[hh 11] Chương I. PHÉP BIẾN HÌNH

CHƯƠNG I. PHÉP BIẾN HÌNH

I. Phép biến hình

 Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với một điểm xác định duy nhất M’ được gọi là phép biến hình.

 Ta thường kí hiệu phép biến hình là F và viết F (M) = M’, khi đó điểm M’ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F.

 Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta ký hiệu H’ = F(H) là tập hợp các điểm M’ = F(M), với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H’ hay hình H’ là hình ảnh cua hình H qua phép biến hình F.

 Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

II. Phép tịnh tiến

 Cho vectơ , phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho = gọi là phép tịnh tiến vectơ

 Phép tịnh tiến thường được kí hiệu là

 Có thể viết (M) = M’ <=> =

III. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TÍNH TIẾN

 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x, y), = (a, b). Gọi điểm M’(x’, y’) = (M).

 Khi đó 

IV. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TỊNH TIẾN

1. Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

2. Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng nhau với đường thẳng đã cho.

3. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho.

4. Biến một tam giác thành tam giác có cùng kích thước

5. Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính

BÀI TẬP

1.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho = (–2; 1), điểm M = (–3; 2). Tìm tọa độ của các điểm A sao cho

a. A là ảnh của M qua phép tịnh tiến vector

b. M là ảnh của A qua phép tịnh tiến vector

1.2 Trong mặt phẳng Oxy cho = (–1; 3), đường thẳng d có phương trình 2x – 3y + 3 = 0, đường thẳng d1 có phương trình 2x – 3y – 5 = 0.

a. Viết phương trình của đường thẳng d’ = (d)

b. Tìm tọa độ của có giá trị vuông góc đường thẳng d để d1 = (d)

1.3 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x – y – 9 = 0.Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d’ đi qua gốc tọa độ và viết phương trình đường thẳng d’.

1.4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x² + y² – 2x + 4y – 4 = 0. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến vectơ = (–2; 5)

1.5 Cho đoạn thẳng AB và đường tròn (C) tâm O, bán kính r không cắt đường thẳng AB. Lấy điểm M trên (C), dựng hình bình hành ABMM’. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên (C).

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

I. ĐỊNH NGHĨA: Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng trục qua đường thẳng d.

 Phép đối xứng trục qua d thường kí hiệu là Đd.

 Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu Đd biến H thành chính nó. Khi đó H được gọi là hình có trụ đối xứng

II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ

 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với mỗi điểm M = (x; y)

 M’(x’; y’) = ĐOx(M) <=> x’ = x và y’ = –y

 M’(x’; y’) = ĐOy(M) <=> x’ = –x và y’ = y

III. TÍNH CHẤT

1. Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

2. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng

3. Biến một đường thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho

4. Biến một tam giác thành một tam giác bằng tam giác đã cho

5. Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính

BÀI TẬP

1.6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3; –5), đường thẳng d có phương trình 3x + 2y – 6 = 0 và đường tròn (C) có phường trình x² + y² – 2x – 4 y – 4 = 0. Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox.

1.7 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x – 5x + 7 = 0 và đường thẳng d’ có phường trình 5x – y – 13 = 0. Tìm phép đối xứng trục biến d thành d’

1.8 Tìm các trục đối xứng của hình vuông ABCD

1.9 Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau và hai điểm A, B không thuộc hai đường thẳng đó. Hãy nêu một cách dựng điểm C trên a, điểm D trên b sao cho tứ giác ABCD là hình thanh cân nhận AB là một cạnh đáy

1.10 Cho đường thẳng d và hai điểm A, B không thuộc d và nằm cùng phía đối với d. Tìm trên d điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến A và B là bé nhất.

PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

I. ĐỊNH NGHĨA: Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.

 Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là ĐI.

2. Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó. Khi đó H gọi là hình có tâm đối xứng.

II. BIỂU THỨC TỌA Độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho I = (a; b), gọi M(x; y) và M’(x’; y’) là ảnh của M qua phép đối xứng làm tâm I. Khi đó              x’ = 2a – x; y’ = 2b – y

III. TÍNH CHẤT

1. Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

2. Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho

3. Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho

4. Biến một tam giác thành một tam giác bằng tam giác đã cho

5. Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính

BÀI TẬP

1.11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm I(1; 2), M(–2; 3), đường thẳng d: 3x – y + 9 = 0 và đường tròn (C): x² + y² + 2x – 6y + 6 = 0. Hãy xác định tọa độ của điểm M’, phương trình của đường thẳng d’ và đường tròn (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua

a. Phép đối xứng qua gốc tọa độ

b. Phép đối xứng qua tâm I

1.12. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0 và d’: x – 2y – 8 = 0. Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ và biến trục Ox thành chính nó.

1.13. Cho ba điểm không thẳng hàng I, J, K. Nếu cách dựng tam giác ABC nhận I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC.

1.14. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 3x – 4y + 2 = 0 và (C) có tâm I(–2; 3) và (C) đi qua A(2; 0)

a. Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

b. Tìm ảnh (C’) của (C) qua phép đối xứng tâm K(2; 1)

PHÉP QUAY

I. ĐỊNH NGHĨA: Cho điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng giác MOM’ = α được gọi là phép quay tâm O góc α. Điểm O được gọi là tâm quay, α là góc quay.

 Phép quay tâm O góc α thường được kí hiệu là Q(O, α).

 Phép quay tâm O góc quay α = (2k + 1)π với k nguyên, là phép đối xứng tâm O

 Phép quay tâm O góc quay α = 2kπ với k nguyên, là phép đồng nhất.

II. TÍNH CHẤT

1. Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

2. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng

3. Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho

4. Biến một tam giác thành một tam giác bằng tam giác đã cho

5. Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính

III. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP QUAY [Phần bổ sung]

Nếu tâm quay là gốc tọa độ O và M(x, y). M’(x’, y’) = Q(O, α)(M) <=>

Trường hợp α = 90° thì x’ = –y và y’ = x. [phép quay tâm O ngược chiều kim đồng hồ một góc 90°]

Trường hợp α = –90° thì x’ = y và y’ = –x. [phép quay tâm O cùng chiều kim đồng hồ một góc 90°]

BÀI TẬP

s

1.16 Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(3; 3), B(0; 5), C(1; 1) và đường thẳng d có phương trình 5x – 3y + 15 = O. Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác A’B’C’ và phương trình của đường thẳng d’ lần lượt là ảnh của tam giác ABC và đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay 90°

1.17 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên nửa đường tròn cố định.

1.18. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF và gọi O, P, Q lần lượt là các tâm đối tâm xứng của chúng.

a. Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh D.

b. Chứng minh rằng AO vuông góc với PQ và AO = PQ

PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU

I. ĐỊNH NGHĨA: Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

 Nhận xét: Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và quay đều là những phép dời hình. Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được một phép dời hình.

II. TÍNH CHẤT

a. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

b. Biến một đường thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn bằng nó.

c. Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho, biến một góc thành góc bằng góc đã cho.

d. Biến một đường tròn thành đường tròn có bán kính

III. HAI HÌNH BẰNG NHAU

 Định nghĩa: Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

BÀI TẬP

1.19. Trong mặt phẳng Oxy, cho = (2; 0) và điểm M(1; 1)

a. Tìm tọa độ của điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục Oy và phép tịnh tiến vectơ

b. Tìm tọa độ của điểm M” là ảnh của điểm M qua phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến vectơ và phép đối xứng qua trục Oy.

1.20. Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ = (3; 1) và đường thẳng d: 2x – y = 0. Tìm ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90° và phép tịnh tiến theo vectơ

1.21. Cho hình vuông ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE = AI.

a. Xác định một phép dời hình biến A thành B và biến I thành E

b. Dựng của hình vuông ABCD qua phép dời hình ấy.

PHÉP VỊ TỰ

I. ĐỊNH NGHĨA

 Cho điểm I và một số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho gọi là phép vị trí tự tâm I, tỉ số k.

II. TÍNH CHẤT

1. Giả sử M’, N’ lần lượt là ảnh của M, N qua phép vị tự tâm I, tỉ số k. Khi đó M’N’ = |k|.MN

2. Phép vị tự tâm I, tỉ số k

a. Biến ba điểm thẳng hàng ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

b. Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

c. Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng với nó.

III. Tâm vị tự của hai đường tròn

 Với hai đường tròn bất kỳ luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia. Tâm của phép vị tự nói trên được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

BÀI TẬP

1.22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – 4 = 0

a. Viết phường trình của đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3.

b. Viết phương trình của đường thẳng d2 là ảnh của d qua phép vị tự tâm I (–1, 2) tỉ số k = –2

1.23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x – 3)² + (y + 1)² = 9. Viết phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tâm I(1; 2) tỉ số k = 2

1.24. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa đường tròn, hai đỉnh còn lại nằm trên đường kính AB của nửa đường tròn đó.

1.25. Cho góc nhọn xOy và điểm C nằm trong góc đó. Tìm trên Oy điểm A sao cho khoảng cách từ A đến Ox bằng AC.

PHÉP ĐỒNG DẠNG

I. ĐỊNH NGHĨA: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm M, N bất kì ảnh của chúng lần lượt là M’, N’ thỏa mãn M’N’ = k.MN

 Nhận xét: Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k = 1. Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|. Nếu thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng thì được phép đồng dạng.

II. TÍNH CHẤT

 Phép đồng dạng tỉ số k

a. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

b. Biến một đương thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đường thẳng thành đoạn thẳng.

c. Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó.

d. Biến một đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR.

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I

1.26. Cho hình bình hành ABCD có AC cố định, đường chéo AC có độ dài bằng m không đổi. Chứng minh rằng khi C thay đổi, tập hợp các điểm D thuộc một đường tròn xác định.

1.27. Cho tam giác ABC. Tìm một điểm M trên cạnh AB và một điểm N trên cạnh AC sao cho MN song song với BC và AM = CN

1.28. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 3x – 2y – 6 = 0.

a. Viết phương trình đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép đối xứng qua trục Oy.

b. Viết phương trình của đường thẳng d2 là ảnh của d qua phép đối xứng qua đường thẳng Δ: x + y – 2 = 0

1.29. Cho đường tròn (C) và hai điểm cố định phân biệt A, B thuộc (C’). Một điểm M chạy trên đường tròn (trừ hai điểm A, B). Hãy xác định hình bình hành AMBN. Chứng minh rằng tập hợp điểm N cũng nằm trên một đường tròn cố định.

1.30. Cho hai đường tròn cùng có tâm O, bán kính lần lượt là R và r, (R > r). A là một điểm thuộc đường tròn bán kính r. Hãy dựng đường thẳng qua A cắt đường tròn bán kính r tại B, cắt đường tròn bán kính R tại C, D sao cho CD = 3AB.

1.31. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O góc 45°.

1.32. Qua tâm G của tam giác đều ABC, kẻ đường thẳng a cắt BC tại M và cắt AB tại N, kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và AB tại Q, đồng thời góc giữa a và b bằng 60°. Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là một hình thang cân.

1.33. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các ảnh của các điểm A, B, C qua phép đồng dạng tỉ số k. Chứng minh rằng

1.34. Gọi A’, B’ và C’ tương ứng là ảnh của ba điểm A, B và C qua phép đồng dạng. Chứng minh rằng nếu thì , trong đó p là một số thực. Từ đó chứng minh rằng phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và nếu điểm B nằm giữa hai điểm A và C thì điểm B’ nằm giữa hai điểm A’ và C’.

1.35. Trong mặt phẳng Oxy xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x; y) thành M’(2x – 1; –2y + 3). Chứng minh F là một phép đồng dạng.

1.36. Dựng tam giác BAC vuông cân tại A có C là một điểm cho trước, còn hai đỉnh A, B lần lượt thuộc hai đường thẳng a, b song song với nhau cho trước.

1.37. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2; 3), xác định tọa độ ảnh của M qua phép đối xứng trục qua đường thẳng x – y = 0?

1.38. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phường trình (x – 1)² + (y + 2)² = 4. Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh tiến vectơ = (2; 3) biến (C) thành đường tròn có phương trình như thế nào?

1.39. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: x + y – 2 = 0. Phép đối dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ = (3; 2) biến d thành đường thẳng nào?

1.40. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2; 4). Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = 1/2 và phép đối xứng qua trục Oy sẽ biến M thành điểm nào?

1.41. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): (x – 2)² + (y – 2)² = 4. Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số k = 1/2 và phép quay tâm O góc 90° sẽ biến (C) thành đường tròn nào?

1.42. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(2; 0), B(–1; 3), C(0; 1).

a. Tìm ảnh của đường cao AH qua phép tịnh tiến vector .

b. Tìm ảnh của cạnh BC qua phép tịnh tiến vector

1.43. Cho hình bình hành ABCD có đỉnh A cố định, B và D di động trên đường tròn tâm O có bán kính R = OA, dây BD = ℓ.

a. Chứng minh trực tâm K của tam giác BCD cố định.

b. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABD.

c. Tìm tập hợp các đỉnh C

1.44. Trên đường tròn (O) tâm O lấy điểm A cố định và điểm M di động. Gọi I là trung điểm của AM. Dựng hình bình hành OAIN. Tìm tập hợp các điểm N khi M di động trên (O).

1.45. Cho đường tròn (O) đường kính AB, M là điểm di động trên (O). Trên đường thẳng AM lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN.

a. Dựng hình bình hành ANBP. Tìm tập hợp các đỉnh P

b. Dựng hình binh hành ABNQ. Tìm tập hợp các đỉnh Q

1.46. Cho đường tròn (O) với đường kính AB cố định, một đường kính MN thay đổi. Các đường thẳng AM, AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q. Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ.

1.47. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), hai điểm B, C cố định còn A di động trên đường tròn. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC

1.48. Cho tam giác ABC cân tại A, có đỉnh A cố định, đáy BC luôn song song với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh C, biết rằng điểm B di động trên đường tròn cố định tâm O

1.49. Cho đường tròn (O) tâm O. P là điểm cố định ở ngoài đường tròn. Một đường thẳng d quay quanh P cắt (O) tại hai điểm A, B

a. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB

b. Dựng hình bình hành PIOQ. Tìm tập hợp các đỉnh Q

1.50. Cho điểm C di động trên đường tròn đường kính AB. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ACM và BCN. Tìm quỹ tích các điểm M, N.

1.51. Trên đường tròn (O, R) cho điểm A cố định và điểm B thay đổi. Gọi M là trung điểm dây AB.

a. Tìm quỹ tích các điểm I trên tia MB thỏa OI = 2OM

b. Tìm quỹ tích điểm E ở trên đường thẳng d qua O, song song với AB và thỏa điều kiện OE = OI.

1.52. Cho hai đường tròn (O), (O’) tiếp xúc ngoài tại điểm K. Qua K kẻ hai đường thẳng cắt đường tròn (O) tại các điểm A và B, cắt (O’) tại C và D. Chứng minh rằng AB//CD.

1.53. Cho đường tròn (O). Trên O lấy A cố định và M di động trên (O). Gọi I là trung điểm của AB.

a. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác OAM

b. Tìm tập hợp trong tâm G’ của tam giác OAI

1.54. Cho hình vuông ABCD tâm O, gọi I là trung điểm của AB.

a. Tìm ảnh của hình vuông ABCD qua phép quay tâm O góc quay 45°

b. Tìm một phép đồng dạng biến tam giác AIO thành tam giác BCD

1.55. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Các đỉnh B, C cố định còn A chạy trên (O). Tìm tập hợp các trung điểm M của cạnh BA. Vẽ hình.

1.56. Cho điểm A cố định và đường tròn (O) sao cho A khác tâm O. Điểm M di động trên đường tròn (O).

a. Tìm tập hợp các điểm N sao cho AOMN là hình bình hành

b. Tìm tập hợp tâm I của hình bình hành AOMN