|
Phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
ViÖt Yªn
|
§Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn
N¨m häc 2010 - 2011
M«n : To¸n 7
Thêi gian lµm bµi: 150 phót
|
Bµi 1: ( 4 ®iÓm)
a)TÝnh A = ( 
- 1 ) . (
- 1 ) . ( 
- 1 ) . ……( 
-1 ) . ( 
- 1 )
b) S = 
Bµi 2 : ( 4 ®iÓm)
a) T×m x , y nguyªn biÕt xy + 3x – y = 6
b) Cho A = 
+ 
+ ……+ 
B = 
+ 
+……….+ 
CMR 
lµ mét sè nguyªn.
Bµi 3 ( 4 ®iÓm ):
a) Cho S= 17 + 172+173+……..+1718 chøng tá r»ng S chia hÕt cho 307
b) Cho đa thức 
= a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
Biết rằng : 
Chứng minh : 
với mọi x.
Bµi 4 (6 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC (AB > AC ) , M lµ trung ®iÓm cña BC . §êng th¼ng ®i
qua M vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A t¹i H c¾t c¹nh AB , AC lÇn lît t¹i E vµ F . Chøng minh :
a) 2BME = ACB - B
b) 
.
c) BE = CF .
Bµi 5 ( 2 ®iÓm)
Cho 4 số không âm a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 1. Gọi S là tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số có được từ 4 số này. S có thể đạt được giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?
|
Phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
ViÖt Yªn
|
Híng dÉn chÊm häc sinh giái cÊp huyÖn
N¨m häc 2010 - 2011
M«n : To¸n 7
|
|
|
Bµi 1
|
a)
|
1
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) S =
2S = 
|
0.5®
|
|
2S - S = 
|
0.5®
|
|
S = 
|
1 ®
|
|
Bµi 2
|
a)xy + 3x – y = 6 => (x – 1). (y+3) = 3 => x – 1 vµ y+3 lµ ¦( 3)
T×m ra c¸c cÆp (x, y ) tho¶ m·n (4; -2), (2;0), (-2;-4),(0;6)
b)A =  = 
= ( 1 +  + ) – 
= 
=
B =  =>
58B=
B = 
|
1
1
1
1
|
|
Bµi 3 : Mçi ý ®óng cho 1 ®iÓm
a) S = 17( 1+17+172) + 174( 1+17+172) + .......+1716( 1+17+172)
= 17. 307 + 174.307 +.............+ 1716.307
|
0,5
|
|
= 307( 17+ 174+…………….+ 1716)
V× 307 307 nªn 307( 17+ 174+…………….+ 1716) 307
Vaäy S 307
|
0, 5
|
|
b) 
Do  nªn a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = a4 - a3 + a2 - a1 + a0
 a3 + a1 = - a3 - a1
 a3 + a1 = 0 (1)
|
0.25®
|
|
T¬ng tù: 
V×  nªn 4a3 + a1 = 0 (2)
|
0.25®
|
|
Tõ (1) vµ (2)  a1 = a3 = 0
|
0.25®
|
|
VËy 
 víi 
 víi 
|
0.25®
|
|
Bµi 4
|
|
|
|
|
a)  (cgc) Suy ra 
XÐt  cã  lµ gãc ngoµi suy ra 
 cã  lµ gãc ngoµi suy ra 
|
0.5®
|
|
|
VËy 
hay  (®pcm).
|
0.25®
|
|
|
b) ¸p dông ®Þnh lÝ Pytago vµo tam gi¸c vu«ng AFH :
ta cã HF2 + HA2 = AF2 hay  (®pcm)
|
0.75®
|
|
|
c) C/m  Suy ra AE = AF vµ
Tõ C vÏ CD // AB ( D  EF )
C/m ®îc 
vµ cã  (cÆp gãc ®ång vÞ)
do do ®ã  c©n  CF = CD ( 2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra BE = CF
|
0.75®
|
|
Bµi 5 Cho 4 số không âm a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 1. Gọi S là tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số có được từ 4 số này. S có thể đạt được giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?
|
|
|
Giả sử  khi đó
Do  khi c = d = 0, lúc đó a + b = 1.
Do  ta có S = 2a + (a + b) = 2a + 1 2.1 + 1 hay S 3
Kết luận.
|
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
|
