Giải & phát triển bài toán Napoleon 2

Giải và phát triển “Bài toán Napoleon 2”

I.-Bài toán 2 của Napoleon ( gốc )

Liền kề bên ngoài tam giác ABC, người ta vẽ 3 tam giác đều có độ dài cạnh lần lượt là 3 cạnh AB, BC và CD của tam giác ABC.\ (Hình A)

Chứng minh trọng tâm O1, O2, O3  của 3 tam giác đều (màu vàng) là 3 đỉnh của một tam giác đều ( màu dỏ)

Bài Giải

Đến nay NST đã có 3 cách giải như sau

Cách 1 (Theo Napoleon là cách sáng sủa hơn, dễ hiểu hơn)

II.-Bài toán Napoleon mở rộng

Bài toán mở rộng thay các tam giác liền kề 3 cạnh của tam giác bằng 3 hình vuông:

“ Nếu xây dựng 3 hình vuông liền kề phía ngoài 3 cạnh của một tam giác thì tâm của 3 hình vuông này tạo thành một tam giác đều”.

Hình bên

-Bài toán đã được chứng minh và coi như một định lí. ( Với hình ban đầu là tam giác)

-Vậy định lý trên có thể tổng quát cho trường hợp tứ giác bất kỳ hay không?

Người ta đã chứng minh răng định lý Napoleon chỉ có thể mở rộng cho một trường hợp hẹp hơn, đó là hình bình hành.

Định lý Napoleon mở rộng như sau:

Trên các cạnhh của một hình bình hành về phía ngoài xây dựng 4 hình vuông với cạnh là cạnh của hình bình hành. Khi đó tâm của các hình vuông này sẽ tạo thành một hình vuông.

Định lí Naponeon mở rộng

IV.- Bài toán ngược “bài toán Napoléon”

Cho tam giác ABC vẽ theo chiều dương, Dựng về phía ngoài tam giác này 3 tam giác (MAB, NBC, PAC) lần lượt tại M,N,P với các góc nhọn ở đỉnh tương ứng là ,     ,    sao cho:

                                                +     +    =  

  Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp của ba tam giác này lần lượt tại I,J,K.
a) Cho   =    =     , chứng tỏ rằng AN=BP=CM
b) Cho  biết tam giác LỊK đều, hãy tính các góc ,    ,    = ?

Gợi ý: a/ bằng phép quay hình; b/ Khi LIK đều   =  =   = /3 = 600

V.-Thông tin bổ sung

1/ Napoleon sinh ngày 15/08/1769 tại Ajaccio, trên hòn đảo Corsica (từng là của Ý, sau này được chính quyền Genoa bán lại cho nước Pháp). Napoleon thủa nhỏ là một HS nhạy cảm, cô đơn và thường bị các bạn cùng lớp bắt nạt.

Vào năm 1784, Napoleon được chọn vào Học viện Quân sự Paris, theo binh chủng Pháo Binh. Đây là trường huấn luyện các sĩ quan pháo binh trẻ. Ông tiếp tục học hỏi bằng cách tìm đọc rất nhiều tài liệu về chiến thuật cũng như chiến lược, nghiên cứu các tác phẩm của Voltaire và Rousseau và ông cũng tự viết nên những câu chuyện của riêng ông.của ông.

Về sau người ta kể nhiều truyện về Ông, có những truyện như giai thoại, kể cả những bài toán hay như trên đây không loại trừ là “giai thoại”

2/ Bài toán Napoléon 1  *

Ngoài những chiến công trên chiến trường, Napoléon cũng là một nhà nghiên cứu toán học khá xuất sắc. Trong đó ông có nghiên cứu cách " Dựng tâm của một đường tròn chỉ bằng compa". Đó là một bài toán do Napoléon Bonaparte đưa ra

Bài toán Napoleon là một bài toán khá hay. Bài toán này có thể giải bằng phương pháp sử dụng phép biến hình. Và sử dụng phép biến hình ta cũng có thể suy ra nhiều bài toán khá thú vị từ bài toán này.

*  “Bài toán Napoléon 1” đã có 1 bài đưa cũng trên trang Violet này

(cùng trang này có tst thêm 4 bài liên quan ĐL Napoleon 2 )

ST & biên soạn tổng hợp Ph Huy Hoạt  -  26/1/2013