Một số công thức vi phân hàm ngẫu nhiên-Dương Tôn Đảm-tạp chí phát triển KH&CN tập 12 số 7-2009

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 12, SỐ 07 - 2009 MỘT SỐ CÔNG THỨC VI PHÂN HÀM NGẪU NHIÊN Dương Tôn Đảm Trường Đại học Công nghệ Thông tin, ĐHQG-HCM Bài nhận ngày 26 tháng 02 năm 2009, hoàn chỉnh sửa chữa ngày 24 tháng 04 năm 2009) ( TÓM TẮT: Trong bài báo này từ khái niệm vi-tích phân Itô đã đưa ra ra một số công thức tính vi phân của hàm các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị dương với số mũ thực, từ đó ta sẽ thu được công thức vi phân của

Thể loại Giáo án bài giảng Toán học (CĐ-ĐH)

Số trang 6

Ngày tạo 4/30/2011 11:07:44 AM +00:00

Loại tệp pdf

Kích thước 0.39 M

Tên tệp mot so cong thuc vi phan ham ngau nhienduong ton damtap chi phat trien khcn tap

Download

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 12, SỐ 07 - 2009

MỘT SỐ CÔNG THỨC VI PHÂN HÀM NGẪU NHIÊN

Dương Tôn Đảm

Trường Đại học Công nghệ Thông tin, ĐHQG-HCM

Bài nhận ngày 26 tháng 02 năm 2009, hoàn chỉnh sửa chữa ngày 24 tháng 04 năm 2009)

(

TÓM TẮT: Trong bài báo này từ khái niệm vi-tích phân Itô đã đưa ra ra một số công

thức tính vi phân của hàm các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị dương với số mũ thực, từ đó

ta sẽ thu được công thức vi phân của những hàm hợp phức tạp hơn.

Bài báo còn đề cập đến những tính chất lý thú của quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite

suy rộng,mà chúng là những công cụ rất hữu ích trong phân tích các hỗn độn-chao trong giải

tích ngẫu nhiên hiện nay. Những kết quả thu được có thể ứng dụng để xem xét các quá trình

rủi ro trong kinh tế và tài chính.

. MỞ ĐẦU

Vi phân Itô của quá trình ngẫu nhiên

Ta nói rằng quá trình ngẫu nhiên S có vi phân Itô:

dS  



t,S_t



dt  



t,S_t



dW_t

(1.1)

nếu :

S  S  



s,S_s



ds  



s,S_s



dW ; (h.c) t  t  T



Công thức Itô : Cho S là quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô và



t, x



: R  R là

t,S_t

hàm một lần khả vi theo t , hai lần khả vi theo x.Khi đó quá trình ngẫu nhiên 

phân Itô tính theo công thức sau





có vi







 1  









S

d



t,S_t











t,S_t



dt 

dS_t

t

2 S









 1

 

S 2

  



S







t,S_t





t,S_t



dt  



t.S_t



dW_t

(1.2)







S

Từ (1.2) ta chứng minh định lý sau:

Định lý 1.1

Cho X ,Y là các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị dương, có các vi phân ngẫu nhiên

tương ứng

dX  ₁



t, X_t



dt  ₁



t, X_t



dW ; dY  ₂



t, X_t



dt  ₂



t, X_t



dW_t

Khi đó với mọi a,bR ta sẽ có:

a1 b1

t t



d X .Y  X .dY Y .dX  ab  X .Y .dt



(1.3)



Trang 29

Science & Technology Development, Vol 12, No.07 - 2009







X  Y dX  X dY

 X   Y







 dt

(1.4)





^Yt

Y_t









a1

b1

trong đó   a X

và

  b Y

2 t

Chứng minh:

Trước hết từ hệ thức (1.2) ta sẽ có





a1

a2





a1

dX  a X  a



a 1



 X

dt  a X dW   dt   dW





a1

a2

a1

trong đó:   a X  a



a 1



 X ;   a X

(1.5)

Tương tự đối với Y ta cũng sẽ có









b1

b2

b1

dY  b Y  b



b 1



 Y

dt  b Y dW   dt   dW

2 t





b1

b2

b1

trong đó:   b Y  b



b 1



 Y ;   b Y

(1.6)

(1.7)

1 t

2 t

Mặt khác từ các nhận xét:







d X .Y  d X Y

 d X Y



















d X Y    dt     dW

 







d X Y    dt     dW

Sử dụng công thức Itô sẽ thu được

d X Y

 2 X Y d X Y     dt







 



d X Y

 2 X Y d X Y     dt



Đặt các biểu thức vừa thu được vào (1.8) ta có









d X .Y  2 X Y d X Y  2 X Y d X Y







 





 















  

   

dt  X dY Y dX    dt

(1.8)













Đặt  , đã xác định trong (1.5) và (1.6) vào (1.8) ta sẽ thu được đẳng thức (1.3) cần

chứng minh.

Tiếp theo ta chứng minh hệ thức (1.4), trước hết sử dụng (1.2) cho hàm

Y_t

Trang 30

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 12, SỐ 07 - 2009

















 









 

dY 

₂dt 



 dt   dW













^Yt

Y_t













Áp dụng hệ thức (1.3) ta thu được



1 

 1 

 

d X

 X d



d X 





















^Yt

Y_t





Y dX  X dY

 X   Y





 dt W

^Yt









Khi cho a  b 1 ta sẽ có hệ quả sau

Hệ quả 1.2

Cho X ,Y là các quá trình có các vi phân ngẫu nhiên tương ứng:

dX  ₁

Khi đó ta sẽ có



t, X_t



dt  ₁



t, X_t



dW ; dY  ₂



t, X_t



 

dt  ₂t, X_tdW_t











X Y



 X dY Y dX    dt

t t

1 2

X  Y dX  X dY  X   Y

1 t





₂dt .





^Yt

. VI PHÂN NGẪU NHIÊN CỦA QUÁ TRÌNH DẠNG HERMITE SUY RỘNG

Định nghĩa 2.1 (Đa thức Hermite)

Đa thức Hermite H_n



t, x



được xác định bởi công thức truy hồi:

H₀

H_n



t, x



:1;H₁



t, x : x ;



: xH



t, x

n1



tH_n_₂



t, x







khi n  2

(2.1)



Theo định nghĩa trên ta sẽ có:

H₂

H₃



t, x





 ; H



t, x









; ….

Trang 31

Science & Technology Development, Vol 12, No.07 - 2009

Định nghĩa 2.2 (Qúa trình ngẫu nhiên dạng Hermite suy rộng)

Cho 





là hàm bình phương khả tích trên [0,T], với chuẩn  : 





ds  





 

và tích phân ngẫu nhiên Wiener G :  s dW khi đó nếu trong biểu thức (2.1) thay x





bởi G và thay t bởi  ta sẽ thu được quá trình ngẫu dạng Hermite suy rộng và ký hiệu



nó là H  ,G





Định lý 2.3



Cho H  ,G là quá trình ngẫu dạng Hermite suy rộng khi đó ta sẽ có:









H  ,G  H

 ,G 





dW_s

(2.2)

(2.3)







n1







E H_n ,G

 0

n  2,3...









Chứng minh

Theo định nghĩa (2.1) trước hết ta xét đến hàm

H_n



t, x



: xH

   

t, x tH_n_₂t, x 

n1





Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được rằng



H_n



t, x





 H_n_₁



t, x



x





H_n

t, x







 



H_nt, x  0

x

t



Từ đó áp dụng công thức (1.2) cho hàm H  ,G xác định theo định nghĩa 2.2 ta sẽ





có



H  ,G  H

 ,G dG  H

 ,G 





dW_s







n1







n1







Hơn thế nữa từ (2.2) ta nhận thấy rằng H  ,G

nhận được từ tích phân Itô của





H_n_₁ ,G , mặt khác theo tính chất kỳ vọng của tích phân Itô đều bằng không do đó ta





sẽ thu được (2.3) W

Trang 32

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 12, SỐ 07 - 2009

 

Khi cho  s 1 xét trên [0,T] ta có G  dW W ; 1  ds  t từ đó thu

 

t t

0 0

được hệ quả sau

Hệ quả 2.4

Cho quá trình ngẫu nhiên Wiener một chiềuW ; với đa thức Hermite xác định bởi công

thức truy hồi

H₀



t,W_t



:1 ; H₁



t,W_t



:W_t

 

t,W_t tH_n_₂t,W_t

 ; n  2



H_n



t,W_t

: W H







n1

Khi đó ta sẽ có



dH_n



t,W_t



 H_n_₁



t,W_t



dW_t



H_n







t,W_t 0 khi n >1

DIFFERENTIAL FORMULAS OF STOCHASTIC FUNCTIONS

Duong Ton Dam

University of Information Technology, VNU - HCM

ABSTRACT: Based on the quadratic variation theorem of the Brownian motion, we

have established the basic rules of stochastic differetial calculus operations.

Theorem 1.

If X ,Y are positive-valued stochastic processes satisfying respectively the following

stochastic differenntial equations





^d^X^^1



^t^,^Xt



^d^t^^1



^t^,^Xt



^d^Wt





^d^Y^^2



^t^,^Xt

^d^t^^2



then  a,bR :

gd X Y  X dY  Y dX  ab  X ^a^¹Y ^b^¹dt











X  Y dX  X dY

 X   Y





 dt







^Yt

Y_t

_Y_t





b1

Where   b Y ;   b Y

1 t

2 t

Trang 33

Science & Technology Development, Vol 12, No.07 - 2009

Theorem 2



Suppose H  ,G

is the Hermite type stochastic process of









G : 





dW ;  : 



ds   then







H  ,G  H

 ,G 





dW_s







n1









E H_n ,G

 0  n  2,3,...









Keywords: Wiener stochastic process, Ito integral, Hermite type stochastic processes.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[

1].A.Friedman, Stochastic Differention Equation and Application Dover Publication Inc

(

2006)

2].B.K. Oskendan, Stochastic differential equations: an introduction with application,

Springer (1995)

[

3].Olav Kallenberg, Foundations of modern Probability, Springer (1997).

4].Dương Tôn Đảm, Tính toán ngẫu nhiên với quá trình dạng Hermite, Tạp chí Phát triển

Khoa học &Công nghệ, Tập 11, số 06/2008.

Trang 34

nguon VI OLET

Toán học (CĐ-ĐH) Vật lý (CĐ-ĐH) Hóa học (CĐ-ĐH) Sinh học (CĐ-ĐH) Lịch sử (CĐ-ĐH) Địa lý (CĐ-ĐH) Ngữ văn (CĐ-ĐH) Ngoại ngữ Giáo dục Công dân (CĐ-ĐH) Giáo dục Quốc phòng (CĐ-ĐH) Nghệ thuật (CĐ-ĐH) Giáo dục Thể chất (CĐ-ĐH) Công nghệ thông tin (CĐ-ĐH) Lí luận Chính trị (CĐ-ĐH) Triết học (CĐ-ĐH) Tâm lý học (CĐ-ĐH) Giáo dục học (CĐ-ĐH) Công tác xã hội (CĐ-ĐH) Quản lý Giáo dục (CĐ-ĐH) Giáo dục Tiểu học (CĐ-ĐH) Giáo dục Mầm non (CĐ-ĐH) Giáo dục Đặc biệt (CĐ-ĐH) Khác (CĐ-ĐH)