DE THI CHON HSG TRUONG PHUC TRACH

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1(3đ)

         Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với là:

...................................................................................................................................................                                                                                                           

              Đường thẳng cắt dồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C

                   Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

......................................................................................................................................................                                                                                         

                     Gọi và , trong đó là nghiệm của (2); và

                         Ta có                                                                  

                       Mà =

                       Suy ra =16(thoả mãn) hoặc (thoả mãn)

1điểm

.............

1điểm

..............

1điểm

Bài 2(3đ)

Ta có

do x=0 không là nghiệm phương trình ).

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:(a)

.................................................................................................................................................... .

Hệ có ba cặp nghiệm  (a) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn   .

Xét hàm số  với .

.

........................................................................................................................................................

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt

    .

Vậy  là những giá trị cần tìm.

1đ

............

1đ

............

1đ

Bài 3(4đ)

Không mất tính tổng quát, giả sử

Vì tam giác ABC không tù

Đặt x = tan; y = tan; z = tan thì 0 < z y x 1

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 1 - x; 1 - y; 1 - z ta được:

.................................................................................................................................

Vì xy + yz + xz = tantan + tantan + tantan = 1

Suy ra:

....................................................................................................................................

................................................................................................................................

Vì x + y + z  nên

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều

1đ

............

1đ

...........

1đ

............

1đ

Bài 4(4đ)

Ta có: (1)1-(x+y+z)+xy+yz+zx=2xyz

x+y+z=2-2(x+y+z)+(x+y+z)-4xyz

.................................................................................................................................

áp dụng bđt Côsi ta có :   nên

x+y+z2-2(x+y+z)+(x+y+z)-4

...................................................................................................................................

Đặt t= x+y+z thì:   .Khi đó:

x+y+z

dấu bằng xảy ra khi t= hay x=y=z=(đpcm)

1đ

.............

1đ

............

2đ

Bài 5(6đ)

1. CM: AB=AC= a ( sử dụng định lí cosin trong tam giác); SAB =SAC(c-g-c) ; vuông cân tại A:

........................................................................................................................................................

2.

BC AK; SA AKTrong mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đt song song BC cắt AB; AC tại P, QTong mặt phẳng (SAK) qua M kẻ đt song song với SA cắt SK tại N . Từ N kẻ đt song song với BC cắt SB; SC tại F; E thiết diện là hình chữ nhật PQEF :

.......................................................................................................................................................

Ta có : BC=a; AK= a/ 2

Tính được

..........................................................................................................................................................

hay M là trung điểm AK

3đ

..............

1đ

............

1đ

............

1đ