HỆ THỐNG TRẮC NGHIỆM-ĐÁP ÁN.doc

Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , và vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi , là hai điểm thay đổi trên hai cạnh , sao cho mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Tính tổng khi thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ sao cho , , , .

Suy ra . Đặt , , , suy ra , .

, , .

, .

Do nên .

, do nên .

.

Do đó .

Xét với , .

; (loại).

Lập BBT ta suy ra .

Vậy .

Cách 2: Đặt , . Gọi ; ; .

là hình chiếu vuông góc của trên , khi đó: .

Ta có: .

Do đó góc giữa và bằng góc giữa và . Suy ra .

Mặt khác .

Tính , :

Ta có: , và nếu , thì gọi là trung điểm của , khi đó:

.

Tương tự: . Mà .

Nếu hoặc thì ta cũng có .

Tóm lại: .

Suy ra: .

Do đó .

Câu 2: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp có đáy là hình bình hành có (tham khảo hình vẽ). Giá trị lớn nhất của thể tích hình chóp bằng

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn B

Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng .

Ta có: (tam giác vuông, là cạnh chung, ).

Nên suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

Suy ra là hình chữ nhật có là tâm.

Đặt

Nên

.

Câu 3: (SGD Bắc Ninh  – Lần 2 - năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Tam giác vuông tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng , với . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi là đỉnh thứ tư của hình bình hành .

Khi đó mà (vì , ) nên là hình chiếu vuông góc của lên .

Góc giữa và là , do đó .

Đặt , .

Gọi là hình chiếu của lên , theo đề ta có .

Do đó đạt giá trị lớn nhất khi lớn nhất. Vì tam giác vuông tại nên

Từ đó khi .

Suy ra .

Câu 4: (Chuyên Lê Hồng Phong  – Nam Đinh - năm 2017-2018) Cho tứ diện , trên các cạnh , , lần lượt lấy các điểm , , sao cho , , . Mặt phẳng chia khối tứ diện thành hai phần có thể tích là , . Tính tỉ số .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi , , ta có .

Thiết diện của tứ diện được cắt bởi mặt phẳng là tứ giác .

Áp dụng định lí Menelaus trong các tam giác và ta có:

và .

Áp dụng bài toán tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác, ta có:

. Suy ra .

và .

Suy ra . Do đó . Vậy .

---------HẾT---------

Câu 5: (THPT Đặng Thúc Hứa  – Nghệ An - năm 2017-2018) Cho hình chóp có , , và . Sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính thể tích khối chóp.

A. . B. .  C. . D. .

Lời giải

Chọn C

- Dựng tại .

Ta có: .

Và:

là hình chữ nhật, .

- Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là góc giữa và mặt phẳng

.

- Lại có :

.

- Từ và suy ra:

Theo giả thiết .

Vậy .

Câu 6: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , tam giác đều, góc giữa và bằng . Gọi là trung điểm của cạnh . Biết rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng nằm trong hình vuông . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là

A. . B. . C. . D. .

Câu 7: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , tam giác đều, góc giữa và bằng . Gọi là trung điểm của cạnh . Biết rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh

trên mặt phẳng nằm trong hình vuông . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi là trung điểm cạnh , khi đó .

Do nên .

Vẽ tại thì .

Tam giác có

.

Cách 1:

Theo định lý Pythagore đảo thì vuông tại .

Vẽ tại thì .

Gọi là trung điểm cạnh ta có

.

Ta có .

Tam giác có .

Tam giác có .

Tam giác có nửa chu vi .

Và diện tích là .

Vậy .

Cách 2:

Ta thấy nên vuông tại . Suy ra ; .

Gọi ; là trung điểm cạnh ta có .

Do đó, .

Gọi là hình chiếu của lên , ta có vuông cân tại nên .

Vậy .

Câu 8: Cho hình lập phương cạnh , gọi là trung điểm của và thuộc cạnh sao cho . Mặt phẳng cắt tại . Thể tích khối đa diện bằng

A. . B. .

C. . D. .

Câu 9: Cho hình lập phương cạnh , gọi là trung điểm của và thuộc cạnh sao cho . Mặt phẳng cắt tại . Thể tích khối đa diện bằng

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Sử dụng công thức tỉ số thể tích khối hộp

Cho hình hộp , gọi , , lần lượt là các điểm thuộc các cạnh , , . Mặt phẳng cắt cạnh tại . Khi đó:

Áp dụng, xem khối đa diện ta có:

.

Vậy

Cách 2:

Thể tích khối lập phương là .

Gọi , lần lượt là tâm hai hình vuông và , gọi , khi đó .

Ta có . Do đó .

Diện tích hình thang là

.

Thể tích khối chóp là

.

Diện tích hình thang là

.

Thể tích khối chóp là

.

Thể tích khối đa diện bằng

.

Câu 10: Cho tứ diện có,,. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .

A. . B. .  C. . D. .

Câu 11: Cho tứ diện có,,. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .

A. . B. .  C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Xây dựng bài toán tổng quát

Từ giả thiết ta có: MNDC là hình thoi; các tam giác CAN, DAM là các tam giác cân, suy ra: ,

Ta có:

Từ

Suy ra:

.