Đề và đáp án HSG toán 9 huyện Nam Trực năm học 2015 - 2016

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

 ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NAM TRỰC

NĂM HỌC 2015 – 2016

MÔN TOÁN

(Thời gian làm bài 150 phút)

Đề thi gồm 01 trang

Câu

Nội dung

Điểm

1.

(2,0đ)

1,0

1,0

2.

(2,0đ)

=>

A = 7(-1)100 +(-1)50 +2016

A = 2024

1,0

1,0

Câu

Nội dung

Điểm

1.

(2,0đ)

Với x = 0 thì y = 2 hoặc y = -2

Với x= 1 thì y2 = 5 (loại)

Với x 2 thì VT chia 4 dư 3,

Vì VT  là số tự nhiên lẻ => y là số tự nhiên lẻ

=> VP chia 4 dư 1 => vô lí.

Vậy nghiệm tự nhiên của phương trình là (x,y) =(0;2)

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25

2.

(2,0đ)

Để phương trình có nghiệm thì :

0,25

0,5

0,5

Dễ dàng chứng minh được

0,5

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}

0,25

Câu

Nội dung

Điểm

3,0đ

Từ phương trình 2 tìm được x=2 và y=2

Thay vào phương trình 1 tìm được z = -2

1,0

1,0

1,0

Câu

Nội dung

Điểm

2,0đ

Vì x, y, z > 0 ta có:

Áp dụng BĐT Côsi đối với 2 số dương và ta được:

(1) . Tương tự ta có:

Cộng (1) + (2) + (3) ta được:

Dấu “=” xảy ra

Vậy min P = 1

0,5

0,5

0,5

0,25

02,5

Câu

Nội dung

Điểm

1.

(5,5 đ)

1a

(2,0đ)

I là trung điểm của BC ( dây BC không đi qua O ) => I thuộc đường tròn đường kính AO (1)

Ta có ( do AM là hai tiếp tuyến (O) ) => M thuộc đường tròn đường kính AO (2)

         ( do AN là hai tiếp tuyến (O) ) => N thuộc đường tròn đường kính AO (3)

=> 5 điểm A, M, N, O, I cùng thuộc đường tròn đường kính AO

Suy ra 4 điểm O, M, N, I cùng thuộc đường tròn đường kính OA

0,5

0,5

0,5

0,5

1,5đ

AM, AN là hai tiếp tuyến (O) cắt nhau tại A nên OA là tia phân giác mà ∆OMN cân tại O nên

∆AMO vuông tại M đường cao MH nên ta có AH.AO = AM2

∆AHK đồng dạng với ∆AIO ( vì và chung )

Suy ra   AK.AI = AH.AO

=> AK.AI = AM2

0,5

0,5

0,5

1b

(2,0đ)

Ta có M thuộc đường tròn (O) =>

Xét  ∆MHE và ∆QDM có ( cùng phụ với ), ( cùng phụ với )

    ∆MHE đồng dạng ∆QDM 

∆PMH đồng dạng với ∆MQH 

 ME = 2 MP   P là trung điểm ME.

1,0

0,5

0,5

(1,5 đ)

Kẻ 9 đường thẳng song song cách đều chia hình vuông  thành 10 hình chữ nhật có chiều rộng là 0,1m.

Vì đường kính của mỗi hình tròn lớn hơn 0,1m nên mỗi đường tròn bị ít nhất một trong 9 đường thẳng vừa kẻ cắt.

Nếu mỗi đường thẳng chỉ cắt không quá 6 đường tròn thì số đường tròn không quá 9.6=54 .

Vì có 55 đường tròn nên ít nhất phải có một đường thẳng cắt 7 đường tròn.

0,5

0,5

0,5