Đề thi HSG Toán 8 - đề 3

C©u 1: ( 4 ®iÓm)

Cho biÓu thøc:

1. Rót gän P.
2. Cã gi¸ trÞ nµo cña a, b ®Ó P = 0?
3. TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt a, b tháa m·n ®iÒu kiÖn:

3a2 + 3b2 = 10ab vµ a > b > 0

C©u 2: ( 3,5 ®iÓm)

Chøng minh r»ng:

1.   (n2 + n -1)2 – 1 chia hÕt cho 24 víi mäi sè nguyªn n.
2. Tæng c¸c lËp ph­¬ng cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp th× chia hÕt cho 9.

C©u 3: ( 3 ®iÓm)

Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x4 + x2 + 6x – 8 = 0

C©u 4: ( 3 ®iÓm)

T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh:

x2 = y( y +1)(y + 2)(y + 3)

C©u 5: (7,5 ®iÓm)

Cho tam gi¸c ABC, O lµ giao ®iÓm cña c¸c ®­êng trung tùc trong tam gi¸c, H lµ trùc t©m cña tam gi¸c. Gäi P, R, M theo thø tù lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, AC, BC. Gäi Q lµ trung ®iÓm ®o¹n th¼ng AH.

1.   X¸c ®Þnh d¹ng cña tø gi¸c OPQR? Tam gi¸c ABC ph¶i tháa m·n ®iÒu kiÖn g×  ®Ó OPQR lµ h×nh thoi?
2. Chøng minh AQ = OM.
3.   Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. Chøng minh H, G, O th¼ng hµng.
4.   VÏ ra ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABDE, ACFL. Gäi I lµ trung ®iÓm cña EL. NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC kh«ng ®æi vµ BC cè ®Þnh th× I di chuyÓn trªn ®­êng nµo?