2 2 2
Với x + y + z = 0 và x + y + z =1, ta có:
6
(
1,0 điểm)
1
2
2
2
2
2
2
0
=(x+ y+z) =x + y +z +2x(y+z)+2yz=1−2x +2yz, nên yz=x − .
0
0
,25
,25
2
2
2
2
2
1− x
y + z
1− x
1
2
6
6
(*).
2
Mặt khác yz ≤
=
, suy ra: x −
≤
, do đó −
≤ x ≤
3
2
2
2
3
5
2
2
3
3
2 2
Khi đó: P = x + (y + z )(y + z ) − y z (y + z)
2
1
5
2
2
2
2
=
=
x +(1−x )⎡( y +z )( y+z)−yz( y+z)⎤+ x −
x
⎣
⎦
2
2
1
1
2
5
5
2 ⎡
2
2
⎤
2
3
x +(1−x ) −x(1−x )+x x − + x −
x =
(
2x −x
)
.
)
⎢
⎣
⎥
2 ⎦
4
⎡
⎤
⎥
6
6
6
.
6
3
2
Xét hàm f (x) = 2x − x trên −
;
, suy ra f '(x) = 6x −1; f '(x) = 0 ⇔ x = ±
⎢
3
3
⎢
⎥
⎣
⎦
⎛
6 ⎞ ⎛ 6 ⎞
6
⎛ 6 ⎞
3
⎛
6 ⎞
6
6
. Do đó f (x) ≤
.
0
,25
Ta có f −
= f
=−
, f
= f −
=
⎜
⎟
⎠
⎜
⎝
⎟
⎠
⎜
⎝
⎟
⎠
⎜
⎟
3
6
9
6
9
9
⎝
⎝
⎠
5
6
Suy ra P ≤
.
3
6
6
6
5 6
36
Khi x=
,y=z=−
thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị lớn nhất của P là
.
0,25
3
6
7
.a
1
(C ) có tâm là gốc tọa độ O. Gọi I là tâm của đường tròn (C)
cần viết phương trình, ta có AB ⊥ OI. Mà AB ⊥ d và 0,25
O ∉d nên OI//d, do đó OI có phương trình y = x.
(C)
(
1,0 điểm)
d
A
I
Mặt khác I ∈(C ), nên tọa độ của I thỏa mãn hệ:
2
⎧
⎪
y=x
⎧x=3
0,25
B
⇔
⇒I(3;3).
⎨
⎨
2
2
y=3
⎪
⎩
x + y −12x+18=0
⎩
1
(C )
Do (C) tiếp xúc với d nên (C) có bán kính R=d(I,d)=2 2.
0,25
0,25
(C2)
2
2
Vậy phương trình của (C) là (x − 3) + (y − 3) = 8.
8
.a
Gọi (S) là mặt cầu cần viết phương trình và I là tâm của (S).
Do I∈d nên tọa độ của điểm I có dạng I(1+2t;t;−2t).
0
,25
(
1,0 điểm)
2
2
2
2
2
2
Do A,B∈(S) nên AI =BI, suy ra (2t−1) +(t−1) +4t =(2t+3) +(t−3) +(2t+2) ⇒t=−1.
0,25
0,25
0,25
Do đó I(−1; −1; 2) và bán kính mặt cầu là IA = 17.
2
2
2
Vậy, phương trình mặt cầu (S) cần tìm là (x +1) + (y +1) + (z − 2) =17.
9
.a
4
25
Số cách chọn 4 học sinh trong lớp là C =12650.
0,25
(
1,0 điểm)
1
3
10
2
2
3
1
Số cách chọn 4 học sinh có cả nam và nữ là C .C +C .C +C .C
0,25
0,25
15
15 10
15 10
=
11075.
1
1075 443
Xác suất cần tính là P =
= .
0,25
12650 506
Trang 3/4
