giải pháp hữu ích

GIAÛI PHAÙP HÖÕU ÍCH

REØN LUYEÄN KYÕ NAÊNG VAÄN DUÏNG

HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC

VAØO GIAÛI TOAÙN ÑAÏI SOÁ 8 & 9

A) ÑAËT VAÁN ÑEÀ:

 Toaùn hoïc coù moät vai troø raát quan troïng trong ñôøi soáng vaø caùc ngaønh khoa hoïc, laø chìa khoùa môû cöûa taïo neàn cho caùc ngaønh khoa hoïc khaùc, noù coù khaû naêng to lôùn trong vieäc phaùt trieån trí tueä cuûa hoïc sinh thoâng qua vieäc reøn luyeän caùc tö duy hình thaønh caùc kyõ naêng kyõ xaûo vaø phaùt huy tính tích cöïc trong hoïc taäp. Do ñoù noù ñoøi hoûi ôû ngöôøi thaày giaùo moät söï lao ñoäng ngheä thuaät saùng taïo, taïo ra nhöõng phöông phaùp ñeå daïy caùc em hoïc sinh giaûi caùc baøi toaùn laø nhieäm vuï trung taâm cuûa ngöôøi thaày daïy toaùn.

 Baûy haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù laø moät boä phaän cuûa phaân moân ñaïi soá 8 nhöng noù aùp duïng xuyeân suoát trong quaù trình hoïc töø lôùp 8 trôû leân. Töø ñoù neáu hoïc sinh khoâng naém ñöôïc phöông phaùp nhôù vaø vaän duïng thì vieäc hoïc thaønh vieäc hoïc “veït” khoâng vaän duïng ñöôïc trong giaûi toaùn .

 Qua nhöõng naêm thöïc teá giaûng daïy moân ñaïi soá 8, phaàn lôùn hoïc sinh hoïc thuoäc caùc haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù nhöng trong thöïc haønh veà chieàu roäng laãn chieàu saâu thì hoïc sinh khoâng vaän duïng ñöôïc ñeå ñi ñeán keát quaû nhö mong muoán. Phaàn traéc nghieäm khaùch quan, töï luaän veà thoâng hieåu vaø vaän duïng hoïc sinh ñaït keát quaû chöa cao.

Chính vì lyù do ñoù neân caàn ñònh höôùng hoïc sinh giaûi caùc baøi toaùn coù aùp duïng haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù nhaèm hình thaønh tö duy loâgic, khaû naêng toång hôïp phaân tích, tìm ra höôùng giaûi, ñònh höôùng ñuùng baøi toaùn nhaèm phaùt huy tính thoâng minh,saùng taïo cuûa hoïc sinh ñeå ñi ñeán keát quaû nhanh goïn maø ñaûm baûo tính chính xaùc, reøn luyeän khaû naêng vaän duïng trong thöïc teá moät caùch thoâng minh, nhanh nheïn. Loaïi boû nhöõng böôùc giaûi röôøm raø nhaèm taïo söï töï tin khi laøm toaùn. Laøm tieàn ñeà cho moân hoïc ñaïi soá, taïo caên baûn ñeå hoïc leân nhöõng lôùp treân, laøm cho caùc em töï tin hoïc moân toaùn cuõng nheï nhaøng nhö hoïc caùc moân khaùc.

 Vì vaäy ñeå giuùp hoïc sinh thích thuù say meâ hoïc daïng toaùn naøy,töø ñoù giuùp hoïc sinh hoïc toát moân ñaïi soá goùp phaàn naâng cao chaát löôïng moân toaùn.Toâi xin ñöa ra moät soá giaûi phaùp nhaèm giuùp caùc em coù phöông phaùp hoïc vaø laøm toaùn, naém ñöôïc caùc kieán thöùc cô baûn, caùch tö duy vaø phöông phaùp söû duïng linh hoaït caùc haèng ñaúng thöùc vaøo giaûi toaùn ôû moân ñaïi soá

lôùp 8 vaø lôùp 9. Töø ñoù taïo taïo ñieàu kieän ñeå hoïc sinh hoïc toát, lónh hoäi toát nhöõng kieán thöùc lieân quan sau naøy.

B) THÖÏC TRAÏNG VAØ NGUYEÂN NHAÂN:

1/ Thöïc traïng:

 +Vôùi yù nghóa vaø taàm quan troïng cuûa vieäc vaän duïng haèng ñaúng thöùc vaøo giaûi toaùn cuøng vôùi thöïc teá giaûng daïy, baûn thaân toâi nhaän thaáy raèng: Ñoái vôùi lôùp 8 khi hoïc xong caùc haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù haàu heát caùc em ñaõ ghi laïi ñöôïc noäi dung cuûa baûy haèng ñaúng thöùc nhöng khi cho caùc em laøm baøi taäp vaän duïng thì chæ coù moät soá hoïc sinh khaù gioûi môùi höùng thuù coøn laïi hoïc sinh trung bình, yeáu thì raát ngöôïng ngaäp, khoâng tìm ra lôøi giaûi, chöa chòu khoù suy nghó, chöùng toû kieán thöùc coøn mang tính nhoài nheùt thuï ñoäng, ñöùng tröôùc moät baøi toaùn töï mình giaûi coøn chöa coù nieàm tin. Beân caïnh ñoù coøn moät soá hoïc sinh chaùn naûn toû ra sôï moân toaùn moãi khi hoïc tieát toaùn. Ñoái vôùi lôùp 9 ña soá hoïc sinh hieän nay cuõng chöa hieåu vaø naém chaéc caùc haèng ñaúng thöùc ñeå coù theå vaän duïng linh hoaït vaøo giaûi caùc daïng toaùn. Keát quaû laø nhieàu baøi taäp phaàn caên thöùc baäc hai daïng khoâng laøm ñöôïc hoaëc giaûi sai.

 +Khaû  naêng nhaän daïng caùc haèng ñaúng thöùc vaø vaän duïng noù ñeå khai trieån caùc luõy thöøa, phaân tích cuaû hoïc sinh raát yeáu hoaëc neáu nhaän daïng nhöng trong quaù trình bieán ñoåi hoïc sinh coøn nhieàu sai soùt, nhaàm laãn vaø ñi ñeán keát quaû sai.

Ví duï:    (2x + 3y)2 =2x2 + 2.2x.3y + 3y2 ; sai laàm ôû ñaây:( 2x)2; ( 3y)2

 +Nhieàu hoïc sinh khoâng phaân bieät giöõa caùc haèng ñaúng thöùc nhö: “Bình phöông cuûa moät hieäu vaø hieäu hai bình  phöông ”, “toång hai laäp phöông vaø laäp phöông cuûa moät toång ”, cuõng nhö “Hieäu hai laäp  phöông vaø laäp phöông cuûa moät hieäu ”.

Ví duï: Khi khai trieån caùc haèng ñaúng thöùc thöôøng nhaàm laãn nhö sau:

a)     (x–3)2 = x2–32

b)     (x–3)3 = x3–33 

c)     (x+3)3 = x3+33

 +Beân caïnh ñoù nhieàu hoïc sinh hoång kieán thöùc veà thu goïn ña thöùc, khai trieån luõy thöøa neân khi vaän duïng khai trieån hoïc sinh khoâng tieáp tuïc thöïc hieän caùc pheùp tính tieáp theo laø luõy thöøa ñeå thu goïn.

Ví duï:Khi khai trieån (2x+y)2 = (2x)2 +2.2x.y+y2 hoïc sinh döøng laïi ôû ñaây.

2/ Nguyeân nhaân:

 Trong chöông trình caûi caùch saùch giaùo khoa hieän nay thì khoâng phaûi baát cöù ngöôøi hoïc naøo cuõng coù theå ñaùp öùng ñöôïc nhöõng yeâu caàu saùch ñöa ra, nhaát laø ñoái vôùi nhöõng ñoái töôïng laø hoïc sinh ôû vuøng saâu, vuøng xa, ôû ñòa phöông coù ñieàu kieän kinh teá khoù khaên

noùi chung vaø hoïc sinh tröôøng THCS Phöôùc Caùt 1 noùi rieâng. Ñòa baøn cö truù roäng, xa tröôøng kinh teá gia ñình khoâng oån ñònh, coøn khoù khaên neân ít nhieàu cuõng aûnh höôûng ñeán vieäc hoïc cuûa caùc em. Beân caïnh ñoù coøn nhieàu nguyeân nhaân khaùc nhö:

Ñoái vôùi hoïc sinh:

 +Do ñaëc thuø cuûa moân toaùn laø moät moân hoïc ñoøi hoûi hoïc sinh phaûi tö duy lieân tuïc, phaûi coù tính caàn cuø nhaãn naïi, hoïc phaûi ñi ñoâi vôùi haønh nhöng phaàn lôùn hoïc sinh khoâng ñaùp öùng ñöôïc yeâu caàu ñoù. Do ñoù nhieàu hoïc sinh bò maát caên baûn töø lôùp döôùi ñaëc bieät laø caùc pheùp toaùn nhaân chia caù luõy thöøa, thu goïn ña thöùc,….

 +Beân caïnh ñoù, moät soá hoïc sinh coøn ham chôi, löôøi hoïc, ngoài trong lôùp chöa taäp trung  coøn coù taâm lí chaùn naûn vaø sôï hoïc moân toaùn. Khi kieåm tra caùc em veà lí thuyeát thì coù veû nhö thuoäc vaø hieåu baøi nhöng khi yeâu caàu laøm baøi taäp vaän duïng thì raát luùng tuùng vaø khoù khaên khi trình baøy. Caùch hoïc cuûa caùc em laø nhoài nheùt, hoïc thuï ñoäng, hoïc ñeå choáng ñoái söï kieåm tra cuûa giaùo vieân.

Ñoái vôùi giaùo vieân:

 +Trong quaù trình giaûng daïy moät lôùp coù raát ñoâng hoïc sinh coäng vôùi thôøi gian haïn cheá neân khoù coù theå quan taâm ñeán töøng ñoái töôïng hoïc sinh, vaõ laïi soá hoïc sinh yeáu ôû moät lôùp quaù nhieàu.

 +Do trong quaù trình giaûng daïy giaùo vieân chöa tröôøng xuyeân quan taâm ñeán vieäc reøn luyeän kyõ naêng tính toaùn, nhaän daïng haèng ñaúûng thöùc cho hoïc sinh. Chöa ñöa ra moät phöông phaùp hoïc phuø hôïp vaø hieäu quaû cho hoïc sinh ñoái vôùi töøng ñôn vò kieán thöùc.

C) GIAÛI PHAÙP THÖÏC HIEÄN:

Xeùt thaáy thöïc traïng vaø nguyeân nhaân nhö treân,trong thôøi gian qua nhaèm naâng cao chaát löôïng giaûng daïy boä moân, toâi ñaõ söû duïng moät soá giaûi phaùp giuùp hoïc sinh reøn luyeän kyõ naêng vaän duïng haèng ñaúng thöùc vaøo giaûi toaùn nhö sau:

Xaây döïng heä thoáng caùc ví duï vaø baøi taäp töø deã ñeán khoù, baøi deã cho hoïc sinh trung bình, yeáu. Coøn ñoái vôùi baøi taäp khoù naâng cao duøng cho hoïc sinh khaù gioûi ñeå caùc ñoái töôïng ñoù khoâng caûm thaáy nhaøm chaùn, trong moãi daïng toaùn ñöa ra caùch nhaän daïng haèng ñaúng thöùc ñeå vaän duïng tìm ra lôøi giaûi thích hôïp nhaát.

I/ NHAÄN BIEÁT CAÙCH SÖÛ DUÏNG MOÄT CAÙCH NHANH NHEÏN CAÙC HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC:

1/ Giuùp hoïc sinh caùch nhaän daïng ñöôïc haèng ñaúng thöùc:

 Ñeå giuùp hoïc sinh reøn luyeän kyõ naêng vaän duïng haèng ñaúng thöùc vaøo giaûi toaùn, tröôùc heát giaùo vieân phaûi thöôøng xuyeân kieåm tra vieäc thuoäc coâng thöùc cuøng vôùi vieäc phaùt bieåu ñöôïc baèng lôøi

, hieåu roõ ñöôïc baûn chaát vaø phaûi naém ñöôïc moãi haèng ñaúng thöùc ñeàu coù hai chieàu bieán ñoåi.

a/ Ñoái vôùi “Bình phöông cuûa moät toång ”, “Bình phöông cuûa moät hieäu ” khi khai trieån veá phaûi laø moät ña thöùc 3 haïng töû ( moãi haïng töû coù baäc 2).

(A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2 vaø ngöôïc laïi A2 + 2.A.B + B2  =(A + B)2 

(A – B)2 = A2– 2.A.B + B2 vaø ngöôïc laïi A2–2.A.B + B2  =(A – B)2 

b/ Ñoái vôùi “Hieäu hai bình phöông”thì veá traùi laø bình phöông bieåu thöùc thöù nhaát tröø bình phöông bieåu thöùc thöù hai coøn veá phaûi laø tích cuûa toång vaø hieäu hai bieåu thöùc ñoù.

A2– B2 =(A – B).(A + B) vaø ngöôïc laïi (A – B).(A + B)  = A2 – B2

c/ Ñoái vôùi “Laäp phöông cuûa moät toång ”, “Laäp phöông cuûa moät hieäu ” khi khai trieån veá phaûi laø moät ña thöùc 4 haïng töû ( moãi haïng töû coù baäc 3).

(A +B)3=A3+3.A2.B+3.A.B2+B3 vaø ngöôïc laïi A3+3.A2.B+3.A.B2+B3 =(A+B)3 

(A–B)3=A3–3.A2.B+3.A.B2–B3 vaø ngöôïc laïi A3–3.A2.B+3.A.B2–B3 =(A–B)3 

d/ Coøn ñoái vôùi “Toång hai laäp phöông ”vaø “Hieäu hai laäp phöông ” thì veá coøn laïi laø tích hai ña thöùc (moät ña thöùc 2 haïng töû vaø moät ña thöùc 3 haïng töû ).

A3+B3= (A+B).(A2–A.B+B2) vaø ngöôïc laïi (A+B).(A2–A.B+B2) = A3+B3  

A3–B3= (A–B).(A2+A.B+B2) vaø ngöôïc laïi (A–B).(A2+A.B+B2) = A3–B3 

2/ Giuùp hoïc sinh nhaän bieát caùch söû duïng moät caùch nhanh nheïn baûy haèng ñaúng thöùc:

Trong hoaït ñoäng daïy hoïc theo phöông phaùp ñoåi môùi, giaùo vieân chuyeån töø thoùi quen hoïc taäp thuï ñoäng sang töï hoïc chuû ñoäng. Muoán vaäy, giaùo vieân caàn truyeàn thuï cho hoïc sinh nhöõng tri thöùc phöông phaùp ñeå hoïc sinh bieát caùch hoïc, bieát caùch suy luaän, bieát caùch tìm laïi nhöõng ñieàu ñaõ queân, bieát caùch tìm toøi ñeå phaùt hieän kieán thöùc môùi.Trong phaân moân ñaïi soá thöôøng duøng nhöõng quy taéc, phöông phaùp coù tính chaát thuaät toaùn. Tuy nhieân cuõng caàn coi troïng caùc phöông phaùp coù tính chaát tieân ñoaùn. Hoïc sinh caàn reøn luyeän caùc thao taùc tö duy: phaân tích, toång hôïp, ñaëc bieät hoùa, khaùi quaùt hoùa, töông töï, quay laï veà quen,….vieäc naém vöõng caùc tri thöùc, phöông phaùp noùi treân taïo ñieàu kieän cho hoïc sinh töï ñoïc hieåu ñöôïc taøi lieäu, töï laøm ñöôïc baøi taäp, naém vöõng vaø hieåu saâu kieán thöùc  cô baûn ñoàng thôøi phaùt huy ñöôïc tìm naêng saùng taïo cuûa hoïc sinh.

2.1/ Tröôùc khi aùp duïng caùc haèng ñaúng thöùc vaøo giaûi caùc daïng toaùn caàn cuûng coá, oân laïi caùc haèng ñaúng thöùc moät caùch lieân tuïc thöôøng xuyeân coù heä thoáng.

Víduï1:Hoaøn thieän caùc haèng ñaúng thöùc sau:

a/ (? + B)2 = A2 + 2.A.? + B2

b/ (A – ? )2 = A2 –?+B2 

c/ A2–?2= (A+B).(? –B)

d/ (A + B)3 = ?3 + ? +3.A.B2 +  ?3

e/ (A – ?)3 = A3–3.A2.B+?– B3

f/ ?3 + B3= (A + B).(?2–? + B2)

g/ A3–?3 = (?–B).(A2 + ? + B2)

Sau khi hoïc sinh hoaøn thieän ví duï, giaùo vieân cho hoïc sinh vaän duïng ôû möùc khoù hôn.

Ví duï 2: Ñieàn vaøo daáu ?

 a/ (? + ?)2 = x2 + ? + 4y2 

 Muoán ñieàn vaøo ? ñeå x2 + ? + 4y2  thaønh bình phöông cuûa moät toång thì x2+?+4y2 phaûi coù daïng   A2+2.A.B+B2 .

Ta thaáy ôû ñaây A2 = x2  hay A = x

    B2 = 4y2 = (2y)2 hay B = 2y

Suy ra ta phaûi ñieàn theâm vaøo ? treân laø: 2.A.B = 2.x.2y = 4xy

Do ñoù ta coù: (x+2y)2 = x2 + 4xy + 4y2 

Töông töï cho hoïc sinh nhaän bieát caùc baøi taäp:

 b/ (?–?)2=a2– 6ab +?

 c/ (? + ?)2 = ? + m +

 d/ ? – 16y4 = (x + ?).(x – ? )

 e/ 25x2–? = (?+3b).(? –3b)

2.2/ Khi giaûi baøi taäp ngoaøi vieäc hoïc thuoäc caùc haèngñaúng thöùc,caùc em caàn chuù yù ñeán caùc giaù trò, chaúng haïn: (A + B)2 = A2+2.A.B+B2 trong ñoù A,B laø moät bieåu thöùc chöù khoâng nghó ñôn thuaàn laø moät soá hay moät bieán.

Ví duï3: Tính

 a/ 1132 – 132 = (113 + 13).(113 – 13) = 126.100 = 12.600

 b/ 9502 – 8502 = (950 + 850).(950 – 850 ) = 1800.100 = 180.000

 c/Q = (x + 3)2– 2.(x + 3).( x – 7 ) + (x – 7 )2 vôùi x = 3.75

Giaùo vieân höôùng daãn hoïc sinh nhìn toång quaùt sa vaøo chi tieát,ta thaáy bieåu thöùc coù daïng: Bình phöông bieåu thöùc thöù nhaát coäng bình phöông bieåu thöùc thöù hai tröø tích hai laàn hai bieåu thöùc ñoù, ta nhaän thaáy A = x + 3 vaø B = x – 7 .

Q= [(x + 3 ) – ( x – 7 )]2  = (x + 3 – x + 7)2 = 102 = 100.

Nhö vaäy thaáy roõ vaán ñeà cuûa bieåu thöùc thì hoïc sinh thöïc hieän giaûi baøi taäp moät caùch nheï nhaøng hôn.

Ví duï 4: Tìm choã sai trong pheùp khai trieån caùc haèng ñaúng thöùc sau:

 a/ (x + 2y)2  = x2 + 2.xy + 2y2

 b/ (5 – x )2  = 52 – x2

 c/ (2x + 3y)2 = 2x2 + 2.2x.3y + 3y2 = 4x2 + 12xy + 9y2

Ví duï 5:Trong caùc khaúng ñònh sau khaúng ñònh naøo ñuùng :

 a/ (3x – 1 )2  = (1 – 3 x)2

 b/ (x – 2 )3  =  (2 – x )3

 c/ (x + 1)3  = (1 + x )3

 d/ x2 – 1  = 1 –  x 2  

 e/ (x – 2 )2  = x2 – 2 x + 4

3/ Laøm theá naøo ñeå hoïc sinh traùnh ñöôïc nhöõng loãi cô baûn khi vaän duïng haèng ñaúng thöùc vaøo giaûi toaùn?

Ngay sau khi hoïc xong hai haèng ñaúng thöùc: Bình phöông cuûa moät toång, bình phöông cuûa moät hieäu. Toâi cho moät hoïc sinh (trung bình khaù) leân baûng laøm baøi taäp sau:

Baøi taäp:

a/ Vieát coâng thöùc bình phöông moät toång hai bieåu thöùc ?

b/ Khai trieån: (x + 1)2 ; (2x + 3y)2

Keát quaû thöïc hieän nhö sau:

 a/ (A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2

 b/ (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

      (2x + 3y)2 = 2x2 + 12xy + 3y2

 Ñieàu ñoù chöùng choû raèng caùc bieåu thöùc A, B trong haèng ñaúng thöùc laø moät soá hoaëc chæ goàm moät bieán thì caùc em deã daøng vaän duïng ñöôïc haèng ñaúng thöùc  vaøo baøi taäp. Tuy nhieân khi A, B laø caùc bieåu thöùc phöùc taïp hôn thì caùc em laïi hay maéc phaûi nhöõng sai laàm nhö baøi taäp treân. Vaäy laøm theá naøo ñeå caùc em haïn cheá toái ña ñöôïc nhöõng sai laàm treân?

Tröôùc heát toâi löu yù caùc em phaûi söû duïng daáu ngoaëc vaø luõy thöøa cuûa caû bieåu thöùc ñoù hoaëc ta coù theå vieát haèng ñaúng thöùc ñoù döôùi daïng:

                        (            +  )2 =  2  +2   + 2 

Ví duï1:

                  (                +      + )2    =                 2  +    2. .   +               2

                                                         = 4x2 +12xy+9y2

 Sau khi höôùng daãn toâi yeâu caàu moät hoïc sinh ñöùng taïi choã  söûa choã sai ôû baøi laøm cuûa baïn, keát quaû:

(2x+3y)2 = (2x)2 + 12xy + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2

 Qua tieát hoïc ñoù, phaàn lôùn caùc em ñaõ vaän duïng vaøo laøm ñöôïc baøi taäp khai trieån luõy thöøa vaø coøn vaän duïng vaøo caùc haèng ñaúng thöùc tieáp theo.

 Ví duï2: Khai trieån (2x + 3y)3 ?

 Keát quaû: (2x + 3y)3 = (2x)3 + 3.(2x)2 .3y + 3.2x.(3y)2 +  (3y)3

    = 8x3 +  36x2y + 54xy2 +  27y3

II/CAÙC DAÏNG TOAÙN LIEÂN QUAN ÑEÁN VAÄN DUÏNG HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC VAØO GIAÛI TOAÙN ÑAÏI SOÁ 8& 9.

1/ Thoâng hieåu, naém vöõng haèng ñaúng thöùc ñeå giaûi caùc baøi taäp ôû SGK:

 1.1 /Duøng haèng ñaúng thöùc ñeå thöïc hieän nhanh pheùp nhaân caùc ña thöùc:

 Trong caùc daïng toaùn nhaân ña thöùc vôùi ña thöùc thöông hay vaän duïng haèng ñaúng thöùc nhaèm muïc ñích coù keát quaû nhanh goïn vaø ñoä chính xaùc cao,…

Ví duï 1: Thöïc hieän caùc pheùp nhaân sau:

a/ (x – 2 ).(x + 2 )

b/ (3x + y ).(3x – y )

c/ (x + 3 ).(x2 – 3 x + 9 )

d/ (2 – 3 x).(4 + 6x + 9x2)

Ñeå laøm daïng toaùn naøy thöôøng vaän duïng chuû yeáu 3 haèng ñaúng thöùc sau:

(A + B).(A –  B)  =A2 – B2

(A + B).(A2 – A .B + B2) = A3 + B3  

(A – B ).(A2 + A.B + B2) = A3 – B3 

Giaùo vieân höôùng daãn hoïc sinh nhìn vaøo pheùp nhaân hai ña thöùc :

+Neáu hai ña thöùc ñeàu coù hai haïng töû, moät ña thöùc coù daïng toång, moät ña thöùc coù daïng hieäu, ta duøng haèng ñaúng thöùc (A + B).(A – B)  =A2 – B2 .

Chaúng haïn: b/ (3x + y).(3x – y )

Pheùp nhaân (3x + y).(3x – y) coù daïng (A + B ).(A – B ) neân ta thaáy A = 3x vaø B= y

Do ñoù :   (3x + y).(3x – y ) = (3x)2  –  y 2 = 9x2 – y2

+Neáu ña thöùc thöù nhaát coù daïng toång hai haïng töû, ña thöùc thöù hai coù daïng bình phöông thieáu cuûa hieäu hai haïng töû treân, ta duøng: (A + B).(A2 – A .B + B2) = A3+B3   . Chaúng haïn: c/ (x + 3).(x2 – 3 x + 9)

Ta thaáy (x + 3).(x2 – 3 x + 9 ) = (x + 3 ).(x2 – 3.x + 32) coù daïng

(A + B).(A2 – A .B + B2)   suy ra:A = x ; B = 3

Do ñoù : (x + 3 ).(x2 – 3 x + 9) = x3 + 33 = x3+ 27

+Neáu ña thöùc thöù nhaát coù hieäu vaø ña thöùc thöù hai coù daïng bình phöông  thieáu cuûa toång hai haïng töû cuûa ña thöùc thöù nhaát, ta duøng:

(A – B ).(A2 + A.B +B2) = A3 – B 3 

1.2/Duøng haèng ñaêûng thöùc ñeå tính nhaåm tính nhanh giaù trò bieåu thöùc:

Trong quaù trình tính toaùn, giaûi baøi taäp vieäc tính nhaåm caùc con soá, tính nhanh raát caàn thieát nhaèm giuùp hoïc sinh töï tin vaø ruùt ngaén thôøi gian laøm baøi taäp.

Ví duï1: Tính nhaåm bình phöông cuûa soá töï nhieân coù taän cuøng baèng chöõ soá 5( Baøi 17/11SGK T8)

Sau  khi chöùng minh xong ñaúng thöùc: ( 10a + 5 )2  = 100a.(a + 1) + 25

Ta goïi soá töï nhieân coù taän cuøng baèng chöõ soá 5 laø: a5 = 10a + 5.Do ñoù ñeå tính (a5)2 Ta tính tích 100a.(a + 1) roài coäng theâm 25.

Töùc laø: ta laáy soá chuïc laø a nhaân vôùi soá lôùn hôn noù 1 ñôn vò laø (a+1) roài vieát theâm 25 vaøo beân phaûi keát quaû treân. Chaúng haïn: Tính 252 =? , Ta tính tích a.(a + 1) = 2(2 + 1 ) = 2.3 = 6, roài vieát theâm 25 vaøo beân phaûi cuûa 6, ta ñöôïc 252 = 625.

Töông töï: 652 = 4225 ; 952 = 9025,…

Ví duï2:Tính nhanh:

 a/ 1012

 b/ 1992

 c/  97.103

Ñeå tính nhanh bình phöông cuûa moät soá, ta vaän duïng hai haèng ñaúng thöùc ñaàu tieân.Ta vieát moãi soá caàn tính döôùi daïng moät toång hoaëc moät hieäu cuûa 2 soá trong ñoù trong ñoù phaûi coù moät soá troøn traêm, troøn chuïc.

Chaúng haïn: 1012 = (100+1)2 =? ; 1992 = (200 – 1 )2 = ?

Ñeå tính nhanh tích hai soá, ta vieát moät soá döôùi daïng toång hai soá, moät soá döôùi daïng hieäu hai soá, ñeå laøm ñöôïc ñieàu ñoù ta tìm soá ôû giöõa  hai soá caàn tính roài bieán ñoåi nhö treân vaø aùp duïng haèng ñaúng thöùc (A + B).(A – B)  =A2 – B 2 .

Chaúng haïn: 97.103 = (100 – 3 ).(100 + 3 )  = ?

Ví duï 3: Tính nhanh giaù trò bieåu thöùc:

 a/ 342  + 662 + 2.34.66

 b/ 742 + 242 –  48.74

 c/ x2 + 4x + 4 taïi x = 998

 d/ x3 + 3x2 + 3x + 1 taïi x = 999

Giaùo vieân höôùng daãn hoïc sinh nhaän daïng töøng bieåu thöùc ñeå vaän duïng haèng ñaúng thöùc thích hôïp.

Ta thaáy bieåu thöùc ôû caâu a coù daïng : bình phöông soá thöù nhaát coäng bình phöông soá thöù hai coäng hai laàn tích hai soá ñoù neân gioáng moät veá cuûa haèng ñaúng thöùc “Bình phöông cuûa moät toång ”.

ÔÛ ñaây A = 34; B = 66, do ñoù: 342 + 662+ 2.34.66 = (34 + 66)2 = 1002 = 10.000

Coøn caâu b cuõng coù daïng nhö caâu a nhöng tröø hai laàn tích hai soá ñoù.

Ta thaáy 48.74 = 2.24.74 do ñoù: 742 + 242 – 48.74 = (74 – 24)2 = 502 = 2500

Ñoái vôùi caâu c, d giaùo vieân höôùng hoïc sinh phaân tích:

Caâu c: A2 = x2 neân A = x ;B2 = 4 neân B = 2 vaø 2AB = 2.x.2 = 4x

 Do ñoù x2 + 4x + 4 = (x + 2 )2

Taïi x = 998  thì giaù trò bieåu thöùc laø  (998 + 2)2 = 10002  = 1000.000

Caâu d: A3 = x3 neân A = x ; B3 = 1 neân B = 1 vaø 3A2B = 3.x2.1 = 3x2 ;3AB2 = 3.x.12= 3x  Do ñoù: x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1 )3 , taïi x = 999 thì gía trò  bieåu thöùc laø (999 + 1)3 = 10003 = 1000.000

1.3/ Duøng haèng ñaêûng thöùc ñeå khai trieån luõy thöøa cuûa moät bieåu thöùc:

Ñeå cuûng coá laïi caùc haèng ñaúng thöùc , giuùp hoïc sinh töï tin hôn khi giaûi caùc daïng toaùn lieân quan ñeán khai trieån luõy thöøa,taïo tieàn ñeà cho caùc em giaûi caùc daïng toaùn naâng cao.

Ví duï : Khai trieån caùc luõy thöøa sau:

a/ (x + 2y )2

 b/ (2x – 3 y )2

 c/ (x - )2

 d/ (x + 3 )3

 e/ (5x – 1 )3

 f/ (x + y + z )2

Giaùo vieân höôùng daãn hoïc sinh nhaän bieát bieåu thöùc caàn khai trieån thuoäc moät veá cuûa haèng ñaúng thöùc naøo vaø phaûi xaùc ñònh ñöôïc bieåu thöùc naøo töông öùng vôùi A, B trong coâng thöùc cuûa haèng ñaúng thöùc, sau ñoù thay bieåu thöùc ñoù bôõi A, B ôû veá coøn laïi roài tính.(löu yù: luõy thöøa cuûa ñôn thöùc coù heä soá khaùc 1 vaø ña thöùc thì phaûi cho vaøo trong ngoaëc).Chaúng haïn:

  Trieån khai  (x + 2y )2 = ? Coù daïng (A + B )2  suy ra A = x; B = 2y.

Do ñoù         (x + 2y )2 = x2 + 2.x.2y + (2y)2 = …

Ñoái vôùi (x + y + z )2 ,ta xem A = x  + y , B = z hoaëc A = x , B = y + z

Khi ñoù: (x + y + z )2 = [(x + y)+z]2= (x+y)2+2.(x+y).z+z2 =x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz

Töông töï nhö treân ta coù theå trieån khai luõy thöøa cuûa moät ña thöùc goàm nhieàu haïng töû

1.4/ Vaän duïng haèng ñaúng thöùc ñeå ruùt goïn bieåu thöùc:

Ñeå ruùt goïn moät bieåu thöùc ta vaän duïng caùc quy taéc ñaõ hoïc ñeå thöïc hieän thöù töï caùc pheùp tính nhöng neáu bieåu thöùc caàn ruùt goïn coù daïng coù daïng moät veá cuûa haèng ñaúng thöùc thì neân vaän duïng haèng ñaúng thöùc  ñeå coù keát quaû nhanh goïn vaø ñoä chính xaùc cao.

Ví duï: Ruùt goïn bieåu thöùc sau (Baøi 34,78/33 SGK T8)

 a/ (x+y+z)2-2.(x+y+z)(x+y)+(x+y)2

 b/ (2x+1)2 +(3x-1)2 +2.(2x+1).(3x-1)

Giaùo vieân höôùng daãn hoïc sinh nhìn toång quaùt sa vaøo chi tieát,ta thaáy neáu ñaët A=x+y+z vaø B=x+y thì

Bieåu thöùc ñaõ cho coù daïng  A2 - 2.A.B + B2 neân keát quaû laø (A-B)2

Do ñoù: a/ (x+y+z)2-2.(x+y+z)(x+y)+(x+y)2 =[(x+y+z)-(x+y)]2= (x+y+z+-x-y)2 = z2

Töông töï ôû caâu b neáu ñaët A = 2x + 1 vaø B =3x – 1  thì bieåu thöùc ñaõ cho coù daïng  A2 + B2 + 2.A.B neân keát quaû laø (A + B )2

1.5/ Vaän duïng haèng ñaúng thöùc ñeå phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû:

Ñeå laøm ñöôïc daïng toaùn naøy caàn cho hoïc sinh hieåu theá naøo laø phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû ( laø bieán ñoåi ña thöùc thaønh moät tích cuûa nhieàu ña thöùc khaùc.

Tröôùc heát giaùo vieân chuaån bò baûng phuï vieát saün moät veá cuûa haèng ñaúng thöùc vaø yeâu caàu hoïc sinh ñieàn veá coøn laïi:

A2 + 2.A.B + B2  = .....

A2  – 2 .A.B + B2  =.....

A2 – B2 = ............. 

A3 + 3.A2.B + 3.A.B2 + B3 =  .........  

A3 – 3.A2.B + 3.A.B2– B3  =.......... 

A3 + B3 = ..................

A3 – B3 = ..................

 Qua baøi ñieàn khuyeát giuùp caùc linh hoaït khi bieán ñoåi hai veá hai veá cuûa haèng ñaúng thöùc vaø vaän duïng thaønh thaïo haèng ñaúng thöùc vaøo phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû.

Ñeå laøm thaønh thaïo daïng toaùn naøy giaùo vieân höôùng daãn cho hoïc sinh caùch nhaän daïng ña thöùc caàn phaân tích veà:

+ Baäc cuûa ña thöùc

+Soá haïng töû cuûa ña thöùc ( daáu cuûa caùc haïng töû).

Chaúng haïn:

+Neáu ña thöùc baäc 2 vaø soá haïng töû laø 3 thì ta lieân heä ñeán hai haèng ñaúng thöùc  ñaàu tieân

+ Neáu ña thöùc baäc 2 vaø soá haïng töû laø  thì ta lieân heä ñeán haèng ñaúng thöùc  thöù ba

+ Neáu ña thöùc baäc 3 vaø soá haïng töû laø 4 thì ta lieân heä ñeán haèng ñaúng thöùc thöù tö vaø naêm

+ Neáu ña thöùc baäc 3 vaø soá haïng töû laø 2 thì ta lieân heä ñeán hai haèng ñaúng thöùc cuoái

Löu yù: Khi nhaän döôïc ña thöùc thuoäc haèng ñaúng thöùc naøo, ta tìm trong ña thöùc ñoù hai haïng töû coù daïng bình phöông hoaëc laäp phöông ñeå xaùc ñònh hai bieåu thöùc töông öùng vôùi hai bieåu thöùc A, B trong coâng thöùc cuûa haèng ñaúng thöùc.

Ví duï:Phaân tích caùc ña thöùc sau thaønh nhaân töû:

a/ x2+4x+4

b/ x2-6x+9

c/ 4x2-4x+1

d/ x2 -25

e/ 16x2- 1

f/ x3+9x2+27x+27

g/ x3-3x2+3x -1

h/ x3+8

k/ 27x3 –y3

Höôùng daãn:

Ta thaáy, bieåu thöùc x2 + 4x + 4 laø ña thöùc baäc 2, ba haïng töû neân coù daïng moät veá haèng ñaúng thöùc thöù nhaát A2 +2.A.B + B2, trong ñoù A2 = x2 neân A = x ;

B2 = 4 = 22 neân B = 2 vaø 2AB = 2.x.2 = 4x. Do ñoù x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 , Töông töï cho caâu b, c

Ñoái vôùi caâu e/ 16x2– 1 laø ña thöùc baäc 2, hai haïng töû neân coù daïng moät veá haèng ñaúng thöùc thöù ba A2 – B2  , trong ñoù A2 =16x2 = (4x)2  neân A = 4x ; B2 = 1  neân B = 1 Do ñoù16x2 –1 = (4x + 1).(4x – 1 )

Ñoái vôùi caâu k/ 27x3 – y3 laø ña thöùc baäc 3, hai haïng töû neân coù daïng moät veá haèng ñaúng thöùc thöù baûy A3 – B3 , trong ñoù A3  = 27x3 = (3x)3  neân A = 3x ; B3 = y3  neân B = y

Do ñoù: 27x3 – y3=(3x – y )(9x2 + 3 xy + 9), töông töï cho caâu h

Ñoái vôùi caâu f/ x3 + 9x2 + 27x + 27 laø ña thöùc baäc 3, boán haïng töû neân coù daïng moät veá haèng ñaúng thöùc thöù tö  A3 +3.A2.B + 3.A.B2 +B3, trong ñoù A3 = x3neân A = x ; B3 = 27 = 33  neân B = 3  vaø3A2.B = 3.x23 = 9x2 ; vaø3A.B2 = 3.x32 = 27x  Do ñoù x3 + 9x2 + 27x + 27 = (x + 3)3 , töông töï cho caâu g

1.6/ Vaän duïng haèng ñaúng thöùc ñeå thöïc hieän pheùp chia:

Ví duï: Thöïc hieän pheùp chia (baøi 68/31 SGK toaùn 8)

a/ ( x2 + 2xy + y2 ): (x + y )

b/ (125x3 + 1 )  : (5x + 1 )

c/ ( x2 – 2 xy + y2) : (y – x )

d/( 4x2 – 9 y2) : (2x – 3 y )

Phöông phaùp giaûi: Phaân tích ña thöùc bò chia thaønh nhaân töû, khi ñoù xuaát hieän nhaân töû laø ña thöùc chia. Cuïï theå:

 a/ ( x2 + 2xy + y2): (x + y) = (x + y)2 : (x + y) = (x + y)

b/ (125x3 + 1)  : (5x  + 1) = (5x + 1). (25x2  –5 x + 1) : (5x + 1) = ( 25x2 –5x +1)

c/ ( x2 – 2 xy + y2) : (y – x ) = (y – x )2: ( y – x ) = (y – x )

d/( 4x2 – 9 y2): (2x – 3 y ) = (2x – 3 y) .(2x + 3y ) :(2x – 3 y ) = (2x  + 3y)

1.7/ Vaän duïng haèng ñaúng thöùc ñeå tìm  x trong ñaúng thöùc:

Neáu ñaúng thöùc chöùa x coù veá phaûi baèng 0, ta cuõng phaân tích ña thöùc ôû veá traùi thaønh nhaân töû roài ñöa veà daïng phöông trình tích (vaän duïng kieán thöùc moät tích caùc nhaân töû baèng 0 khi moät trong caùc nhaân töû ñoù baèng 0). Cuï theå:Tìm x bieát:

a/ ( x2-2x+1) = 0

( x-1) 2      = 0

 x-1           = 0

 x              = 1

b/ 64x2  - 49  = 0

(8x – 7 )(8x + 7 ) = 0

8x – 7 = 0 hoaëc 8x + 7  = 0

 hoaëc