Hinh Chop QH Song song Vuong goc

CHYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP

---------------------------------------

QUAN HỆ SONG SONG

QUAN HỆ VUÔNG GÓC

I-QUAN HỆ SONG SONG GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG:

Tính chất 1:

Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Tính chất 2:

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Định lí (về giao tuyến của ba mặt phẳng):

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Hệ quả:

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đương thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

II-QUAN HỆ SONG SONG GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:

Định lí 1:

Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó trên thì a song song với

Định lí 2:

Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng thì mọi mặt phẳng chứa a

mà cắt thì cắt theo giao tuyến song song với a.

Hệ quả 1:

Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.

Hệ quả 2:

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.

Định lí 3:

Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b.

II-QUAN HỆ SONG SONG GIỮA HAI MẶT PHẲNG:

Định lí 1:

Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng thì song song với .

Định lí 2 (định lí Thalès trong không gian):

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Định lí 3(định lí đảo):

Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a và lần lượt lấy các điểm A, B, C và

sao cho:

Khi đó, ba đường thẳng lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Tính chất 1:

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

Hệ quả 1:

Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với .

Hệ quả 2:

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

PHÉP CHIẾU SONG SONG

TÍNH CHẤT 1:

Hình chiếu song song của một đường thẳng, một đoạn thẳng, một tia là một đường thẳng, một đoạn thẳng, một tia.

TÍNH CHẤT 2:

Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

TÍNH CHẤT 3:

Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số của hai đường thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau).

QUAN HỆ VUÔNG GÓC

I-QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Định lí:

Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng .

Tính chất 1:

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng a  cho trước.

Tính chất 2:

Có duy nhất một đường thẳng  đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

 II-QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc:

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc:

Định lí: Nếu hai mặt phẳng và vuông góc với nhau thì bất cứ một đường thẳng a nào nằm trong , vuông góc với giao tuyến của và đều vuông góc với mặt phẳng .

Hệ quả 1:

Nếu hai mặt phẳng và vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với sẽ nằm trong .

Hệ quả 2:

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

Hệ quả 3:

Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng .

QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Định lí:

Gọi S là diện tích của đa giác H  trong mặt phẳng và là diện tích hình chiếu của H trên mặt phẳng thì , trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng và.

LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Tính chất 1:

a. Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thắng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

b. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Tính chất 2:

a. Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.

b. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Tính chất 3:

a. Cho đường thẳng a và mặt phẳng song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc vớithì cũng vuông góc với a.

b. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

Định lí ba đường vuông góc:

Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng . Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu của a trên .

CÁC PHƯƠNG PHÁP DỰNG ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Bài toán 1: Trong không gian cho điểm M không thuộc mặt phẳng , tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Cách 1:

+ Dựng tại H.

+ Tính độ dài đoạn thẳng MH.

Khi đó = MH.

Cách 2:Tìm đường thẳng  qua M và  cắt mp tại I, trên  chọn điểm A  

, lúc đó dẫn đến kết quả:

Chú ý:

+ Nếu trên mpta tìm được đường thẳng a thích hợp nào đó mà , với mp chứa M thì ta nên làm theo cách 1.

+ Nếu tìm được một đường thẳng thích hợp đi qua M cắt mp tại I thì ta nên

làm cách 2.

Bài toán 2: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Tính khoảng cách giữa a và b (kí hiệu là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b).

Phương pháp giải:

Cách 1: (Áp dụng cho trường hợp)

+ Dựng mpchứa b và tại A.

+ Dựng tại B.

Khi đó

Cách 2:

Dựng mp chứa b và mp // a, khi đó với .

Cách 3:

+ Dựng mp chứa a và mp // b.

+ Dựng mp chứa b và mp // a.

Khi đó .

Bài 1: Cho tam giác đều ABC; , là hai đường thẳng theo thứ tự qua B, C và cùng vuông góc với mặt phẳng .

M là điểm chuyển động trên , N là điểm chuyển động trên sao cho M và N luôn cùng ở trong một miền không gian do mặt phẳng xác định và sao cho

Chứng minh chân đường vuông góc H hạ từ C lên mp chuyển động trên một đường tròn cố định. Chỉ rõ đường tròn này.

Giải:

Trên Do ta được : B là trung điểm cạnh .

Ta có

tam giác là tam giác vuông tại đỉnh A

Ta có

Từ ta được

Do từ  C kẻ ta được CH nằm trọn trên , suy ra .

Ta có . Vậy H chuyển động trên đường tròn đường kính AC trên mp cũng là

 Nhận xét : Từ bài toán trên ta thấy đã sử dụng định lý về quan hệ vuông góc gữa đường thẳng và mặt phẳng để chứng minh và sử dụng định lý về quan hệ vuông góc giữa hai mp để chứng minh .

Bài tập 2 : Cho hình chóp S.ABC vớI các điểm M, N, P di động trên các cạnh SA, SB, SC tương ứng sao cho:

Chứng minh rằng giao tuyến của mặt phẳng vớiluôn song song với một đường thẳng cố định

Giải:

Vẽ các hình bình hành SABI và SBCK

Giả sử trên mặt phẳng , thì MI giao SB tại

Theo định lí Thalet:

Vì nên N nằm giữa S và B. Vì các tia SA và BI song song và ngược hướng nên N’ cũng nằm giữa S và B. Do đó từ (*) suy ra .

Vậy luôn qua một điểm I cố định. Tương tự với điểm K cố định. Vậy luôn qua đường thẳng cố định IK.

+ Do

Ta có:

Do (1) nên IK //

Như vậy giao tuyến của hai mặt phẳngvà luôn song song với đường thẳng cố định IK.đpcm.

Bài tập 3: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC. gọi H là trực tâm của tam giác. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với và lấy điểm S bất kì trên . Qua S dựng các nửa

đường thẳng Sx, Sy, Sz lần lượt vuông góc với các mp, và

Sx, Sy, Sz tương ứng cắt tại .

1) Chứng minh ba mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng.

2) Chứng minh: tam giác ABC đồng dạng với tam giác

Giải:

Giả sử M, N, P lần lượt là giao của AH và BC, BH và AC, CH và AB.    

theo định lý ba đường vuông góc suy ra:  

như thế có:

Trong kẻ , mà SM là giao tuyến của và nên

. Như vậy chứa SH

Lập luận tương tự, ba mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng.

2) Do

Mặt khác:

Do đó nên

Mà và BC, cùng thuộc nên

Tương tự ta có:

Suy ra: tam giác ABC đồng dạng với tam giác

Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và điểm MS nằm cùng phía với S đối với mp. gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi lần lượt là các mp qua SI và song song với MK; qua SJ và song song với ML; qua SK và song song với MI; qua SL và song song với MJ. Chứng minh rằng các mặt cùng đi qua một đường thẳng

Giải

Dễ thấy IJ là đường trung bình của tam giác ABC, nên

IJ //AC và

Tương tự có: LK //AC và

Vậy IJKL là hình bình hành

Suy ra nếu O là giao điểm IK và JL thì O là trung điểm của IK, JL

Trong mp vẽ hình bình hành MINK. Khi đó O cũng là trung điểm của MN.

Do đó LMJN là hình bình hành, tức là ta có  IN //KM; IM // KN; JM // LN.

Vì MK //, mà IN // MK, hơn nữa I thuộc (P) nên suy ra

Hoàn toàn tương tự có

Do O là giao điểm của đoạn MN và nên M và N nằm khác phía đối với . Vì S, M nằm cùng phía đối với nên N và S nằm khác phía đối với . Từ đó suy ra N không trùng S.

Vậy các mặt cùng đi qua đường thẳng SN.

Bài 5: Cho tam giác đều ABC và là đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng . M là một điểm di động trên đường thẳng . Gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống MC và MB . H là trực tâm của tam giác MBC .

           Khi M di động trên đường thẳngthì K, I, H di động trên đường nào ?

* Phân tích : Dự đoán về tập hợp điểm I .

 M thuộc miền không gian thứ nhất do mặt phẳng xác định . Khi M ở A thì I ở trung điểm E của AB . Khi M tiến xa tới vô cùng trên thì I tiến B. Như vậy ta thấy ba điểm B, I, E không thẳng hàng do đó tập điểm của I không là đường thẳng .

 Khi M trên và ở miền không gian thứ hai do mặt phẳng xác định thì ta được tập hợp của I đối xứng với tập hợp thứ nhất qua .

 Vậy dự đoán tập hợp của I là đường tròn đường kính EB trên mặt phẳng .

Như vậy ta có lời giải sau:

Giải :

Quỹ tích điểm I :

Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm cạnh AC .

Ta có :