§3. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
1. Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng :
a) Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng :
Cho đường thẳng và điểm . Khi đó khoảng cách từ M đến được tính bởi công thức: .
b) Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng.
Cho đường thẳng và . Khi đó:
- M, N cùng phía với
- M, N khác phía với
Chú ý: Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng :
và là:
.
2. Góc giữa hai đường thẳng:
a) Định nghĩa: Hai đường thẳng và cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng và , hay đơn giản là góc giữa và . Khi song song hoặc trùng với , ta quy ước góc giữa chúng bằng .
b) Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng.
Góc xác định hai đường thẳng và có phương trình và được xác định bởi công thức .
DẠNG 1. Bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.
1.Phương pháp giải.
Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta dùng công thức
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
a) Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
A. B. C. D.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và
A. B. C. D.
Lời giải:
a) Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có:
b) Do nên ta có
Ví dụ 2: (ĐH – 2006A): Cho 3 đường thẳng có phương trình
Tìm tọa độ điểm M nằm trên sao cho khoảng cách từ M đến bằng 2 lần khoảng cách từ M đến .
A. B.
C. D.
Lời giải:
Khoảng cách từ M đến bằng 2 lần khoảng cách từ M đến nên ta có
Vậy có hai điểm thỏa mãn là
Ví dụ 3: Cho ba điểm và . Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B
A.
B. và
C. và
D. và
Lời giải:
Đường thẳng đi qua P có dạng hay
cách đều A và B khi và chỉ khi
+ Nếu , chọn suy ra
+ Nếu . chọn suy ra
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán là và
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có . Hãy viết phương trình đường phân giác trong góc A.
A. B. C. D.
Lời giải:
Cách 1: Dễ dàng viết đường thẳng AB, AC có phương trình
AB:, AC:
Ta có phương trình đường phân giác góc A là
Ta thấy nên 2 điểm B,C nằm về cùng 1 phía đối với đường thẳng . Vậy : là phương trình đường phân giác trong cần tìm.
Cách 2: Gọi là chân đường phân giác hạ từ A của tam giác ABC
Ta có
Mà
suy ra
Ta có phương trình đường phân giác AD: hay
Cách 3: Gọi thuộc đường thẳng là đường phân giác góc trong góc A
Ta có
Do đó (*)
Mà ; ;thay vào (*) ta có
Vậy đường phân giác trong góc A có phương trình là:
Ví dụ 5: Cho điểm và đường thẳng . Tìm trên hai điểm đối xứng với nhau qua và diện tích tam giác bằng .
A. hoặc .
B. hoặc .
C. hoặc .
D. hoặc .
Lời giải:
Dễ thấy đường thẳng đi qua và nhận làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là
Vì nên .
Hai điểm đối xứng với nhau qua suy ra
Do đó
Ta có và
Suy ra
Diện tích tam giác bằng hoặc .
Với
Với
Vậy hoặc .
DẠNG 2: Bài toán liên quan đến góc giữa hai đường thẳng.
1.Phương pháp giải:
Trong mặt phẳng toạ độ , góc giữa hai đường thẳng có phương trình
được xác định theo công thức:
nguon VI OLET
