm
a) Tính tổng 
b) Gọi Ai là phân giác của tam giác ABC; im, in thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức 
đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 5: (2 điểm)
Cho hình vuông MNPQ, lấy điểm E thuộc cạnh MQ, điểm F thuộc cạnh NP sao cho: ME = PF. Các đường thẳng MF và NE cắt đường thẳng PQ lần lượt tại C và B. Kéo dài MB và NC cắt nhau tại A. Chứng minh rằng tam ABC là tam giác vuông.
.........................Hết......................
( Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.)
Họ và tên thi sinh..........................................................Số báo danh.......................
TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HSG TOÁN 9
NĂM HỌC 2012 - 2013
|
Bài
|
Nội dung
|
Điểm
|
|
1
5,0đ
|
a
3,0đ
|
Ta có 
Suy ra  = =
=  =
Suy ra 25 – a2 = 16 a2 = 9 a= 3
Mặt khác Q =  = =
= = a – 2, với a - 1
Với a = 3 thì P = 1
với a = - 3 thì P = - 5
|
0,5
0,75
0,5
0,75
0,5
|
|
b
2,0đ
|
Ta có: 
Vì a, b, c là các số nguyên 
 là số chính phương
|
0,5
0,5
0,5
0,5
|
|
2
4,0đ
|
a
2,0đ
|
Ta có:
Vậy phương trình có nghiệm x = 258
|
0,5
0,5
0,5
0,5
|
|
b
2,0đ
|
+ Phương trình được biến đổi thành: (x + 1)(x + 1) = (2y + 1)
+ Ta chứng minh (x + 1) và (x+ 1) nguyên tố cùng nhau.
Vì nếu d = UCLN (x+1, x+ 1) thì d phải là số lẻ (vì 2y+1 lẻ)
    2 mà d lẻ nên d = 1.
+ Nên muốn (x + 1)(x+ 1) là số chính phương
Thì (x+1) và (x+ 1) đều phải là số chính phương
Đặt: (k + x)(k – x) = 1 hoặc 
+ Với x = 0 thì (2y + 1)= 1 y = 0 hoặc y = - 1.(Thỏa mãn pt)
Vậy nghiệm của phương trình là: (x; y) =
|
0,5
0,5
0,5
0,5
|
|
3
4,0đ
|
a
2,0đ
|
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Áp dụng bđt Cauchy  Với x  0, y 0. Đẳng thức xảy ra <=> x = y ta có.
Cộng vế với vế hai bđt ta được bđt cần chứng minh:
Đẳng thức xảy ra <=>  và  <=> 
|
0,5
0,5
0,5
0,5
|
|
b
2,0đ
|
Gi¶ sö f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Do f(0) = e nªn e 
MÆt kh¸c 
=>  vµ 
VËy c¸c hÖ sè cña f(x) ®Òu chia hÕt cho 7
|
0,5
0,75
0,5
0,25
|
|
4
5,0đ
|
|
|
|
|
a
1,5đ
|
Ta có:  ;
Tương tự:  ; 
|
0,5
0,5
0,5
|
|
b
1,5đ
|
Áp dụng tính chất phân giác vào các  ABC, abi, aic:
|
0,5
0,5
0,5
|
|
c
2,0đ
|
Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
- Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD
- BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2
 AB2 + AD2  (BC+CD)2 => AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
=> 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
4BB’2 (AB+BC)2 – AC2
- Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2
<=> 
Đẳng thức xảy ra <=> BC = AC, AC = AB, AB = BC
<=> AB = AC = BC <=>  ABC đều
Vậy GTNN của  <=> ABC đều
|
0,5
0,75
0,25
0,5
|
|
5
2,0đ
|
|
|
|
|
2,0đ
|
Áp dụng định lí Talet ta có :  (1);  (2)
Vì ME = PF   (3)
Từ (1); (2); (3)   
Suy ra hai tam giác vuông BMQ vàNCP đồng dạng với nhau
=> 
Suy ra : ABC vuông tại A
|
0,5
0,5
0,25
0,75
|
Chú ý:
+ Hướng dẫn chấm này có 04 trang, chấm theo thang điểm 20.
+ Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.
+ Bài số 4 và 5 phải có hình vẽ đúng mới chấm.
+ Mọi cách làm khác đúng cũng cho điểm tối đa tương ứng với từng nội dung
của bài đó.
