PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC
TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU
ĐỀ THI CHỌN HGS LỚP 9 LẦN 3
NĂM HỌC 2020 -2021
MÔN: TOÁN
( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề )
Bài 1: ( 2,0 điểm)
Cho biểu thức
a, Rút gọn biểu thức P.
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Bài 2: ( 1 điểm)
Giải phương trình
Bài 3: ( 1,5 điểm)
Với số tự nhiên n tùy ý cho trước, chứng minh rằng số không thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương ( với k nguyên dương, kí hiệu k! là tích 1.2.3…k).
Bài 4 (1.0 điểm). Chứng minh rằng biểu thức là một số chính phương.
Bài 5: ( 1,5 điểm)
Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm bên trong đường tròn Gọi Q là một điểm tùy ý trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi điểm Q chuyển động trên đường tròn (O) thì giao điểm M các đường thẳng kẻ qua O vuông góc với PQ và tiếp tuyến kẻ từ Q của đường tròn (O) chạy trên một đường thẳng cố định.
Bài 6(1.0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A. Các đường trung tuyến AD và BE vuông góc với nhau tại G. Biết cm, tính cạnh huyền BC.
Bài 7 ( 1,0 điểm)
Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5
Bài 8: (1,0 điểm)
Tính giá trị biểu thức: với 00Bài 9: (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
-------------------------------------Hết---------------------------------
(Giám thị không giải thích gì thêm)
PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC
TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU
HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 LẦN 3
NĂM HỌC 2020- 2021
MÔN: TOÁN
Bài
Nội dung
Điểm
1
2 đ
a, ĐKXĐ
0,25
Ta có
0,75
b, Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
0,75
Vậy GTLN của Q= khi x=2
0,25
2
1 đ
ĐKXĐ
0,2
Phương trình đã cho tương đương với
0,2
Do
0,2
0,2
Vậy nghiệm của phương trình là (x;y;z)=(3;-2013;2016)
0,2
3
1,5 đ
Giả sử Theo ý a, thì
0,25
Do đó (1)
0,25
Từ (1) suy ra a,b đều chẵn. Đặt a=2c, b=2d và rút gọn ta được
(2)
0,25
Từ (2) suy ra c, d đều chẵn. Đặt c=2p, d=2q và rút gọn ta được
(3)
0,25
Vì số chính phương khi chia 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1, nên chia cho 4 dư 0;1 hoặc 2. Mà 8k+315 chia 4 dư 3. Nên (3) không xảy ra.
0,25
Vậy không thể biểu diễn số dưới dạng tổng của hai số chính phương.
0,25
4
1đ
Ta có
0,25
0,5
Do đó D=4
Vậy D là một số chính phương.
0,25
5
1,5 đ
/
Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với đường thẳng OP ở S.
Gọi N là chân đường vuông góc kẻ từ O đến PQ
0,25
Ta có (1)
0,25
Ta có (2)
0,5
Từ (1) và (2) suy ra không đổi, nên điểm S cố định.
0,25
Vậy điểm M chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với OP tại điểm S cố định.
nguon VI OLET
