|
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
|
KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 CHUYÊN THPT
LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin)
|
Bài I (3 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n4 + 2015n2 chia hết cho 12.
2) Giải hệ phương trình sau : 
Bài II (2 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: 2y2 + 2xy + x + 3y – 13 = 0.
2) Giải phương trình: 
Bài III (1 điểm)
Cho 
là các số thực không âm. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Bài IV (3 điểm)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp tuyến chung CD (C, D là tiếp điểm, C (O), D (O’)). Đường thẳng qua A song song với CD cắt (O) tại E, (O’) tại F. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của BD và BC với EF. Gọi I là giao điểm của EC với FD. Chứng minh rằng:
a) Chứng minh rằng tứ giác BCID nội tiếp.
b) CD là trung trực của đoạn thẳng AI.
b) IA là phân giác góc MIN.
Bài V (1điểm)
Cho 1010 số tự nhiên phân biệt không vượt quá 2015 trong đó không có số nào gấp 2 lần số khác. Chứng minh rằng trong các số được chọn luôn tìm được 3 số sao cho tổng của 2 số bằng số còn lại.
------------------------- Hết----------------------
(Giám thị không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: .....................................................Số báo danh:...............................
Chữ ký của giám thị số 1: Chữ ký của giám thị số 2:
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ LẦN 2 VÀO LỚP 10
NGUYỄN HUỆ NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: TOÁN
(Dành cho hệ chuyên Toán và chuyên Tin)
|
BÀI
|
Ý
|
HƯỚNG DẪN CHẤM
|
ĐIỂM
|
|
I
|
|
|
3,0
|
|
|
1
|
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n4 + 2015n2 chia hết cho 12.
|
1,5
|
|
|
Ta có: n4 + 2015n2 = n2(n2 + 2015)
|
0,25
|
|
Nếu n chẵn thì n2 chia hết cho 4.
Nếu n lẻ thì n2 + 2015 chia hết cho 4.
n4 + 2015n2 chia hết cho 4.
|
0, 5
|
|
Nếu n chia hết cho 3 thì n4 + 2015n2 chia hết cho 3
Nếu n chia 3 dư 1 hoặc dư 2 thì n4 + 2015n2 chia hết cho 3.
Vậy n4 + 2015n2 chia hết cho 3.
|
0, 5
|
|
Vì (4, 3) = 1 nên n4 + 2015n2 chia hết cho 12.
|
0,25
|
|
2
|
Giải hệ phương trình
|
1,5
|
|
|
Suy ra : 
|
0,25
|
|
|
0, 5
|
|
Với  ta được  .
|
0,25
|
|
Với  ta được 
|
0, 5
|
|
II
|
|
|
2,0
|
|
|
1
|
Tìm các cặp số nguyên (x, y)…. (1,5 điểm)
|
1,0
|
|
2y2 + 2xy + x + 3y – 13 = 0 (2y + 1)(x + y + 1) = 14.
2y + 1 và x + y + 1 là các ước của 14.
Vì 2y + 1 là số lẻ nên ta có các trường hợp sau:
|
0, 5
|
|
TH 1: 2y + 1 = 1 và x + y + 1 = 14 (x, y) = (13, 0)
TH 2: 2y + 1 = -1 và x + y + 1 = - 14 (x, y) = (-14, -1)
|
0,25
|
|
TH 3: 2y + 1 = 7 và x + y + 1 = 2 (x, y) = (-2, 3)
TH 4: 2y + 1 = - 7 và x + y + 1 = - 2 (x, y) = (1, - 4)
|
0,25
|
|
2
|
Giải phương trình (1,5 điểm)
|
1,0
|
|
Điều kiện: 
Ta có  .
|
0,25
|
|
Do  , suy ra 
|
0,5
|
|
Thử lại  vào thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm .
|
0,25
|
|
III
|
|
Tìm GTLN …… (1,0 điểm)
|
1,0
|
|
|
|
Ta có :  a.b  (1). Dấu ‘=’ xảy ra khi a=b.
Đặt :  và 
|
0,25
|
|
Theo (1) ta có :  . Suy ra:
 
|
0,25
|
|
Ta có : 0  1
Do đó : 
|
0,25
|
|
Dấu “=” xảy ra 
|
0,25
|
|
IV
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
