BÀI GIẢNG CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN TRONG CHỨNG MINH ĐỒNG QUY-THẲNG HÀNG VÀ VUÔNG GÓC
I. Một số kiến thức bổ trợ: 1.Hệ thức lượng trong tam giác ( Giáo viên cung cấp, chứng minh cô đọng và ví dụ minh họa cho học sinh nắm kiến thức để vận dụng trong các bài toán)
1.1 Định lý Côsin:
Trong tam giác ABC bất kỳ với BC = a; AB = c; CA = b, ta có:
a2 = b2 + c2 – 2b.c.cosA ; b2 = a2 + c2 – 2a.c.cosB ; c2 = a2 + b2 – 2a.b.cosC
* Hệ quả: ; ;
* Công thức tính độ dài trung tuyến
; ;
1.2. Định lý sin:
Trong tam giác ABC bất kỳ với BC = a; CA = b; AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:
1.3. Công thức tính diện tích tam giác:
*
*
* (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp )
* S = pr (p =(1/2)(a+b+c), r là bán kính đường tròn nội tiếp )
* (Công thức Hê rông)
II. Các định lí và ứng dụng:
1. Định lý Menelaus
Cho tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho trong chúng hoặc không có điểm nào, hoặc có đúng 2 điểm thuộc các cạnh của tam giác ABC. Khi đó A’, B’, C’ thẳng hàng khi và chỉ khi
Chứng minh: Qua A kẻ đường thẳng song song với BC ( Chú ý trường hợp cả ba điểm A’,B’,C’ nằm ngoài cạnh của tam giác )
1.1.Ứng dụng của định lí Menelaus Sử dụng trực tiếp định lí chứng minh sự thẳng hàng
VD1. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O). MN là một đường kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với A, B). Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D. Gọi I là giao điểm của CO và BM. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F. Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng. Hướng dẫn : Chứng minh MF//AB /
Sử dụng tính thẳng hàng để chứng minh sự đồng quy VD2. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P, Q lần lượt là các tiếp điểm của (O) với AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng: Các đường thẳng NP, MQ, BD đồng quy. / Hướng dẫn :Áp dụng định lí cho tam giác BDC để chứng minh P,N,I thẳng hàng
VD3. Cho tam giác có Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho Giả sử đường thẳng đi qua và trung điểm của đoạn thẳng cắt đường thẳng tại Chứng minh rằng đường thẳng chia đôi góc
Hướng dẫn : Gọi là trung điểm là giao điểm của các đường thẳng
chứng minh
/
1.2 Bài tập về nhà
Bài 1. Cho (ABC có trung tuyến AM. Trên AM lấy I sao cho AI = 4MI. Đường thẳng BI cắt AC tại P. Chứng minh rằng: PA = 2PC
/
Hướng dẫn: Áp dụng trực tiếp định lí suy ra
Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC, . Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C. Gọi P là giao điểm của đường thẳng BC và EF. Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S. Chứng minh:
a) Tứ giác BQCR nội tiếp.
b) và D là trung điểm của QS.Từ đó chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC.
/ Hướng dẫn: a) Biến đổi góc chỉ ra b) Kết hợp cùng định lí ceva
Bài 3 ( Định lí Desargues) Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’. Gọi D,E, F lần lượt là giao điểm của B’C’, C’A’, A’B’ với BC, CA, AB. Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ đồng quy khi và chỉ khi D, E, F thẳng hàng.
/
Hướng dẫn:Áp dụng định lí nhiều lần cho các tam giác Bài
nguon VI OLET
