Đề thi thử số 4 ở toanphothong.vn (có lời giải)

TOÁN PHỔ THÔNG http://toanphothong.vn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN ĐỀ SỐ 4 NGÀY 20.01.2013 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) 2 x −3 Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = , có đồ thị là (H) x +1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (H). b) Tìm m để đường thẳng d : y = 2mx −2m +1 cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt A,B đồng thời trung điểm µ ¶ 2 3 2 65 16 2 của AB nằm trong đường tròn (C) : x + y − = Câu 2. (2 điểm) a) G

Thể loại Giáo án bài giảng Giải tích 12

Số trang 5

Ngày tạo 3/6/2013 3:07:42 PM +00:00

Loại tệp pdf

Kích thước 0.18 M

Tên tệp toanphothongde04 pdf

Download

TOÁN PHỔ THÔNG

http://toanphothong.vn

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN

ĐỀ SỐ 4

NGÀY 20.01.2013

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

x −3

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y =

, có đồ thị là (H)

x +1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (H).

b) Tìm m để đường thẳng d : y = 2mx −2m +1 cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt A,B đồng thời trung điểm

của AB nằm trong đường tròn (C) : x + y −

Câu 2. (2 điểm)

a) Giải phương trình: tan2x +2tanx = tan4x





x + x +1

y =

b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

x + x +1



x + y −3xy − x +3y −1 = 0

(

x −1) ln x +1

Câu 3. (1 điểm) Tính tích phân: I =

dx.

Câu 4. (1 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình hành. Biết AB = 2AD = 2a,B AD = 60 . Gọi M là trung

điểm của AB, giả sử DM cắt AC tại H và SH vuông góc với mặt đáy (ABCD). Mặt phẳng (P) qua H song song với

với SC cắt SA tại N. Biết góc tạo bởi hai mặt phẳng (DMN) và (ABCD) là 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD

và khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SCD đến mặt phẳng (DMN).

Câu 5. (1 điểm) Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn: ab +2bc +3ca = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = (a +b)(b +c)(c + a)+4a +b +c

PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B

A. Theo chương trình chuẩn

Câu 6A. (2 điểm)

a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD (ABkCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB

và CD. Trên tia đối của tia C A lấy điểm P bất kì, PM cắt BC tại E và PN cắt AD tại F. Giả sử phương trình cạnh

AB : x −2y +9 = 0 và điểm F(2;4). Hãy lập phương trình đường thẳng EF.

b) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : (x −1) +(y −2) +z = 9 và điểm A(1;−3;0). Gọi d

6z +11

là đường thẳng đi qua A hợp với đường thẳng d :

một góc ϕ sao cho cosϕ = ₉đồng thời song

−1

song với mặt phẳng (P) : x + y −4z −15 = 0. Lập phương trình mặt cầu (S1) đối xứng với mặt cầu (S) qua d, biết

rằng hoành độ véc tơ chỉ phương của d nhỏ hơn 3.

Câu 7A. (1 điểm) Trong một hộp có 10 tấm thẻ được đánh số từ 0 đến 9. Lấy ngẫu nhiên liên tiếp bốn thẻ và xếp

cạnh nhau theo thứ tự từ trái sang phải. Tính xác suất để bốn thẻ xếp thành một số tự nhiên có bốn chữ số

sao cho trong đó có chữ số 5 .

B. Theo chương trình nâng cao

Câu 6B. (2 điểm)

a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B AC = 2ABC, AB = 2AC và BC = 6. Gọi M là trung

điểm của AB. Giả sử M(1;2) và đỉnh A nằm trên đường tròn (C) : (x −1) +(y −2) = 10. Hãy tìm tọa độ các đỉnh

A, B của tam giác ABC.

x −1 y −1 z −5

b) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d :

x −1

y −5

z −1

và d :

. Goi (P) là mặt phẳng chứa cả d,d . Hãy lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua

M(1;2;0), vuông góc với mặt phẳng (Oxy) đồng thời góc hợp bởi giữa mặt phẳng (α) và (P) bằng góc hợp bởi

giữa mặt phẳng (α) và mặt phẳng (Q) : 4x +9y −12z −27 = 0



y2+1−y



−2





ln xy + x y + x = 2

Câu 7B. (1 điểm) Giải hệ phương trình tập số thực:





y + x = p

—

——————————————–Hết—————————————————

TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN

x −3

, có đồ thị là (H)

Câu 1. Cho hàm số y =

x +1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (H).

b) Tìm m để đường thẳng d : y = 2mx −2m +1 cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt A,B đồng thời trung điểm của

AB nằm trong đường tròn (C) : x + y −

a) Lời giải (hungchng)

x −3

có tập xác định D = R\{−1};

> 0 ∀x ∈ D

Hàm số y =

Đồ thị

x +1

đạo hàm y =

(

x +1)²

Hàm số đồng biến trên (−∞;−1);(−1;+∞)

lim y = +∞;

lim y = −∞;

−

x→(−1)

x = −1 là phương trình tiệm cận dọc

lim y = 2;

x→−∞

x→+∞

y = 2 là phương trình tiệm cận ngang

Bảng biến thiên

−∞

−1

+∞

∞

−∞

b) Lời giải (Hungbnp)

Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và (d) là:

x −3

2mx −2m +1 ⇐⇒ 2x −3 = (x +1)(2mx −2m +1) (vì x = −1 không là nghiệm)

x +1

⇐

⇒ 2mx − x +4−2m = 0 (1)

(

d) cắt (H) tại 2 điểm phân biệt A,B khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt,





hoặc m > 1+

điều này tương đương với: ∆ =

⇐⇒

(2)



Khi đó gọi A(x1; y1),B(x2; y2) ; I(xI ; yI ) là trung điểm của đoạn thẳng AB. Theo định lí Viét và kết hợp với tính chất

trung điểm của đoạn thẳng ta có:



x1 + x2





x_I=

yI =

y1 + y2 2m (x1 + x2)−4m +2 3−4m





Từ đó điểm I nằm trong đường tròn (C) khi và chỉ khi:

Đường tròn (C) có tâm M 0; và bán kính R =

MI < R ⇐⇒ MI <

⇐⇒

+4m <

⇐⇒ 64m −65m +1 < 0

16m²



−

^m^<8

m <





⇐

⇒ m −

m −1 < 0 ⇐⇒

64 ⇐⇒

m < −1

m > 1

´´

−

Kết hợp với điều kiện (2) ta có: m ∈ (−∞;−1)∪

;1−

∪ 1+

;+∞ \{0} là giá trị cần tìm.

Câu 2.a Giải phương trình: tan2x +2tanx = tan4x

Lời giải (anhdung182192)

ĐK : cosx 6= 0, cos2x 6= 0, cos4x 6= 0

pt tương đương:

sin4x sin2x

−

sinx

cosx

sin2x

2sinx

cos4x.cos2x cosx

tan4x −tan2x = 2tanx ⇐⇒

= 2

⇐⇒

cos4x cos2x

^"2

sinx = 0

cosx

sinx = 0

x = kπ

⇐⇒

...

cos6x = 1

cos x = cos4x.cos2x

1+cos2x = cos2x +cos6x

cos4x.cos2x cosx

http://toanphothong.vn





x + x +1

y =

Câu 2.b Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

x + x +1



x + y −3xy − x +3y −1 = 0

Lời giải (haruki)

Phương trình thứ nhất tương đương:

y = x − x +1 ⇐⇒ y −1 = x(x −1).

Phương trình thứ nhì tương đương:

Từ 2 biến đổi trên ta suy ra:

x(x −1)+ y −1 = 3y(x −1).

(

x −1)(x +2x −3y) = 0.

Nếu x = 1 thì y = ±1.

x +2x

Nếu x

6= 1 thì x +2x = 3y ⇐⇒ y =

, thay vào phương trình thứ nhất ta được:

!Ã

1− 13

x −5x +4x +9x −9 = 0 ⇐⇒ (x −1)(x −3) x −

x −

= 0.

Với x = 3 thì y = ± 5.

11+3 3

Với x =

thì y = ±

−

11−3 13

thì y = ±





 



11+3 3

1− 13

11−3 13

 



Vậy nghiệm của hệ là (x, y) = (1,±1); 3,± 5 ;

,±

;

,±

(

x −1) ln x +1

Câu 3. Tính tích phân: I =

Lời giải (cokeu14_bl)

dx.





(

u = ln(x +1)

v = (x −1) e

u =

Việc nhận diện đây là tích phân từng phần khá cơ bản Vậy ta tiến hành đặt :

⇒

x +1

−x



−x

v = −(x +1)e

2xe⁻^xdx =

−2ln2

Nên ta có : I = −(x +1)e⁻^x

ln(x +1)^¯

− _e+2

Câu 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình hành. Biết AB = 2AD = 2a,B AD = 60 . Gọi M là trung điểm

của AB, giả sử DM cắt AC tại H và SH vuông góc với mặt đáy (ABCD). Mặt phẳng (P) qua H song song với với SC

cắt SA tại N. Biết góc tạo bởi hai mặt phẳng (DMN) và (ABCD) là 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng

cách từ trọng tâm G của tam giác SCD đến mặt phẳng (DMN).

Lời giải (koyeuladai)

3^p

VS.ABCD = a 3.

(

= a. Bài này dài nên chỉ trình bày sơ lược diễn biến:

G,(MND)

P) chính là (NMD). Gọi K là hình chiếu vuông góc của N lên AC =⇒ NK song song SH và vuông góc mp(ABCD).

Tính được

Gọi T, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của K lên DM và K lên NT =⇒ NT K = ((DMN),(ABCD)) = 60

K T =

=⇒ NK = K T 3 = a.

K I = d^¡

^¢=

.K T = ₂

SH = 3NK = 3a =⇒ VS.ABCD = .3a.a.2a.sin60^o

K ,(DMN)

http://toanphothong.vn

Lấy P là trung điểm CD,Q thuộc cạnh CP sao cho 3PQ = PC

CM được GQ song song SC mà SC song song NH =⇒ GQ song song NH =⇒ GQ song song (DMN)

=⇒ d

= d

.3.d

= 2K I

G,(DMN)

Q,(DMN)

C,(DMN)

K ,(DMN)

Câu 5. Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn: ab +2bc +3ca = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = (a +b)(b +c)(c + a)+4a +b +c

Lời giải (Mưa Hà Nội)

Như tập trước bộ phim, một số khán giả đã dự đoán được Min P = 12 khi (a,b,c) = (1,0,2)

Nếu điểm rơi như vậy thì "tình cờ" (a +b)(b +c)(c + a) = 4a +b +c = 6. Anh "bậc ba" đi với cô "bậc nhất", mà đề bài

lại là bậc hai. Một cách tự nhiên, hẳn ai cũng nghĩ tới việc tác thành cho cặp đôi hoàn hảo này.

Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

P ≥ 2 (a +b)(b +c)(c + a)(4a +b +c)

Dễ thấy chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được

(

a +b)(b +c)(c + a)(4a +b +c) ≥ 36

Hay

M = (a +b)(b +c)(c + a)(4a +b +c) ≥ (ab +2bc +3ca)

Tới đây thì ý tưởng Cauchy Schwarz đã lộ rõ. Tất nhiên cảnh kết thúc bộ phim thì bao giờ cũng lãng mạn và đầy

tinh tế. Để ý rằng

M = [a(b +c) +b(c − a) +c(a +b) ](4a +b +c) ≥ [2a(b +c)+b(c − a)+c(a +b)]

Hay

M ≥ (ab +2bc +3ca)

Từ đó có đpcm

Câu 6A.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD (ABkCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm

của AB và CD. Trên tia đối của tia C A lấy điểm P bất kì, PM cắt BC tại E và PN cắt AD tại F. Giả sử phương trình

cạnh AB : x −2y +9 = 0 và điểm F(2;4). Hãy lập phương trình đường thẳng EF.

Lời giải (...)

Câu 6A.b Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : (x −1) +(y −2) + z = 9 và điểm A(1;−3;0).

6z +11

Gọi d là đường thẳng đi qua A hợp với đường thẳng d :

một góc ϕ sao cho cosϕ = ₉đồng thời

−1

song song với mặt phẳng (P) : x + y −4z −15 = 0. Lập phương trình mặt cầu (S1) đối xứng với mặt cầu (S) qua d, biết

rằng hoành độ véc tơ chỉ phương của d nhỏ hơn 3.

Lời giải (...)

Câu 7A. Trong một hộp có 10 tấm thẻ được đánh số từ 0 đến 9. Lấy ngẫu nhiên liên tiếp bốn thẻ và xếp cạnh

nhau theo thứ tự từ trái sang phải. Tính xác suất để bốn thẻ xếp thành một số tự nhiên có bốn chữ số sao cho

trong đó có chữ số 5 .

Lời giải (...)

Câu 6B.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B AC = 2ABC, AB = 2AC và BC = 6. Gọi M

là trung điểm của AB. Giả sử M(1;2) và đỉnh A nằm trên đường tròn (C) : (x −1) +(y −2) = 10. Hãy tìm tọa độ các

đỉnh A , B của tam giác ABC.

Lời giải (...)

x −1 y −1 z −5

Câu 6B.b Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d :

x −1 y −5 z −1

và d : . Goi (P) là mặt phẳng chứa cả d,d . Hãy lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua M(1;2;0),

vuông góc với mặt phẳng (Oxy) đồng thời góc hợp bởi giữa mặt phẳng (α) và (P) bằng góc hợp bởi giữa mặt phẳng

(

α) và mặt phẳng (Q) : 4x +9y −12z −27 = 0

Lời giải (...)

http://toanphothong.vn



y2+1−y



−2





ln xy + x y + x = 2

Câu 7B. Giải hệ phương trình tập số thực:





y + x = p

Lời giải (nguyenxuanthai)

(

x > 0

Điều kiện

y ≥ 0



y2+1−y



−2





ln xy + x y + x = 2

(1)

(2)

Ta đặt:





y + x = p

Từ phương trình (1) ta có:

· µ

¶¸

^¡y²+1

= 2

_y2₊₁₋_y

−2 ⇐⇒ ln x y + y²+1 = 2

_y2₊₁₋_y

1) ⇐⇒ ln xy + x²

−2

(

y²+1−y

+ln

y²+1− y

⇐

⇒ 2 +lnx = 2

−ln y + y +1 ⇐⇒ 2 +lnx = 2

Xét f (t) = 2 +lnt có f (t) = 2 .ln2+ > 0∀t > 0. Suy ra f (t) đồng biến, nên

x = y²+1− y ⇐⇒ x + y = y +1 ⇐⇒ (x + y) = y +1 ⇐⇒ x +2xy = 1 (3)

Phương trình (2) ta viết dưới dạng:

(

4− x 2 ≥ 0

x ≤ 2 2

4 2

2xy + x 2 = 4 ⇐⇒ 4 1− x = 4− x 2 ⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒ x =

6 1− x = 16+2x −8 2x

9x −4 2x = 0

49 2

Thay x =

vào (3) ta được y =

(Ã

144

2 49 2

;

Kết luận T =

144

http://toanphothong.vn

nguon VI OLET

Giải tích 12 Hình học 12 Giải tích 12 nâng cao Hình học 12 nâng cao