de thi HSG

ĐỀ THI SỐ 1

Câu 1: (4,0 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 3x2 – 7x + 2;                           b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

Câu 2: (5,0 điểm)

 Cho biểu thức :

a)     Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?

b)    Tìm giá trị của x để A > 0?

c)     Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.

Câu 3: (5,0 điểm)

a)     Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.

b)                 Cho và . Chứng minh rằng : .

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.

a)     Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

b)    Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

c)    Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

ĐỀ SỐ 2

Câu1.

a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:

b. Giải phương trình:  

c. Cho  . Chứng minh rằng:

Câu2. Cho biểu thức:     

  a. Rút gọn biểu thức A.

    b. Tính giá trị của A , Biết x =.

      c. Tìm giá trị của x để A < 0.

        d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ MEAB, MFAD.

a. Chứng minh:

b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.

c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

Câu 4. 

a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 

b. Cho a, b d­¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002

Tinh: a2011 + b2011

                §Ò thi SỐ 3

C©u 1 : (2 ®iÓm)           Cho      P=

a)   Rót gän P

b)   T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn

C©u 2 : (2 ®iÓm)

a)   Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph­¬ng cña chóng chia hÕt cho 3.

b)   T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc :

        P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6)  cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã .

C©u 3 : (2 ®iÓm)

a)  Gi¶i ph­¬ng tr×nh :  

b)  Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng :

                                     A = 

C©u 4 : (3 ®iÓm)

  Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng  600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l­ît t¹i D vµ E . Chøng minh :

a) BD.CE=

b) DM,EM lÇn l­ît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED.

c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi.

C©u 5 : (1 ®iÓm)

T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi .             

®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái

C©u 1 : (2 ®)

a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)

                             =(a-1)(a+1)(a-4)                                                               0,5

    a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 )

                              =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4)                            0,5

    Nªu §KX§ : a                                                                 0,25   

    Rót gän P=                                                                                       0,25

b) (0,5®) P= ; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ ­íc cña 3,

     mµ ¦(3)=                                                                                 0,25

    Tõ ®ã t×m ®­îc a                                                                        0,25

C©u 2 : (2®)

a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 .   0,25

      Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)=

                        =(a+b)   0,5 

      V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ;

      Do vËy (a+b) chia hÕt cho 9   0,25

b) (1®)  P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36         0,5

     Ta thÊy (x2+5x)2 0  nªn P=(x2+5x)2-36 -36       0,25

     Do ®ã Min P=-36 khi (x2+5x)2=0

     Tõ ®ã ta t×m ®­îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36   0,25

C©u 3 : (2®)

a) (1®)  x2+9x+20   =(x+4)(x+5) ;

             x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;

           x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;   0,25

           §KX§ :    0,25

      Ph­¬ng tr×nh trë thµnh : 

           0,25

 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)

 (x+13)(x-2)=0

      Tõ ®ã t×m ®­îc x=-13; x=2;   0,25

b) (1®)   §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0

   Tõ ®ã suy ra a= ;    0,5

   Thay vµo ta ®­îc A=   0,25

   Tõ ®ã suy ra  A hay A    0,25

C©u 4 : (3 ®)

a) (1®) 

     Trong tam gi¸c BDM ta cã :

      V×  =600 nªn ta cã       :

      Suy ra                                                          

      Chøng minh ∾  (1)                 0,5

     Suy ra , tõ ®ã BD.CE=BM.CM

    V×   BM=CM= , nªn ta cã   BD.CE=         0,5

b) (1®) Tõ (1) suy ra   mµ BM=CM nªn ta cã

    Chøng minh   ∾         0,5

    Tõ ®ã suy ra  , do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE

    Chøng minh t­¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED        0,5

c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC

     Chøng minh DH = DI, EI = EK       0,5

     TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn.       0,5

C©u 5 : (1®)

   Gäi c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng lµ x , y , z ; trong ®ã c¹nh huyÒn lµ z

    (x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng )

   Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ  x2 + y2 = z2 (2)       0,25

   Tõ (2) suy ra   z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã :

                           z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)

 z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)

 z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4

 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra  z+2 = x+y-2                       0,25

 z=x+y-4  ; thay vµo (1)  ta ®­îc :

 xy=2(x+y+x+y-4)

 xy-4x-4y=-8

 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4        0,25

  Tõ ®ã ta t×m ®­îc c¸c gi¸ trÞ cña x , y , z lµ :

                   (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;

                   (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10)         0,25

ÑEÀ THI SOÁ 4

Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû

Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc:

phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc heä soá nguyeân

Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = chia heát cho ña

thöùc

Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx cuûa goùc AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy.

Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng

Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng

                          Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm

ĐỀ THI SỐ 5

Bài 1: (4 điểm)

 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)     (x + y + z) 3 –  x3 – y3 – z3.

b)    x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.

Bài 2: (2 điểm)

 Giải phương trình:

  .

Bài 3: (3 điểm)

 Tìm x biết:

  .

Bài 4: (3 điểm)

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Bài 5: (4 điểm)

 Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.

a)     Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.

b)    Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 6: (4 điểm)

 Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: .

a)     Chứng minh rằng: .

b)     Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.

Một lời giải:

Bài 1:

 a)  (x + y + z) 3 –  x3 – y3 – z3 =

  =

  = = 3