PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN
TRƯỜNGTHCS NGA THỦY
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2020- 2021
Môn thi: TOÁN 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu1.(4,5điểm)1.Tính hợp lí giá trị các biểu thức sau:
A =
B =
2. Cho a + b + c = 2021 và = . Tính C =
Câu 2.(3,5điểm)Tìm x biết:
a. (x +2)n+1 = (x + 2)n+11 với n là số tự nhiên
b.
Câu 3.(4 điểm)
a) Tìm x, y nguyên thỏa mãn: 3xy -5 = x2 +2y
b) Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn: a3 + b3 = 2(c3 - 8d3).
Chứng minh: a + b+ c+ d chia hết cho 3.
Câu 4.(6 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C dựng AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B dựng AF vuông góc với AC và AF = AC. Chứng minh:
a) FB = EC
b) EF = 2AM
c) AM EF
Câu 5.(2điểm).Chứng tỏ rằng S = không là số tự nhiên với mọi n N
................................ Hết ....................................
Họ tên thí sinh: ....................................................................... Số báo danh: .............
PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN
TRƯỜNGTHCS NGA THỦY
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2020 - 2021
Môn thi : Toán 7
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
(4,5đ)
1.a
(1,5)
A = = = 2
0,5đ
1đ
1.b
(1,5)
B= ==
1,5đ
2 (1,5)
Vì a + b + c = 2021 => a = 2021 - (b+c); b = 2021 -(a+c);
c = 2021-(a+b)
=>C = = 2021() - 3
= 2021. - 3 =
0,5đ
0,5đ
0,5đ
2
(3,5)
a
(1,5)
a. (x +2)n+1 = (x + 2)n+11 Suy ra: Từ đó tìm được x = -2; x= -1; x = -3
1,5đ
b
(2đ)
b.
Ta có ; Do đó đểthì
Suy ra x = 2020
1đ
1đ
3
(4đ)
a
(2,0đ)
a. 3xy - 5 = x2 + 2y
y(3x - 2) = x2 + 5 (1)
Do x, y nguyên suy ra x2 + 5 chia hết cho 3x - 2 9(x2 + 5) chia hết cho 3x - 2
9x2 -6x + 6x - 4 +49 chia hết cho 3x - 2
49 chia hết cho 3x - 2 3x - 2 x thay vào (1) được y . Vậy (x,y) = (1;6); (3;2); (17;6)
0.5
0.5
0,5
0,5
b
2,0
b) Ta có: a3 + b3 = 2(c3 - 8d3) a3 +b3 +c3 +d3 = 3c3 - 15d3
Mà 3c3 - 15d3 chia hết cho 3 nên a3 +b3 +c3 +d3 chia hết cho 3 (1)
Lại có a a3 (mod3)
b b3(mod3); c c3(mod3); d d3(mod3)
suy ra a + b+ c +d a3 + b3 +c3 + d3 (mod3) (2)
Từ (1) và (2) suy ra a +b +c + d chia hết cho 3
1đ
0,5
0,5
4
(6đ)
Vẽ hình chính xác và viết đúng GT,KL
0,5
nguon VI OLET
