Bài 4: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Gọi I là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (I≠B, C). Tiếp tuyến tại I của đương tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại E, F.
a) Chứng minh: BE + CF = EF
b) Chứng minh góc IOE bằng nửa góc IOB; góc FOE bằng nửa góc COB
c) Các đường thẳng OE và CI cắt nhau tại M, các đường thẳng OF và BI cắt nhau tại N. Chứng minh OE vuông góc với BI và EF // MN.
d) Chứng minh tứ giác AMIN là hình bình hành.
Hướng dẫn:
|
Câu
|
Ý
|
Nội dung
|
Biểu điểm
|
Ghi chú
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a
|
Chứng minh được BE = EI; CF = FI
Có EF = EI + IF suy ra BE + CF = EF
|
|
|
|
|
b
|
Chứng minh được ∆OIE = ∆OBE (c.c.c)
Suy ra góc IOE bằng góc BOE mà góc IOE + góc BOE bằng góc BOI suy ra góc IOE bằng nửa góc IOB
Chứng minh tương tự ta có FOI bằng nửa góc COI
Mà Góc BOC bằng góc BOI cộng góc IOC; góc EOF bằng tổng góc EOI cộng góc IOF suy ra góc EOF bằng nửa góc BOC.
|
|
|
|
|
c
|
Chứng minh được OE là trung trực của BI suy ra OEBI
Tương tự có OFCI
Suy ra NIOM; MION I là trực tâm của ∆MNO
OI MN. Lại có OI EF EF // MN
|
|
|
|
|
d
|
Chứng minh được góc ACN = góc NIF = góc EIB = góc ABN suy ra tứ giác MACB nội tiếp
Tương tự chứng minh được tứ giác NABC nội tiếp
Suy ra 5 điểm M, N, A, B, C cùng thuộc 1 đường tròn.
Suy ra góc MAB = góc MCB mà góc MCB = góc ABI suy ra góc MAB = góc ABN suy ra MA // NI
Tương tự chứng minh được AN // MI suy ra tứ giác AMIN là hình bình hành.
|
|
|
