DE THI HSG 6,7,8

Tr­êng THCS Thanh Xu©n

Tæ KH Tù nhiªn

-----***-----

®Ò thi c©u l¹c bé em yªu thÝch

m«n to¸n líp 6

N¨m häc: 2011-2012

Thêi gian: 120 phót.

Bµi

ý

§¸p ¸n

BiÓu ®iÓm

1

a

Cho p vµ 8p-1 lµ c¸c sè nguyªn tè. Chøng tá r»ng: 8p+1 lµ hîp sè.

2®iÓm

V× p, 8p-1 lµ c¸c sè nguyªn tè nªn p≥3.

Víi p=3 th× 8p+1=8.3+1=25 lµ hîp sè

Víi p>3, xÐt tÝch A=(8p-1)8p(8p+1) 3

8p+13 mµ 8p+1>3 nªn 8p +1 lµ hîp sè.

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

b

Chøng tá r»ng: A=3+32+33+…+399 chia hÕt cho 13.

2®iÓm

A=3+32+33+…+399=(3+32+33)+(34+35+36)+…+(397+398+399)

  =3(1+3+32)+34(1+3+32)+…+397(1+3+32)

  =3.13+34.13+…+397.13

 A13

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

2

a

So s¸nh: 530 vµ 12410

2®iÓm

Ta cã : 530=53.10=1253

Mµ   125>124

Nªn 1253>12410

Hay 530>12410

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

b

So s¸nh: vµ

4®iÓm

Ta cã : A=;

B=

C=

V× 2322<3534 nªn B>C>1

VËy A

1,0®

1,0®

0,5®

1,0®

0,5®

3

a

T×m sè tù nhiªn a sao cho a+7 chia hÕt cho a+1

2®iÓm

a+7 =(a+1)+6a+16a+1

Do a nªn a+1 , bëi vËy a+1 ph¶i lµ c¸c ­íc nguyªn d­¬ng cña 6.

Mµ c¸c ­íc nguyªn d­¬ng cña 6 lµ : {1;2;3;6}

Nªn a+1=1a=0, . . .

VËy a

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

3

b

Chøng tá r»ng: .

2®iÓm

1,0®

1.0®

4

Cho 2012 ®iÓm trong ®ã cã ®óng 12 ®iÓm th¼ng hµng. Cø qua hai ®iÓm ta vÏ ®­îc mét ®­êng th¼ng. Hái vÏ ®­îc tÊt c¶ bao nhiªu ®­êng th¼ng tõ 2012 ®iÓm ®ã?

4®iÓm

Chia c¸c ®iÓm ®· cho thµnh 2 nhãm: Nhãm thø nhÊt gåm 12 ®iÓm th¼ng hµng, nhãm thø 2 gåm 2000 ®iÓm cßn l¹i trong ®ã kh«ng cã 3 ®iÓm nµo th¼ng hµng.

Qua c¸c ®iÓm ë nhãm thø nhÊt vÏ ®­îc chØ 1 ®t

Qua 2000 ®iÓm ë nhãm thø 2 vÏ ®­îc ®t

VÏ c¸c ®t ®i qua 1®iÓm cña nhãm 1 víi 1 ®iÓm cña nhãm 2 ta ®­îc 12.2000=24000®t

VËy vÏ ®­îc tÊt c¶ lµ: 1+1999000+24000=2023001®t.

0,5®

1,0®

1,0®

1,0®

0,5®

5

Kh«ng quy ®ång mÉu sè biÓu thøc trong ngoÆc, t×m sè nguyªn x biÕt r»ng: .

2®iÓm

§Æt A=

         =

A>3 hay A-3>0

Do ®ã: A(x-2012)>3(x-2012)(A-3)(x-2012)>0

                                                x-2012>0

                                                x>2012.

VËy c¸c sè nguyªn cÇn t×m lµ c¸c sè nguyªn2013.

0,25®

0,5®

0,25®

0,5®

0,25®

0,25®

Tr­êng THCS Thanh Xu©n

Tæ KH Tù nhiªn

-----***-----

®Ò thi c©u l¹c bé em yªu thÝch

m«n to¸n líp 7

N¨m häc: 2011-2012

Thêi gian: 120 phót.

Bµi

ý

§¸p ¸n

BiÓu ®iÓm

1

Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n th× trong 2 sè:

2n+2-1 vµ 2n+1 cã mét vµ chØ mét sè chia hÕt cho 3.

4®iÓm

XÐt tæng cña 2 sè: (2n+2-1)+(2n+1)= 2n+2+2n=2n(22+1)=5.2n kh«ng chia hÕt cho 3

c¶ hai sè 2n+2-1vµ 2n+1kh«ng thÓ cïng chia hÕt cho3(1)

XÐt tÝch (2n+2-1).(2n+1)=4n+3.2n-1

Ta cã: 41(mod3) 4n+11(mod3) 4n+1-10 (mod3)

3.2n0(mod3)

VËy (2n+2-1).(2n+1) chia hÕt cho 3   (2)

 §pcm.

1,5®

0,5®

1,5®

0,5®

2

T×m x, y, z biÕt:

(víi x, y, z ≠0).

3®iÓm

Tõ



nªn: x+y+z=1/2.

Tõ ®ã ta cã : x+y=1/2-z; x+z=1/2-y; y+z=1/2-x

Thay vµo ta t×m ®­îc x=y=1/2 ; z=-1/2.

1,0®

1,0®

1,0®

3

a

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:   A=.

2®iÓm

Ta cã:

Khi ®ã ta cã: A=

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

b

Chøng minh r»ng: .

4®iÓm

§Æt S=

Ta cã: S=

>

>=

==3

L¹i cã:

<1+

VËy suy ra ®pcm.

1,0®

1,0®

0,5®

0,5®

0,75®

0,25®

4

Cho tam gi¸c ®Òu ABC, c¸c ®­êng cao AH, BK c¾t nhau t¹i ®iÓm G. Tia ph©n gi¸c cña gãc BKH c¾t ®o¹n th¼ng CG, AH, BC lÇn l­ît t¹i c¸c ®iÓm M, N, P. Chøng minh r»ng: KM=NP.

4®iÓm

0,5®

Ta thÊy CG lµ tia ph©n gi¸c cña gãc C

V× K, H lµ trung ®iÓm cña AC, BC nªn KH//AB vµ ΔCHK ®Òu.



Do KP lµ ph©n gi¸c cña nªn: , tõ ®ã .

Ta cã ,nªn ΔCMK c©n t¹i C

CK=CM.

Ta cã AK=CM(=CK) ;;

VËy ΔAKN=ΔCMP(g.cg)

KN=MP hay KM+MN=MN+NP

Tõ ®ã suy ra: KM=NP. §pcm.

0,25®

0,5®

0,25®

0,5®

0,5®

0,75®

0,25®

0,25®

0,25®

5

a

T×m mét nghiÖm cña ®a thøc P(x)=x3+ax2+bx+c. BiÕt r»ng ®a thøc cã nghiÖm vµ

1®iÓm

Ta cã gi¶ thiÕt:

Chia c¶ hai vÕ cña ®¼ng thøc trªn cho 4 ta ®­îc:

VËy x=chÝnh lµ mét nghiÖm cña ®a thøc.

0,25®

0,25®

0,25®

0,25®

b

T×m c¸c gi¸ trÞ x, y tháa m·n:

2®iÓm

Ta cã :

Nªn : 2x-25=0 vµ 3y+5=0

 x=12,5 vµ y=-5/3

1,0®

0,5®

0,5®

Tr­êng THCS Thanh Xu©n

Tæ KH Tù nhiªn

-----***-----

®Ò thi c©u l¹c bé em yªu thÝch

m«n to¸n líp 8

N¨m häc: 2011-2012

Thêi gian: 120 phót.

Bµi

ý

§¸p ¸n

BiÓu ®iÓm

1

a

Cho m lµ mét sè nguyªn d­¬ng. H·y t×m c¸c ch÷ sè x vµ y (x0) sao cho sè lµ sè chÝnh ph­¬ng.

3®iÓm

Sè (m nguyªn d­¬ng) lµ sè chÝnh ph­¬ng vµchia hÕt cho 5 nªn cã d¹ng: A=(10t+5)2=100t2+100t+25 víi t.

Tõ ®ã suy ra : 100t2+100t+25=100x+10y+5+100m2+500m  (1)

Do ®ã 10y+5-25 ph¶i chia hÕt cho 100,

suy ra y=2, thay vµo (1) ta ®­îc t2+t=m2+5m+x        (2)

§Æt t=m+v, thay vµo (2) ta ®­îc : (m+v)2+m+v= m2+5m+x       

2m(2-v)=v2+v-x. §¼ng thøc x¶y ra víi m bÊt kú khi vµ chØ khi v=2 vµ x=v2+v=6.

VËy c¸c ch÷  ph¶i  t×m lµ : x=6; y=2.

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

0,25®

0,5®

0,25®

b

Cho a+b+c=0 vµ a2+b2+c2=14. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B=a4+b4+c4

3®iÓm

Ta cã a2+b2+c2=14( a2+b2+c2)2=142

a4+b4+c4+2a2b2+2a2c2+2b2c2=196

 a4+b4+c4  =196-2(a2b2+a2c2+b2c2)

L¹i cã: a+b+c=0( a+b+c)2=0

 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0

14+2(ab+bc+ac)=0  (v× a2+b2+c2=14)

 ab+bc+ac=-7

(ab+bc+ac)2=49

 a2b2+a2c2+b2c2 +2abc(a+b+c)=49

 a2b2+a2c2+b2c2=49 (v× a+b+c=0)

Khi ®ã B=196-2. 49=98

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

2

Cho biÓu thøc A=

T×m c¸c gi¸ trÞ x nguyªn ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.

3 ®iiÓm

Ta cã: A=

=  (víi x-1)

Do x nguyªn nªn ®Ó A nguyªn th× x+1 ph¶i lµ ­íc cña 1.

Suy ra: x=0; x=-2 (tm)

1,0®

1,0®

1,0®

3

Mét bÓ cã hai vßi n­íc. Mét vßi lÊy n­íc vµo cã vËn tèc gÊp ba lÇn vßi th¸o n­íc ra. NÕu ta më c¶ hai vßi khi bÓ kh«ng cã n­íc th× sau 2 giê bÓ ®Çy. Hái vßi th¸o n­íc ra ®Æt ë ®é cao bao nhiªu so víi ®é cao cña bÓ biÕt r»ng nÕu më mét m×nh vßi lÊy n­íc vµo th× bÓ ®Çy sau 1 giê 30 phót?

4 ®iiÓm

Trong1h vßi thø nhÊt ch¶y ®­îc vµo bÓ: (bÓ)

Vßi thø hai ch¶y ra trong 1h ®­îc: (bÓ)

Khi møc n­íc ®· ë trªn ®é cao ®Æt vßi ch¶y ra th× trong 1h hai vßi më cïng mét lóc ®­îc : (bÓ)

Gäi x(h) lµ thêi gian vßi thø nhÊt ch¶y mét m×nh cho ®Õn khi n­íc b¾t ®Çu ch¶y ra ®­îc. Trong thêi gian nµy vßi thø nhÊt ch¶y ®­îc x(bÓ).

Sau x giê ®ã hai vßi cïng më trong thêi gian lµ: 2-x (giê)

Ta cã ph­¬ng tr×nh:

Gi¶i ®­îc x=1/2 giê.

VËy  ®é cao cña vßi th¸o n­íc ra so víi ®é cao cña bÓ n­íc lµ :

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

4

Cho h×nh thoi ABCD cã c¹nh a vµ . Mét ®­êng th¼ng bÊt kú ®i qua C c¾t tia ®èi cña c¸c tia BA vµ DA t¹i M vµ N.

a) Chøng minh r»ng tÝch BM. DN cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi.

b) Gäi K lµ giao ®iÓm cña BN vµ DM. TÝnh sè ®o gãc BKD?

3®iÓm

a

0,5®

XÐt ΔAMN cã BC//AN nªn: (theo §L Ta let)

T­¬ng tù ta cã:

 hay MB. DN=AB.AD

Mµ AB=AD =a (do ABCD lµ h×nh thoi)

Nªn: MB. DN=AB.AD=a2 cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi.

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

b

ΔABD cã AB=AD (gt) ;  ΔABD ®Òu

(2 gãc kÒ bï) (1)

Theo cmt ta cã MB. DN=a2, BD=a nªn (2)

Tõ (1) vµ (2)  ΔMBD vµ ΔBDN ®ång d¹ng (c-g-c)



XÐt ΔBMD cã (v× cmt)



 (§L tæng 3 gãc cña tam gi¸c)



0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

5

Trªn mét vßng trßn ng­êi ta ®Æt 20 ®ång xu mµu tr¾ng vµ mét ®ång xu mµu ®en. BiÕt r»ng ®èi diÖn víi mét ®ång xu mµu tr¾ng qua t©m vßng trßn lµ mét ®ång xu mµu ®en. Chøng tá r»ng tån t¹i hai ®ång xu mµu ®en ®Æt c¹nh nhau.

2®iÓm

Gi¶ sö kh«ng tån t¹i hai ®ång xu mµu ®en ®Æt c¹nh nhau(1) th× kh«ng cã hai ®ång xu tr¾ng ®Æt c¹nh nhau, do ®ã c¸c ®ång xu tr¾ng ph¶i xÕp xen kÏ nªn còng cã 20 ®ång xu mµu ®en.

XÐt hai ®ång xu tr¾ng ®en ®èi diÖn nhau trªn vßng trßn, ®ång xu tr¾ng ®­îc ®¸nh sè 1, ®ång xu ®en ®èi diÖn ®¸nh sè 21. Do c¸c ®ång xu tr¾ng ®en xÕp xen kÏ nªn c¸c ®ång xu ®en mang sè 2, 4, 6, …, 20 l¹i x¶y ra hai ®ång xu ®en sè 20 vµ sè 21 c¹nh nhau, ®iÒu nµy tr¸i víi (1). VËy ph¶i tån t¹i hai ®ång xu mµu ®en ®Æt c¹nh nhau.

0,5®

1,5®