NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

I. NGUYÊN HÀM

1. Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên ( là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên nếu với mọi .

Kí hiệu: .

Định lí:

1)     Nếu là một nguyên hàm của trên thì với mỗi hằng số , hàm số

cũng là một nguyên hàm của trên .

2)     Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên thì mọi nguyên hàm của trên

đều có dạng , với là một hằng số.

Do đó là họ tất cả các nguyên hàm của trên .

2. Tính chất của nguyên hàm

• và ;
• Nếu F(x) có đạo hàm thì:
• với là hằng số khác .
• 
• Công thức đổi biến số: Cho và

Nếu  thì

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số liên tục trên đều có nguyên hàm trên .

BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

BẢNG NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

a. Đổi biến dạng 1:

Nếu và với là hàm số có đạo hàm thì :

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

* Các dấu hiệu đổi biến thường gặp :

b. Đổi biến dạng 2:

Nếu hàm số liên tục thì đặt . Trong đó cùng với đạo hàm của nó ( là những hàm số liên tục) thì ta được :

.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG.

* Các dấu hiệu đổi biến thường gặp :

2. NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:

    Hay  ( với )

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

•         Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng :

Dạng I:     

Đặt     

Vậy-

Dạng II:  

Đặt        Vậy

Dạng III        

Đặt   

Vậy - .

Bằng phương pháp tương tự tính được sau đó thay vào ra kết quả.

TÍCH PHÂN

1. CÔNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN

                                              .

* Nhận xét: Tích phân của hàm số từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

2. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

Giả sử cho hai hàm số và liên tục trên K . a,b,c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có :

1. 
2. .
3. 
4. .
5. .
6. Nếu thì :

  7. Nếu .

  8. Nếu Nếu thì .

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

I. ĐỔI BIẾN

a. Phương pháp đổi biến số dạng 1.   

Định lí . Nếu   1) Hàm có đạo hàm liên tục trên .

                          2) Hàm hợp được xác định trên .

                          3) .

              Khi đó: .

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

                          Đổi cận:   

• Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t    

    Vậy:

b. Phương pháp đổi biến dạng 2

Định lí: Nếu hàm số đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn sao cho thì:

.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

  Vậy: 

II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên thì:

          Hay

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Cách đặt và   trong phương pháp tích phân từng phần.

Chú ý: Nên chọn là phần của mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn là phần của là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

1. Tích phân hàm hữu tỉ

Dạng 1:       ( với )

Chú ý: Nếu

Dạng 2:   ( với mọi )

Xét .

+ Nếu : 

thì :

+ Nếu : thì 

+ Nếu thì

Đặt

Dạng 3: .

(trong đó liên tục trên đoạn )

         +) Bằng ph­ương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm và sao cho:        

         +) Ta có 

   .            Tích phân  

           Tích phân   thuộc dạng 2.

Tính tích phân với P(x) và Q(x) là đa thức của x.

• Nếu bậc của lớn hơn hoặc bằng bậc của thì dùng phép chia đa thức.
• Nếu bậc của nhỏ hơn bậc của thì xét các trường hợp:

+ Khi chỉ có nghiệm đơn thì đặt

.

+ Khi có nghiệm đơn và vô nghiệm thì đặt

+ Khi có nghiệm bội

với thì đặt:

.

với thì đặt:

.

2. Tích phân hàm vô tỉ

     trong đó có dạng:

  +) . Đặt , 

  +) . Đặt hoặc

  +) . Đặt

  +)

Với . Đặt hoặc

  +)  . Đặt ,

  +) . Đặt ,

  +) Gọi . Đặt

a. Tích phân dạng :

Từ :

Khi đó ta có  :

* Nếu (1)

* Nếu : (2)

* Nếu : .

  + Với :    (3)

  + Với : (4)

Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :

     Phương pháp :

* Trường hợp :

Khi đó đặt :

* Trường hợp :

Khi đó :

* Trường hợp :

- Đặt :

* Trường hợp :

- Đặt :

b. Tích phân dạng :

     Phương pháp :

+Bước 1: Phân tích

+Bước 2: Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A,B

+Bước 3: Giải hệ tìm A,B thay vào (1)

+Bước4 : Tính (2)

Trong đó  đã biết cách tính ở trên.

c. Tích phân dạng :

     Phương pháp :

+Bước 1: Phân tích : . (1)

+Bước 2: Đặt :

+Bước 3: Thay tất cả vào (1) thì có dạng : .

Tích phân này chúng ta đã biết cách tính .