HInhg học không gian có lời giải chi tiết

BÀI 1

Caâu 1:

Trong khoâng gian Oxyz, vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng (d) : sao cho giao tuyeán cuûa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S) : laø ñöôøng troøn coù baùn kính r = 1.

Caâu 2:

Cho laêng truï ABC.A'B'C' coù caùc maët beân ñeàu laø hình vuoâng caïnh a. Goïi D, F laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh BC, C'B'. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A'B vaø B'C'.

GIẢI

Caâu 1:

 Maët phaúng (P) chöùa (d) coù daïng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0

 Maët caàu (S) coù taâm I(-1; 1; -1), baùn kính R = 2.

 (P) caét (S) theo moät ñöôøng troøn giao tieáp (C) coù baùn kính r = 1

 Cho

 Vaäy, coù 2 maët phaúng (P): 

Caâu 2:

. Caùch 1:

 Vì caùc maët beân cuûa laêng truï laø caùc hình vuoâng

 

  caùc tam giaùc ABC, A/B/C/ laø caùc tam giaùc ñeàu.

 Ta coù:

 Ta coù: 

 Döïng

 Vì

 A/FD vuoâng coù: 

 Vaäy,

Caùch 2:

 Vì caùc maët beân cuûa laêng truï laø caùc hình vuoâng
 ABC, A/B/C/ laø caùc tam giaùc ñeàu caïnh a.

 Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az
ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0),

 Ta coù:

 

  vôùi

 Phöông trình mp (A/BC) qua A/ vôùi phaùp vectô :

 

 Vaäy,

BÀI 2

Caâu 1: 

Trong khoâng gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) vaø ñöôøng thaúng
() :

1. Tìm ñieåm M thuoäc () ñeå theå tích töù dieän MABC baèng 3.

2. Tìm ñieåm N thuoäc () ñeå theå tích tam giaùc ABN nhoû nhaát.

Caâu 2: (1,0 ñieåm)

 Cho hình choùp S.ABC ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a. SA = SB = SC, khoaûng caùch töø S ñeán maët phaúng (ABC) laø h. Tính h theo a ñeå hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC) vuoâng goùc nhau.

GIẢI

Caâu 1:

1. Phöông trình tham soá cuûa (D): 

 

 

 , vôùi

 Phöông trình mp (ABC) qua A vôùi phaùp vectô : (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0.

 

 Ñöôøng cao MH cuûa töù dieän MABC laø khoaûng töø M ñeán (ABC):

 Theå tích töù dieän MABC baèng 3

 Vaäy, coù 2 ñieåm M caàn tìm laø: 

2. 

 

 Vaäy, ñieåm N caàn tìm laø N(-3; 0; 1).

Caâu 2:

Caùch 1:

 Goïi O laø taâm cuûa ABC

 Ta coù: 

  SO laø truïc cuûa ñöôøng troøn (ABC)
 

 Maø : 

 Döïng , suy ra: 

  laø goùc phaúng nhò dieän (B, SA, C).

 SOA vuoâng coù: 

 Goïi M laø trung ñieåm BC

 Ta coù:

   (ñònh lyù 3 ñöôøng vuoâng goùc)

 

  caân taïi I.

  vuoâng caân taïi I

 Vaäy,

Caùch 2:

 Goïi H laø taâm cuûa ABC
vaø M laø trung ñieåm cuûa BC

 Ta coù: 

 Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az
ñoâi moät vuoâng goùc .

 

 

  vôùi

 
vôùi .

 Maët phaúng (SAB) coù caëp vectô chæ phöông neân coù phaùp vectô .

 Maët phaúng (SAC) coù caëp vectô chæ phöông neân coù phaùp vectô .

 

 Vaäy: 

BÀI 3

Caâu 1:

Trong khoâng gian Oxyz cho ñöôøng thaúng (d) vaø maët caàu (S):

 Tìm m ñeå (d) caét (S) taïi hai ñieåm M, N sao cho MN = 8.

Caâu 2:

 Cho töù dieän OABC coù ñaùy laø OBC vuoâng taïi O, OB = a, OC = vaø ñöôøng cao . Goïi M laø trung ñieåm caïnh BC. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø OM.

GIẢI

Caâu 1:

 Maët caàu (S):  coù taâm
I(-2; 3; 0), baùn kính , vôùi m < 13.

 Döïng

 , vôùi m < -3.

 Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d): 

 (d) coù vectô chæ phöông vaø ñi qua ñieåm A(0; 1; -1)

 

 Khoaûng caùch h töø I ñeán ñöôøng thaúng (d):

 Ta  coù: IH = h

  (thoûa ñieàu kieän)

 Vaäy, giaù trò caàn tìm: m = -12.

Caâu 2:

 Caùch 1:

 Goïi N laø ñieåm ñoái xöùng cuûa C qua O.

 Ta coù: OM // BN (tính chaát ñöôøng trung bình)

  OM // (ABN)

  d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)).

 Döïng

 Ta coù: 

 Töø caùc tam giaùc vuoâng OAK; ONB coù:

 Vaäy,

Caùch 2:

 Döïng heä truïc Oxyz, vôùi Ox, Oy, Oz
ñoâi moät vuoâng goùc O(0; 0; 0),

vaø
laø trung ñieåm cuûa AC.

 MN laø ñöôøng trung bình cuûa ABC
 AB // MN

  AB // (OMN)  d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN)).

 

 , vôùi

 Phöông trình mp (OMN) qua O vôùi phaùp vectô

 Ta coù: 

 Vaäy,

BÀI 4

Caâu 1:

Trong khoâng gian Oxyz cho maët phaúng () : 2x – y + z – 5 = 0. Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua giao tuyeán cuûa () vaø maët phaúng (xOy) vaø (P) taïo vôùi 3 maët phaúng toïa ñoä moät töù dieän coù theå tích baèng .

Caâu 2:

Cho hình choùp SABC coù ñaùy laø tam giaùc ABC vuoâng caân taïi A, AB = AC = a
(a > 0), hình chieáu cuûa S treân ñaùy truøng vôùi troïng taâm G cuûa ABC. Ñaët SG = x

(x > 0). Xaùc ñònh giaù trò cuûa x ñeå goùc phaúng nhò dieän (B, SA, C) baèng 60o.

GIẢI

Caâu 1:

Phöông trình maët phaúng (xOy): z = 0

 Phöông trình maët phaúng (P) thuoäc chuøm xaùc ñònh bôûi () vaø (xOy) coù daïng:

 m(2x – y + z – 5) – nz = 0 

 Giao ñieåm A, B, C cuûa (P) vaø 3 truïc Ox, Oy, Oz laàn löôït coù toïa ñoä:

 Theå tích töù dieän OABC baèng

 Vaäy, coù 2 phöông trình maët phaúng (P):

Caâu 2:

. Caùch 1:

 Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC

  (ABC vuoâng caân)

 Ta coù:  .

 Suy ra: 

 Döïng vaø

  laø goùc phaúng nhò dieän (B; SA; C).

 

  caân taïi I.

 

 

  .

 Ta coù:

 Vaäy,

Caùch 2:

 

 Goïi M laø trung ñieåm BC
 

 Goïi E, F laàn löôït laø hình chieáu cuûa G
treân AB, AC. Töù giaùc AEGF laø hình vuoâng

 Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az
ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),
C(0; a; 0), .

 

 , vôùi

  vôùi .

 Maët phaúng (SAB) coù caëp vectô chæ phöông neân coù phaùp vectô

 Maët phaúng (SAC) coù caëp vectô chæ phöông neân coù phaùp vectô

 Goùc phaúng nhò dieän (B; SA; C) baèng 60o.

 Vaäy,

BÀI 5

Caâu 1:

Trong khoâng gian Oxyz, tìm treân Ox ñieåm A caùch ñeàu ñöôøng thaúng

 (d) : vaø maët phaúng () : 2x – y – 2z = 0.

Caâu 2:

 Cho hình choùp SABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu coù caïnh baèng , SA vuoâng goùc vôùi (ABC) vaø SA = a. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caïnh AB, BC. Tính goùc vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng SE vaø AF.

GIẢI

Caâu 1:

 Goïi A(a; 0; 0) .

 Khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng () :

 () qua  vaø coù vectô chæ phöông

 Ñaët

 Do ñoù: d(A; ) laø ñöôøng cao veõ töø A trong tam giaùc

 Theo giaû thieát: d(A; ) = d(A; )

 Vaäy, coù moät ñieåm  A(3; 0; 0).

Caâu 2:

Caùch 1:

 Goïi M laø trung ñieåm cuûa BF  EM // AF

 SAE vuoâng taïi A coù:  

 

 

 

 AÙp duïng ñònh lyù ñöôøng trung tuyeán SM trong SBF coù:

 Goïi  laø goùc nhoïn taïo bôûi SE vaø AF

 AÙp duïng ñònh lyù haøm Coâsin vaøo SEM coù:

 Döïng Ta coù: vaø

 Vì

 SAK vuoâng coù: 

 Vaäy, .

Caùch 2:

 Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az
ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0),

vaø .

 

 Goïi  laø goùc nhoïn taïo bôûi SE vaø AF.ta coù:

  vôùi

 Phöông trình maët phaúng (SEM) qua S vôùi phaùp vectô

 Khoaûng caùch töø A ñeán (SEM): 

 Vì

           Vaäy,

ĐỀ 6

Caâu 1:

Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä vuoâng goùc Oxyz cho maët phaúng (P) vaø maët caàu (S):

 (P): .

 Tìm m ñeå (P) tieáp xuùc (S). Vôùi m tìm ñöôïc xaùc ñònh toïa ñoä tieáp ñieåm.

Caâu :

Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B, AB = a, BC = 2a, caïnh SA vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø SA = 2a. Goïi M laø trung ñieåm SC. Chöùng minh MAB caân vaø tính dieän tích MAB theo a.

LỜI GIẢI

Caâu 1: