Rõ ràng mọi chuyện không đơn giản chút nào. Tuy nhiên có lẽ các bạn cũng sẽ nhận
ra sự tinh tế trong bài tóan, đó là ở bậc của mỗi phương trình. Phương trình đầu tiên
bậc 2 có lẽ chứa P. Thể nhưng nó không ở một dạng tích thuận tiện nào,trong khi
phương trình thứ hai lại ở dạng tích và bậc 4,gấp đôi bậc 2. Nếu các bạn nhìn trong
biểu thức S và P,bậc của P gấp đôi bậc của S,như vậy phải chăng phương trình thư
nhất là S,thứ hai là P. Nếu vậy thì các giá trị x và y trong P là gì. Quan sát phương
trình thứ hai các bạn có thể dễ dàng nhận ra sự tinh tế này, đó là x(x +1) và y(y +1) .
Từ ý tưởng này ta đặt:
a = x(x +1)
b = y(y +1)
Hệ đã cho tương đương với:
ì a +b = 8
ì a = 6
ì a=2
Þ
hay
í
í
í
ab =12
b = 2
b=6
î
î
î
Như vậy (x, y) là nghiệm của các phương trình sau:
2
i) t +t = 2 Þ t =1 Ú t = - 2
1
2
2
ii)t +t = 6 Þ t = 2 Ú t = - 3
3
3
Tóm lại nghiệm của hệ đã cho là:
x, y) = (1,- 2);(- 2,1);(2,- 3);(- 3,2)
(
B. Phương trình đối xứng lọai 2:
ì f (x, y) = 0.
í
f (y, x) = 0.
î
Đối với dạng hệ phương trình này, ta có thể đưa về một dạng hệ tương đương sau:
ì f (x, y) - f (y, x) = 0
í
f (x, y) + f (y, x) = 0.
î
Hệ phương trình mới mà các bạn thu được là một hệ đối xứng hay nửa đối xứng mà ta
ì h(x, y) = f (x, y) - f (y, x)
đã xét ở phần trên. Thật vậy nếu đặt
dạng:
. Ta sẽ đưa hệ về
í
g(x, y) = f (x, y) + f (y, x)
î
ì h(x, y) = 0
ì h(x, y) = - h(y, x)
í
.
Ở đó
g(x, y) = g(y, x).
î
í
g(x, y) = 0
î
Có thể các bạn thấy rằng h(x, y) không đối xứng hòan tòan (nửa đối xứng). Tuy
nhiên ở đây có thể chấp nhận được bởi lẽ hệ ta ở dạng h(x, y) = 0.(Nếu các bạn vẫn
2
thấy ray rứt vì điều này thì các bạn hãy viết dưới dạng h (x, y) = 0 ,chẳng phải
2
h (x, y) đối xứng đó sao .Chú ý thêm là tác giả chỉ muốn các bạn nắm bắt mối quan
hệ của sự đối xứng và nửa đối xứng một cách rõ ràng hơn, chứ trong lúc giải bài tập
các bạn chớ bình phương lên nhé. ☺)
C. Phương trình đẳng cấp.