ĐI TÌM LỜI GIẢI
Bài toán 1. (Đề thi học kì 2 lớp 10 tỉnh Bắc Ninh năm học 2012-2013) Cho ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Phân tích 1. Ta thấy vai trò của bình đẳng và khác vai trò của nên ta dự đoán đạt giá trị nhỏ nhất khi Khi đó
Suy ra Ta tìm điều kiện của để phương trình (1) ẩn có nghiệm. Nếu thì (1) có nghiệm . Nếu thì (1) có nghiệm khi Do đó (1) có nghiệm khi Nhưng nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của là
Phân tích 2. Giả sử giá trị nhỏ nhất của là tức là Ta biến đổi
Ta sẽ tìm để trở thành bình phương của một biểu thức, muốn vậy ta sẽ chọn sao cho Vì nên Vì thế ta dự đoán
Phân tích 3. Áp dụng bất đẳng thức ta có
=
Ta sẽ chọn số sao cho Do đó
Như vậy
Phân tích 4. Với , ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy
Ta sẽ chọn sao cho hệ số của ở vế phải của (3) tương ứng tỉ lệ với hệ số của trong biểu thức dưới mẫu của tức là và được
Phân tích 5. Rõ ràng là biểu thuần nhất đối với Do đó, để tìm giá trị nhỏ nhất của thì trước hết ta sẽ xét các thỏa mãn Khi đó Ta thấy vai trò của bình đẳng nên có thể đặt Suy ra hay Vì nên suy ra Ta có
Do đó ta dự đoán
Từ những phân tích trên đây, chúng ta đưa ra một số cách giải quyết Bài toán 1.
Lời giải 1. Do ta thấy tương đương với
Xét ta thức bậc hai ẩn (coi là tham số)
có biệt thức
nên suy ra Vì thế với mọi Đẳng thức xảy ra khi
Vậy đạt được khi
Lời giải 2. Với mọi số thực ta có
Vì (4) đúng với mọi nên (5) đúng với mọi . Đẳng thức ở (5) xảy ra khi Với thì từ (5) ta có
Đẳng thức ở (6) xảy ra khi
Vậy đạt được khi
Lời giải 3. Áp dụng bất đẳng thức ta có
Như vậy Đẳng thức xảy ra khi
Vậy đạt được khi
Lời giải 4. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
Đẳng thức xảy ra khi
Vậy đạt được khi
Lời giải 5. Rõ ràng là biểu thuần nhất đối với Do đó, để tìm giá trị nhỏ nhất của thì trước tiết ta sẽ xét các thỏa mãn Khi đó Ta thấy vai trò của bình đẳng nên có thể đặt Suy ra hay Vì nên suy ra Ta có
Để xảy ra đẳng thức thì trước hết phải có
Vì là biểu thuần nhất đối với nên đẳng thức cũng xảy ra với Vậy đạt được khi
Áp dụng các phương pháp trên, hãy giải quyết các bài toán sau đây.
Bài toán 2. Cho ba số thực không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài toán 3. (Đề thi học kì 2 lớp 10 tỉnh Bắc Ninh năm học 2014-2015) Cho ba số thực thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài toán 4. (Đề kiểm tra năng lực chuyên môn - Hội thi GVDG tỉnh Bắc Ninh năm học 2015-2016) Cho ba số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài toán 5. Cho ba số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (ở đó là hằng số).
Bài toán 6. Cho ba số thực dương thỏa mãn (ở đó là hằng số). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài toán 7. Cho ba số thực dương thỏa mãn (ở đó , là các hằng số). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài toán 8. Cho ba số thực dương thỏa mãn (ở đó , là các hằng số). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài toán 9. (Bài T9/461 – Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ; đề đăng trên số 461 tháng 11 năm 2015, lời giải đăng trên số 465 tháng 3 năm 2016) Cho các số thực thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
nguon VI OLET