ĐI TÌM LỜI GIẢI
Bài toán 1. (Đề thi học kì 2 lớp 10 tỉnh Bắc Ninh năm học 2012-2013) Cho ba số thực dương  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phân tích 1. Ta thấy vai trò của  bình đẳng và khác vai trò của  nên ta dự đoán  đạt giá trị nhỏ nhất khi  Khi đó

Suy ra  Ta tìm điều kiện của  để phương trình (1) ẩn  có nghiệm. Nếu  thì (1) có nghiệm . Nếu  thì (1) có nghiệm khi  Do đó (1) có nghiệm khi  Nhưng  nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của  là 
Phân tích 2. Giả sử giá trị nhỏ nhất của  là  tức là  Ta biến đổi 

Ta sẽ tìm  để  trở thành bình phương của một biểu thức, muốn vậy ta sẽ chọn  sao cho  Vì  nên  Vì thế ta dự đoán 
Phân tích 3. Áp dụng bất đẳng thức  ta có
=
 Ta sẽ chọn số  sao cho  Do đó
 Như vậy 
Phân tích 4. Với , ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Ta sẽ chọn  sao cho hệ số của  ở vế phải của (3) tương ứng tỉ lệ với hệ số của  trong biểu thức dưới mẫu của  tức là  và được 
Phân tích 5. Rõ ràng  là biểu thuần nhất đối với  Do đó, để tìm giá trị nhỏ nhất của  thì trước hết ta sẽ xét các  thỏa mãn  Khi đó  Ta thấy vai trò của  bình đẳng nên có thể đặt  Suy ra  hay  Vì  nên  suy ra  Ta có

Do đó ta dự đoán 
Từ những phân tích trên đây, chúng ta đưa ra một số cách giải quyết Bài toán 1.
Lời giải 1. Do  ta thấy  tương đương với
Xét ta thức bậc hai ẩn  (coi  là tham số)
 có biệt thức

nên  suy ra  Vì thế  với mọi  Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy  đạt được khi 
Lời giải 2. Với mọi số thực  ta có


Vì (4) đúng với mọi  nên (5) đúng với mọi . Đẳng thức ở (5) xảy ra khi  Với  thì từ (5) ta có
 Đẳng thức ở (6) xảy ra khi 
Vậy  đạt được khi 
Lời giải 3. Áp dụng bất đẳng thức  ta có

Như vậy  Đẳng thức xảy ra khi

Vậy  đạt được khi 
Lời giải 4. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
 Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy  đạt được khi 
Lời giải 5. Rõ ràng  là biểu thuần nhất đối với  Do đó, để tìm giá trị nhỏ nhất của  thì trước tiết ta sẽ xét các  thỏa mãn  Khi đó  Ta thấy vai trò của  bình đẳng nên có thể đặt  Suy ra  hay  Vì  nên  suy ra  Ta có


Để xảy ra đẳng thức  thì trước hết phải có

Vì  là biểu thuần nhất đối với  nên đẳng thức  cũng xảy ra với  Vậy  đạt được khi 
Áp dụng các phương pháp trên, hãy giải quyết các bài toán sau đây.
Bài toán 2. Cho ba số thực  không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài toán 3. (Đề thi học kì 2 lớp 10 tỉnh Bắc Ninh năm học 2014-2015) Cho ba số thực  thỏa mãn  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài toán 4. (Đề kiểm tra năng lực chuyên môn - Hội thi GVDG tỉnh Bắc Ninh năm học 2015-2016) Cho ba số thực dương  thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài toán 5. Cho ba số thực dương  thỏa mãn  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  (ở đó  là hằng số).
Bài toán 6. Cho ba số thực dương  thỏa mãn  (ở đó  là hằng số). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài toán 7. Cho ba số thực dương  thỏa mãn  (ở đó ,  là các hằng số). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài toán 8. Cho ba số thực dương  thỏa mãn  (ở đó ,  là các hằng số). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài toán 9. (Bài T9/461 – Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ; đề đăng trên số 461 tháng 11 năm 2015, lời giải đăng trên số 465 tháng 3 năm 2016) Cho các số thực  thỏa mãn  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
nguon VI OLET