Đề thi thử đại học môn toan 2012

CâuI

Tiếp tuyến bất kì của đths cắt hai đường tiệm cận tại A và B .CMR diện tích IAB không đổi. Viết pt3 sao cho bán kính đường tròn nội tiếp IAB lớn nhất .

Tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 1; Giao hai đường tiệm cận: I(-1;1)

Tiếp tuyến tại M(x0;y0) dạng:

0.25

Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng: , cắt tiệm cận ngang:

Có: suy ra IA.IB = 12 Nên

0.25

. Ta có

Bởi vậy r lớn nhất khi p nhỏ nhất.

Do

P nhỏ nhất khi

0.25

- Với

- Với

0.25

CâuII

Giải phương trình :     

Đk : pt 

0.25

 1 – sinx + cos2x = cosx + 1  sinx + cosx = cos2x

0.25

 sinx + cosx = (cosx + sinx)(cosx – sinx)  (cosx – sinx) = 1

 2cos = 1  cos = cos

0.25

Kết hợp đk => nghiệm phương trình : x = hoặc x =

0.25

Giải hệ phương trình :

Đk : y ≥ 0,5.

(1)   (x + )( - y) = 4

4 = ( + y) ( - y) nên  x + = + y 

0.25

Xét hàm f(t) = t + có f’(t) = 1 +

Vậy f(t) đồng biến trên R mà (1)  f(x) = f(y)  x = y

0.25

Thay x = y vào (2)  x2 – 8x + 10 = (x + 2)

                                6(2x – 1) + (x + 2) - (x + 2)2 = 0

0.25

Đặt  u = với  u ≥ 0 thì (2)  6u2 + (x + 2)u – (x + 2)2 = 0 có  = 25(x + 2)2

     u = hoặc  u = - (loại vì x ≥ 0,5 nên u < 0).

0.25

Giải pt :x + 2 = 3 có hai nghiệm x = 1 hoặc x = 13 => nghiệm của hệ (1;1)& (13;13)

Câu

III

Tính tích phân : I =  

I =   = =

0.25

Đặt   => => I =

0.25

=> I =  + 2ln

0.25

Vậy I = 

0.25

Câu

IV

Chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a đường chéo AC = a. Các cạnh bên

SA = 2a;SB = 3a;SC = aTính thể tích khối chóp và cosin của góc giữa hai đường thẳng SA và CD

* g(SA ; CD) = g(SA;AB) vói cosSAB =

* Áp dụng đlí cosin tính đựợc:

gócASC = 600 ; gócASB = 900 ;gócBSC = 1200

* Lấy M  SA ; N  SB sao cho SM = SN = a.

=> CM = a ; MN = a; CN = a

=> CMN vuông tại M

Mà SM = SN = SC = a nên hình chiếu H của S trên (CMN) là trung điểm CN  & SH =

=> VSCMN = SH.SCMN =

* Ta có VSABCD = 2VSABC = 12VSCMN =

0.25

0.25

0.25

0.25

Câu

V

Cho x , y , z lµ ba sè thùc d­¬ng . T×m giá trị nhỏ nhất cña biÓu thøc :

M =

M =   råi ¸p dông  x2 + y2 + z2 ≥  xy + yz + zx

Ta cã : M

0.25

Ta cßn cã :

0.25

Tương tự ta có :  ;

0.25

vËy Min M = 9/2 <=> x = y = z = 1.

0.25

Câu

VIa

Cho (C):. M di động trên d: x – y + 1 = 0. CMR từ M kẻ được hai tiếp tuyến MT1, MT2 tới (C)và tìm toạ độ điểm M, biết đường thẳng T1T2 đi qua điểm A(1;-1).

Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) bán kính r=2

M nằm trên d nên M(m;m+1). => IM = > 2 =>M nằm ngoài (C) => qua M kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C).

0.25

Gọi J là trung điểm IM=> toạ độ J là J.Đường tròn (T) đường kính IM có tâm J bán kính có phương trình (T):

Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MT1,MT2 đến (C) => T1 ; T2 là hai giao điểm của (C) & (T)

0.25

                                                                                                  (1)

Khi đó tọa độ T1 & T2 thỏa mãn hệ :    (2)

Lấy (1) trừ (2) vế với vế => đường thẳng T1T2 có pt : (m – 1)x + (m + 3)y +m + 3 = 0

0.25

A(1;-1) nằm trên T1T2 nên : m – 1 – m – 3 + m + 3 = 0 <=> m = 1=>M(1;2)

0.25

Câu

VIa

cho và . Lập phương trình đthẳng (d) //(P) và cắt lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.

Đặt , ta có

0.25

Do AB song song với (P) nên:

Suy ra:

0.25

Do đó:

Suy  ra: , ,

0.25

Vậy, phương trình đường thẳng (d) là: .

0.25

Câu

VIIa

Gọi là các nghiệm ptrình: .Tính: (z1 – 1)2012­  + (z2 – 1)2012

’ =  - 1 = i2

0.25

Phương trình có hai nghiệm phân biệt : z1 = 2 + i & z2 = 2 - i

0.25

(z1 – 1)2012­  + (z2 – 1)2012 = (1 + i)2012 + (1 – i)2012 = [(1+ i )2]1006 + [(1 + i )2]1006

0.25

Mà (1 + i)2 = 2i ; (1 – i)2 = - 2i  ; i1006 = - 1

nên  (z1 – 1)2012­  + (z2 – 1)2012 = (-2i)1006 + (2i)1006 = - 21007

0.25

Câu

VIb

Cho ba điểm A(-1; -1) ; B(0;2) ;C(0;1).Viết phương trình đường thẳng  đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C tới  là lớn nhất.

Giả sử ptđt : A(x + 1) + B(y + 1) = 0 với A2 + B2 > 0.

=> d(B;) = ; d(C;) =

0.25

Gọi  S = d(B;) + d(C;) = +

                                         = ≤

0.25

Bunhia ta có S2 ≤ = 29 => MaxS = 

0.25

Lấy A= 2 => B = 5 => ptđt  : 2x + 5y + 7 = 0

0.25

cho (S) : x 2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 67 = 0 và . Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tiếp xúc với (S).

Mặt cầu (S) tâm . Gọi có vtpt .

0.25

Đường thẳng d có vtcp .

Vì .

Mặt khác . Thay vào (1) ta có pt

.

Do tiếp xúc (S) nên

0.25

TH1: , Nếu (loại)

                        Nếu , chọn C = 1 => B = 4 & A = 8.

 Khi đó phương trình (P) là : 8x + 4y + z – 100 = 0

0.25

TH2: , Nếu (loại)

                          Nếu , chọn C = 1 => B = - 2 & A = 2.

Khi đó phương trình (P) là  : 2x – 2y + z – 28 = 0.

0.25

Câu

VIIb

Cho số phức z thỏa mãn : - 2 = - 3 + 6i .Tìm :

Giả sử z = x + yi với x , y  R.

Từ gt => - 2(x – yi) = - 3 + 6i

0.25

 

0.25

  x = 4 vậy z = 4 + 3i

0.25

Vậy = 5 + 25 + 125 = 155.

0.25