Ôn 10- Hàm số

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ

ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG - ĐƯỜNG ĐI QUA ĐIỂM

Bài toán: Cho (C) là đồ thị hàm số y = f(x) và một điểm A(x­A ; yA­). Hỏi (C) có đi qua A không

Phương pháp giải:

Đồ thị (C) đi qua A(x­A ; yA­) khi và chỉ khi toạ độ của A nghiệm đúng phương trình của (C)

- A (C)  yA = f(xA)

Do đ ó : T ính  yA = f(xA)

-         N ếu f(xA) = yA th ì (C) đi qua A

-         N ếu f(xA) yA thì (C) kh ông đi qua A

LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

BÀI TOÁN 1:

Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm A(xA; yA) và có hệ số góc bằng k

Cách giải:

- Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là:

                                     y = ax + b    (*)

+ Xác định a:

   Theo giả thiết ta có : a = k  => y = kx + b

+ Xác định b :

   (D) đi qua A(xA ; yA)   yA = kxA + b => b = yA – kxA

Thay a = k và b = yA – kxA vào (*) ta được phương trình của (D)

BÀI TOÁN 2:

Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua 2 điểm A(xA; yA) và B(xB ; yB)

Cách giải:

- phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là :

                                y = ax + b

(D) đi qua A và B nên ta có :   

Giải hệ phương trình tìm được a, b . Suy ra phương trình của (D)

BÀI TOÁN 3 :

Lập phương trình của đường thẳng (D) có hệ số góc k và tiếp xúc với đường cong (P) :

y = f(x)

Các giải :

-         Phương trình của (D) có dạng : y = ax + b

-         Phương trình hoành độ giáo điểm của (D) và (P) là :

                 f(x) = kx + b   (1)

-         (D) tiếp xúc với (P)  phương trình (1) có nghiệm kép  = 0

Từ điều kiện này tìm được b .Suy ra hương trình của (D)

BÀI TOÁN 4 :

Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua A(xA ; yA) và tiếp xúc với đường cong (P) :

y = f(x) .

Cách giải :

- Phương trình đường thẳng của (D) là : y = ax  + b

- Phương trình hoành độ giao điểm  của (D) và (P) là :

                                f (x) = ax + b   (1)

(D) tiếp xúc với (P)  phương trình (1) có nghiệm kép.Từ điều kiện này tìm ra được hệ thức giữa a và b (2)

Mặt khác : (D) đi qua A(xA ; yA) do đó ta có :

                              yA = axA + b  (3)

Từ (2) và (3) suy ra a và b suy ra phương trình của (D)

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Bài toán : Cho (C ) và (L) theo thứ tự là đồ thị của các hàm số:

                                             y = f(x)

                                             y = g(x)

Khảo sát sự tương giao của hai đồ thị.

Cách giải:

Toạ độ giao điểm của (C ) và (L) là nghiệm của hệ phương trình

                                         (I)

Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và (L) là:

                                     f(x) = g(x)     (1)

-         Nếu (1) vô nghiệm  (I) vô nghiệm  (C) và (L) không có điểm chung

-         Nếu (1) có nghiệm kép  (I) có nghiệm kép  (C) và (L) tiếp xúc nhau

-         Nếu (1) có 1 nghiệm hoặc 2 nghiệm  (I) có 1 hoặc 2 nghiệm  (C) và (L) có 1 hoặc hai điểm chung.

BÀI TẬP

Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm A (-2 ; 2 ) và đường thẳng (D) : y = - 2(x + 1)

a)    Hỏi điểm A có thuộc (D) không

b)    Tìm a trong hàm số y = ax2 có đò thị (P) đi qua A

Giải:

a)Thay x = -2 vào vế phải của phương trình đường thẳng (D) ta có : y = -2(-2 + 1) = 2

Vậy điểm A(-2 ; 2) có thuộc đường thẳng (D)

b) Vì đồ thị (P) đi qua A nên ta có : 2 = a (-2)2 => a =

Bài 2 : Cho parabol (P): y = x2 .Lập phương trình đường thẳng (D)  song song với đường thẳng (D/ ) : y = 2x và tiếp xúc với (P)

Giải:

Phương trình đường thẳng (D) cần tìm có dạng: y =  ax + b

Đường thẳng (D) song song với đường thẳng (D/) nên a = 2 => y = 2x + b

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (D) và parabol (P) là:

    x2 = 2x + b x2 – 2x – b = 0  (1)

(D) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép = 0 1 + b = 0 => b = -1

Vậy phương trình đường thẳng (D) là: y = 2x - 1

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ cho 2 đường thẳng (d1) : y = 2x – 7 và (d2): y = - x- 1

a)     Vẽ đường thẳng (d1) và (d2)

b)    Tìm toạ độ giao điểm của (d1) và (d2) bằng đồ thị. Rồi kiểm tra lại bằng phép tính

Giải:

a)     HS tự vẽ

b)    Gọi giao điểm của (d1) và (d2) là M khi đó hoành độ của điểm m là nghiệm của phương trình: 2x – 7 = - x- 1 x = 2

Tung độ của điểm M là y =  - 2 – 1 = - 3

Vậy toạ độ giao điểm của (d1) và (d2) l à : M(2 ;-3)

Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ cho hai điểm A(0; - 1) và B( 1; 2)

a)     Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B

b)    Điểm C(- 1;- 4) có nằm trên đường thẳng đó không

Giải:

a)     Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (D) : y = ax + b

          Đường thẳng (D) đi qua A và B nên ta có :

        Giải hệ phương trình ta được : a = 3 ; b = -1

        Vậy phương trình đường thẳng cần tìn là (D) : y = 3x – 1

b)    Với x = -1 thì y = 3(-1) – 1 = - 4 .Do đó điểm C(- 1;- 4) nằm trên đường thẳng (D)

Bài 5: Với giá trị nào của m thì đường thẳng :

                                 (d1) : y = (m – 1)x   ; (d2­) : y = 3x – 1

a)     song song với nhau

b)    Cắt nhau

c)     Vuông góc với nhau

Gi ải:

a)     (d1) // (d2)    m – 1 =  3 m = 4

b)    (d1) cắt (d2)  m – 1 3 m 4

c)     (d1) vuông góc (d2)  (m – 1).3 = -1  m =

Bài 6: Tìm giá trị của a để 3 đường thẳng : (d1): y = 2x – 5 ;  (d2) : y = x +2 

        (d3) : y = ax – 12  . Đồng quy tại 1 điểm

Giải:

Ta thấy  hai đường thẳng  (d1) v à (d2) có hệ số góc khác nhau nên (d1) và (d2) chắc chắn cắt nhau. Gọi giao điểm của  (d1) và (d2) l à M

Hoành độ của điểm M là nghiệm của phương trình : 2x – 5 = x +2  =>  x = 7

Tung độ của M là y = 7 + 2 = 9 .Do đó  M( 7 ; 9)

Đ ể 3 đ ường thẳng  trên đồng quy tại 1 điểm thì dường thẳng (d3) phải đi qua điểm M(7 ;9)

9 = a.7 – 12  a = 3

Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A( - 2;2) và đường thẳng (d1): y = -2(x+1)

1)    Giải thích tại sao A nằm trên (d1)

2)    Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị(P) đi qua A

3)    Viết phương trình đường thẳng (d2) qua A và vuông góc với (d1)

4)    Gọi A và B là giao điểm của (P) và (d2); C là giao điểm của (d1) với trục tung .Tìm toạ độ giao điểm của B và C .Tính diện tích tam giác ABC

Giải:

  Câu 1) 2) xem bài 1

3) Gọi phương trình đường thẳng (d2) là : y = ax + b

Vì đường thẳng (d2) vuông góc với (d1) => a.(-2) = -1 => a =

Mặt khác đường thẳng (d2) đi qua điểm A(- 2 ; 2) nên ta có x = -2  , y = 2

Thay a = ; x = -2  ; y = 2 vào y = ax + b ta có : 2 = (-2) + b => b = 3

Vậy phương trình đường thẳng (d2) là : y = x + 3

4)                           

Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình : x2 = x + 3 .giải phương trình này ta được x1 = 2 ( chính là hoành độ của điểm A) x2 = 3 là hoành độ điểm B.Khi đó tung độ điểm B là y = .32 = .Vậy toạ độ của điểm B( 3 ; )

Toạ độ  C(0 ; - 2)

Ta có AB = =   =   =

          AC =   = = 2

SABC = AB.AC = ..2 = (đvdt)

Bài 8 : Trong cùng hệ trục toạ độ , gọi (P) là đồ thị hàm số y = x2 và (D) là đồ thị hàm số

              y = - x + 2

a) Vẽ (P) và (D)

b) Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (D) bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phép tính.

c) Tìm a và b trong hàm số y = ax + b, biết rằng đồ thị (d/) của hàm số này song song với (D) và cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng – 1

Giải:

a) Vẽ (P) và (D):

b)Dựa vào đồ thị ta có A( 2;4)  ,  B( 1 ;2) .Kiểm tra bằng cách thay toạ độ của các điểm A và B vào 2 hàm số ta thấy đều thoả mãn.

c) Đường thẳng (d/) song song với đường thẳng (D) nên a = -1. Mặt khác (d/) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng -1 ,tức là (d/) đi qua điểm (-1; 1) => x = -1 , y = 1

Thay a = -1 . x = -1 , y = 1 vào phương trình của đường thẳng (d/) ta có :

   1 = (-1)(-1) + b  => b = 0

Vậy phương trình của đường thẳng (d/) là : y = - x

Bài 9: Cho hàm số : y = - x2   (P)

a)     Vẽ đồ thị (P)

b)    Tìm giá trị của m để đường thẳng  y = 2x + m cắt đồ thị (P) tại 2 điểm phân biệt .

Giải :

a)Lập bảng giá trị :

c)     Phương trình hoành độ giao điểm  của đường thẳng (D) : y = 2x + m  và parabol(P)

l à :  - x2  = 2x + m   x2 + 4x + 2m  = 0  (1)

Để (D) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

      > 0       4 – 2m > 0  m < 2

Vậy với m < 2 thì đường thẳng (D) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Bài 10 : Trên cùng hệ trục toạ độ cho đường thẳng (D) và parabol (P) có phương trình :

                                    (D) : y = k(x -1)

                                    (P) : y = x2- 3 x + 2

a) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của k , (D) và (P) luôn có điểm chung

b) Trong trường hợp (D) tiếp xúc với (P) .Tìm toạ độ tiếp điểm.

Giải:

a)Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là:

               x2 – 3x + 2 = k(x -1) x2 – (3+ k)x +2 + k = 0  (1)

Phương trình (1) có : = ( 3 + k)2 – 4 ( 2 + k) = 9 + 6k + k2 – 8 – 4k = k2 + 2k + 1

                                      = (k + 1)2    0    với mọi k

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi k .Do đó đường thẳng (D) và parabol (P) luôn có điểm chung

b) (D) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép = 0 (k + 1)2  = 0

     k = - 1 ,Khi đó  phương trình (1) có nghiệm là x = = = 1 (Đây chính là hoành độ giao điểm của (D) và (P) ).Tung độ giao điểm là: y  =  0

Vậy toạ độ tiếp điểm là : (1 ;0 )

Bài 11: Cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P) đi qua điểm A(-2;4) và tiếp xúc với đường thẳng (D) của hàm số : y = (m-1)x – (m – 1)

a)     Tìm a , m và toạ độ tiếp điểm.

b)    Vẽ đồ thị (P) và (D) với a , m tìm được trên cùng hệ trục toạ độ.

Giải:

a)     Đồ thị (P) đi qua điểm A(-2; 4) nên ta có : 4 = a.(-2)2 => a = 1 => (P) : y = x2

Đề (P) tiếp xúc với (D) thì phương trình : (m -1)x – (m -1) = x2  có nghiệm kép

x2 – (m -1)x + (m-1) = 0  có nghiệm kép

= 0 (m -1)2 – 4(m-1) = 0 (m -1)(m-1- 4) = 0 (m – 1)(m – 5) = 0

*)Với m = 1 => x = =  = 0  (đây là hoành độ tiếp điểm) , tung độ tiếp điểm là:

y = 0.Vậy toạ độ tiếp điểm thứ  là : (0 ; 0 ) Chính là gốc toạ độ. Khi đó đường thẳng (D) trùng với trục hoành Ox

*) Với m  = 5 => x = = = 2 (là hoành độ tiếp điểm  ) ,tung độ tiếp điểm là:

y = 4 . Vậy toạ độ tiếp điểm thứ 2 là : ( 2 ; 4)

b) Ta vẽ đồ thị hàm số : y = x2 .

Khi m = 1 đường thẳng (D) trùng với trục hoành

Khi m = 5 đường thẳng (D) có phương trình là : y = 4x – 4

Có đồ thị như sau :

Bài 12: Trên cùng hệ trục toạ độ cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (D) : y = 2x + m

a)     Vẽ P.

b)    Tìm m để (D) tiếp xúc với (P)

(Hướng dẫn : xem bài 11)

Bài 13: Trong cùng hệ trục toạ độ gọi (P) và (D) lần lượt là đồ thị hàm số :

                                            y = - và y = x + 1

a) Vẽ (P) và (D)

b) Dùng đồ thị hàm số để giải phương trình : x2  + 4x  + 4 = 0

c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với (D) và cắt (P) tại điểm có tung độ là – 4

Giải:

a) Vẽ (P) và (D):

c)     Phương trình : x2 + 4x + 4 = 0 (1)  - x2  =  4x + 4  - = x + 1

Đặt y = -   => y = x + 1  là hai đồ thị hàm số đã vẽ ở câu a) Do đó nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giáo điểm của 2 đồ thi trên. Dựa vào đồ thị ta có: Hai đồ thị tiếp xúc nhau tại điểm có  hoành độ là – 2 .Nên nghiệm của phương trình đã cho là x = -2

d)    Gọi phương trình đường thẳng (d) cần tìm là : y = ax + b

Vì (d) // (D) => a = 1

Vì (d) cắt (P) tại điểm có tung độ bằng – 4 => hoành độ của đó là : x = 4 .Tức là đường thẳng (d) đi qua điểm ( 4; - 4 ) nên ta có :

- 4 = 1. 4 + b => b = - 8.Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = x – 8.

Bài 14: Cho hàm số : y = x2  và y = x + m

a)     Tìm m sao cho đồ thị (P) của y = x2 và độ thị (D) của y = x + m có 2 giao điểm phân biệt A và B

b)    Tìm phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (D) tiếp xúc với (P)

c)     Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai giao điểm theo toạ độ của 2 điểm ấy. Áp dụng : Tìm m sao cho khoảng cách giữa 2 điểm A và B ở câu a) là 3

Giải :

a)     Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là :

                         x2  = x + m x2 – x – m = 0  (1)

       (D) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

         > 0    (-1)2 – 4.1.(-m) > 0 1 + 4m > 0 m > -

b)    Gọi phương trình đường thẳng (d) cần tìm : y = ax + b

Vì (d ) (D) =>  a.1 = -1 => a = -1 => y = -x + b

Phương trình hoành độ giáo điểm của (d) và (P) là : x2 = - x + b x2 + x  - b = 0 (2)

Phương trình (2) có : = 1 + 4b

(d) tiếp xúc  (P) phương trình (2) có nghiệm kép = 1 + 4b = 0 => b = -

         Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là :  y = - x -

c)     Giả sử A(xA; yA) và B(xB; yB) (Hình vẽ)

     Khoảng cách giữa hai điểm xA , xB trên trục Ox bằng .Khoảng cách giữa hai điểm  

      yA , yB trên trục Oy bằng

Trong tam giác vuông ABC ta có : AB2 = AC2  + BC2

                                        = ( xB – xA)2 + (yB – yA )2

                                                               => AB =

Theo câu a) ta có : Với m > - phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt là:

                     x1 =     ; x2 =

Với   x1 =     => y1 =

        x2 =    => y2 = 

Gọi A( ; )   và B( ; )

Áp dụng công thức trên ta có :

     AB =

            =   =   =

     AB = 3 = 3 2+ 8m = 18 m = 2

Trả lời : m = 2 là giá trị cần tìm

Bài 15 : Trong cùng hệ trục toạ độ , gọi (P) là đồ thị hàm số : y = x2 ,

              (D) là đồ thị hàm số :y = x + 2

a) Vẽ (D) và (P)

b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (D) bằng đồ thị và bằng phép toán

Giải:

a)Vẽ (D) và (P)

b) Dựa vào đồ thị ta có đường thẳng (D) cắt parabol (P) tại hai điểm M(-2 ; 1) và N(4 ; 4)

Kiểm tra bằng phép tính :

Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là :

                               x2 = x + 2  x2 – 2x – 8 = 0 (1)

Có : = 1 + 8 = 9 => = 3 => phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt :

                      x1 = 1 – 3 = - 2 ;         x2 = 1 + 3 = 4

Do đó đường thẳng (D) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt ,có hoành độ giao điểm lần lượt là -2   ,   4

Với x1 = - 2  => y1 =  (-2)2 = 1   => M(-2 ; 1)

Với x2 =  4    => y2 = . 42 = 4     => N( 4 ;  4)

Bài 16: Cho parabol (P) : y = - và điểm M (1 ; -2)

a)     Viết phương trình đường thẳng (D) qua M và có hệ số góc là m

b)    Chứng minh rằng (D) luôn luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m thay đổi

Giải :

a)     Phương trình đường thẳng (D) cần tìm có dạng: y = mx + b

Vì (D) đi qua M(1 ; -2) => -2 = m.1 + b => b = - m – 2

Vậy phương trình đường thẳng (D) cần tìm là : y = mx – m – 2

b)Ta có phương trình hoành độ giáo điểm của (D) và (P) là :

                 - = mx – m – 2 x2 + 4mx – 4m – 8 = 0 (1)

Phương trình (1) có: = 4m2 + 4m + 8 = 4m2 + 4m + 1 + 7

                                      = (2m + 1)2 + 7 > 0 với mọi m

Nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Do đó đường thẳng (D) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m thay đổi.

Bài 17 : Trong cùng hệ trục toạ độ vuông góc cho parabol (P) : y = - x2 và đường thẳng (D) : y = mx – 2m – 1

1)    Vẽ (P)

2)    Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)

3)    Chứng tỏ (D) luôn luôn qua điểm cố định A thuộc (P)

Giải :

1)    Tự vẽ

2)    Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là : - x2 = mx – 2m – 1

               x2 + 4mx – 8m – 4 = 0  (1)

(D) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép = 0

            4m2 + 8m + 4 = 0 (2m + 2)2 = 0 2m + 2 = 0 m = -1

Vậy m = -1 thì (D) tiếp xúc với (P)