OÂN TAÄP VEÀ HAØM SOÁ BAÄC 3

 

(GV Dương Đức Hiền)

 

Giaû söû : y = ax3 + bx2 + cx + d vôùi a 0 coù ñoà thò laø (C). y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b

1) y” = 0 x = (a 0 )

 x = laø hoaønh ñoä ñieåm uoán. Ñoà thò haøm baäc 3 nhaän ñieåm uoán laøm taâm ñoái xöùng.

 

2) Ñeå veõ ñoà thò 1 haøm soá baäc 3, ta caàn bieát caùc tröôøng hôïp sau :

i) a > 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm haøm soá taêng treân R (luoân luoân taêng)

ii) a < 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm haøm soá giaûm (nghòch bieán) treân R (luoân luoân giaûm)

iii) a > 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2

  haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x1 vaø ñaït cöïc tieåu taïi x2.

 Ngoaøi ra ta coøn coù :

 +  x1 + x2 = 2x0 vôùi x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán.

 + haøm soá taêng treân (, x1)

 +  haøm soá taêng treân (x2, +)

 + haøm soá giaûm treân (x1, x2)

iv) a < 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2

  haøm ñaït cöïc tieåu taïi x1 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x2 thoûa ñieàu kieän x1 + x2 = 2x0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán). Ta cuõng coù :

 + haøm soá giaûm treân (, x1)

 + haøm soá giaûm treân (x2, +)

 + haøm soá taêng treân (x1, x2)

 

3) Giaû söû y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät vaø y = k(Ax + B)y’ + r x + q vôùi k laø haèng soá khaùc 0;

 thì phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò laø y = r x + q

 

4) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät

 

 

5) Giaû söû a > 0 ta coù :

i) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät >

 

ii) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät <

 

Töông töï khi a < 0 .

6) Tieáp tuyeán : Goïi I laø ñieåm uoán. Cho M (C).

 Neáu M I thì ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M.

 Neáu M khaùc I thì ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M.

 Bieän luaän soá tieáp tuyeán qua 1 ñieåm N khoâng naèm treân (C) ta coù nhieàu tröôøng hôïp hôn.

 

7) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät caùch ñeàu nhau y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät vaø y(x0) = 0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán)

 

8) Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) (a 0) khi x = laø 1 nghieäm cuûa (1).

 Neáu x = laø 1 nghieäm cuûa (1), ta coù

   ax3 + bx2 + cx + d = (x - )(ax2 + b1x + c1)

 nghieäm cuûa (1) laø x = vôùi nghieäm cuûa phöông trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2). Ta coù caùc tröôøng hôïp sau:

i) neáu (2) voâ nghieäm thì (1) coù duy nhaát nghieäm x =

ii) neáu (2) coù nghieäm keùp x = thì (1) coù duy nhaát nghieäm x =

iii) neáu (2) coù 2 nghieäm phaân bieät thì (1) coù 3 nghieäm phaân bieät

iv) neáu (2) coù 1 nghieäm x = vaø 1 nghieäm khaùc thì (1) coù 2 nghieäm.

v) neáu (2) coù nghieäm keùp thì (1) coù 2 nghieäm

BAØI TAÄP OÂN VEÀ HAØM BAÄC 3

 Cho hoï ñöôøng cong baäc ba (Cm) v hoï ñöôøng thaúng (Dk) laàn löôït coù phöông trình laø

  y = x3 + mx2 m vaø   y = kx + k + 1.

  (I) PHAÀN I. Trong phaàn naøy cho m = 3. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.

1) Goïi A vaø B laø 2 ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa (C) vaø M laø ñieåm baát kyø treân cung AB vôùi M khaùc A , Bø  . Chöùng minh raèng treân (C) ta tìm ñöôïc hai ñieåm taïi ñoù coù tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M vôùi (C).

2) Goïi laø ñöôøng thaúng coù phöông trình y = 1. Bieän luaän soá tieáp tuyeán vôùi (C) veõ töø E vôùi (C).

3) Tìm E ñeå qua E coù ba  tieáp tuyeán vôùi (C) vaø coù hai tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau.

4) Ñònh p ñeå treân (C) coù 2 tieáp tuyeán coù heä soá goùc baèng p, trong tröôøng hôïp naøy chöùng toû trung ñieåm cuûa hai tieáp ñieåm laø ñieåm coá ñònh.

5) Tìm M (C) ñeå qua M chæ coù moät tieáp tuyeán vôùi (C).

 (II) PHAÀN  I I.Trong phaàn naøy cho tham soá m thay ñoåi.

6) Tìm ñieåm coá ñònh cuûa (Cm). Ñònh m ñeå hai tieáp tuyeán taïi hai ñieåm coá ñònh naøy vuoâng goùc nhau.

7) Ñònh m ñeå (Cm) coù 2 ñieåm cöïc trò. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò.

8) Ñònh m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät.

9)  Ñònh m ñeå : a) haøm soá ñoàng bieán trong (1, 2).    b) haøm soá nghòch bieán trong (0, +).

10) Tìm m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm coù hoaønh ñoä taïo thaønh caáp soá coäng.

11) Tìm ñieàu kieän giöõa k vaø m ñeå (Dk) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät. Tìm k ñeå (Dk) caét (Cm) thaønh hai ñoaïn baèng nhau.

12) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C­m) vaø ñi qua ñieåm (-1, 1).

13) Chöùng minh raèng trong caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát.

 

BAØI GIAÛI

 

PHAÀN I : m = 3

 Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (ñoäc giaû töï laøm)

 

1)  Goïi n laø hoaønh ñoä cuûa M. Vì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x = 0 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2 neân 0 < n < 2; y' = – 3x2 + 6x heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán taïi M laø k1 = – 3n2 + 6n (0, 3] (vì n (0, 2)). Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M coù heä soá goùc laø k2 = (vôùi 0 < k1 3). Hoaønh ñoä cuûa tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán M laø nghieäm cuûa – 3x2 + 6x = (= k2) 3x2 – 6x = 0. Phöông trình naøy coù a.c < 0, k1 (0, 3] neân coù 2 nghieäm phaân bieät, k1 (0, 3]. Vaäy treân (C) luoân coù 2 ñieåm phaân bieät maø tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M.

 

2) E (e, 1) . Phöông trình tieáp tuyeán qua E coù daïng y = h(x – e) + 1 (D). (D) tieáp xuùc (C) heä    coù nghieäm.

  Phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (C) laø :

    – x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1  (1)

    – x3 + 3x2 – 4 = x(– 3x + 6)(x – e)

     (x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)

    x = 2 hay x2 – x – 2 = 3x2 – 3ex

    x = 2 hay 2x2 – (3e – 1)x + 2 = 0  (2)

 (2) coù  = (3e – 1)2 – 16 = (3e – 5)(3e + 3)

 (2) coù nghieäm x = 2 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 e = 2

 Ta coù > 0 e < – 1 hay e > .

Bieän luaän :

i) Neáu e < – 1 hay < e < 2 hay e > 2

  (1) coù 3 nghieäm phaân bieät coù 3 tieáp tuyeán.

ii) Neáu e = – 1 hay e = hay e = 2

  (1) coù 2 nghieäm coù 2 tieáp tuyeán.

iii) Neáu – 1 < e < (1) coù 1 nghieäm coù 1 tieáp tuyeán.

Nhaän xeùt : Töø ñoà thò, ta coù y = 1 laø tieáp tuyeán taïi (2, 1) neân phöông trình (1) chaéc chaén coù nghieäm x = 2, e.

3) Vì y = 1 laø tieáp tuyeán qua E (e, 1), e vaø ñöôøng x = khoâng laø tieáp tuyeán neân yeâu caàu baøi toaùn.

   (2) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa  : y'(x1).y'(x2) = – 1

  

  

  

  e = . Vaäy E

4) Tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán (vôùi (C)) coù heä soá goùc baèng p laø nghieäm cuûa :    

   y' = p 3x2 – 6x + p = 0     (3)

 Ta coù  ' = 9 – 3p > 0    p < 3

 Vaäy khi p < 3 thì coù 2 tieáp tuyeán song song vaø coù heä soá goùc baèng p.

 Goïi x3, x4 laø nghieäm cuûa (3).

 Goïi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) laø 2 tieáp ñieåm. Ta coù :

   

   

 Vaäy ñieåm coá ñònh (1, –1) (ñieåm uoán) laø trung ñieåm cuûa M3M4.

5) Caùch 1 : Ñoái vôùi haøm baäc 3 (a 0) ta deã daøng chöùng minh ñöôïc raèng :

      M (C), ta coù :

i) Neáu M khaùc ñieåm uoán, ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M.

ii) Neáu M laø ñieåm uoán, ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M.

 Caùch 2 : Goïi M(x0, y0) (C). Phöông trình tieáp tuyeán qua M coù daïng :

  y = k(x – x0       (D)

 Phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (C) laø :

    ( 5 )

  

  

  

  

  

 Do ñoù, coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M (x0, y0) (C)

  

 Suy ra, y0 = 1. Vaäy M(1, –1)  (ñieåm uoán).

       Nhaän xeùt : vì x0 laø 1 hoaønh ñoä tieáp ñieåm neân pt (5) chaéc chaén coù nghieäm keùp laø x0

Phaàn II : Tham soá m thay ñoåi. y' = – 3x2 + 2mx

6) (Cm) qua (x, y), m

  y + x3 = m (x2 – 1)  ,  m

  

 Vaäy (Cm) qua 2 ñieåm coá ñònh laø H(1, –1) vaø K(–1, 1).

 Vì y' = – 3x2 + 2mx neân tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi H vaø K coù heä soá goùc laàn löôït laø :

  a1 = y'(1) = – 3 + 2m vaø a2 = y'(–1) = –3 – 2m.

 2 tieáp tuyeán taïi H vaø K vuoâng goùc nhau.

  a1.a2 = – 1 9 – 4m2 = – 1 m = .

7) Haøm coù cöïc trò y' = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät.

  3x2 = 2mx coù 2 nghieäm phaân bieät.

  x = 0 vaø x = laø 2 nghieäm phaân bieät.

  m 0. Khi ñoù, ta coù :

  

 vaø phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 cöïc trò laø :

     (vôùi m 0)

8) Khi m 0, goïi x1, x2 laø nghieäm cuûa y' = 0, ta coù :

  x1.x2 = 0 vaø x1 + x2 =

  y(x1).y(x2) =

   

 Vôùi m 0, ta coù y(x1).y(x2) < 0

      

       

 Vaäy (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät.

         

       

Nhaän xeùt :

i) Khi thì phöông trình y = 0 coù 2 nghieäm aâm vaø 1 nghieäm döông.

ii) Khi thì phöông trình y = 0 coù 2 nghieäm döông vaø 1 nghieäm aâm.

9) a) Haøm ñoàng bieán treân (1,2) – 3x2 + 2mx 0, x (1,2). Neáu m 0 ta coù hoaønh ñoä 2 ñieåm cöïc trò laø 0 vaø .

i) Neáu m < 0 thì haøm chæ ñoàng bieán treân . Vaäy loaïi tröôøng hôïp m < 0

ii) Neáu m = 0 haøm luoân nghòch bieán (loaïi).

 

iii) Neáu m > 0 thì haøm chæ ñoàng bieán treân

 Do ñoù, ycbt   m > 0 vaø

          

 b) Töø caâu a, ta loaïi tröôøng hôïp m > 0.

 Khi m 0 ta coù haøm soá nghòch bieán treân vaø haøm soá cuõng nghòch bieán treân [0, +).

  Vaäy ñeå haøm nghòch bieán treân [0, +) thì m 0.

Ghi chuù : neân laäp baûng bieán thieân ñeå thaáy roõ raøng hôn.

10)  y" = – 6x + 2m , y" = 0 x =

 (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm caùch ñeàu nhau.

  y = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät vaø ñieåm uoán naèm treân truïc hoaønh.

  

  

11) Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø (Dk) laø

  – x3 + mx2 – m = kx + k + 1

  m(x2 – 1) = k(x + 1) + 1 + x3

  x + 1 = 0   m(x – 1) = k + 1 – x + x2

  x = – 1 hay x2 – (m + 1)x + k + m + 1 = 0 (11)

a) Do ñoù, (Dk) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät

  (11) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc – 1

  

   (*) 

b) Vì (Dk) qua ñieåm K(–1,1) (Cm) neân ta coù :

 (Dk) caét (Cm) thaønh 2 ñoaïn baèng nhau.

  (Dk) qua ñieåm uoán cuûa (Cm)

  

     (**)

 Vaäy ycbt k thoûa (*) vaø (**).

12) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) ñi qua (–1,1) coù daïng :

  y = k(x + 1) + 1  (Dk)

 Vaäy, phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (Dk) vaø (Cm) laø :

  – x3 + mx2 – m = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1  (12)

  m(x2 – 1) = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 + x3

  x + 1 = 0    m(x – 1) = – 3x2 + 2mx + 1 – x + x2

  x = – 1  hay  2x2 + (1 – m)x – m – 1 = 0   (13)

  x = – 1   

  y' (–1) = – 2m – 3

   = (m2 – 2m – 3)

 Vaäy phöông trình cuûa 2 tieáp tuyeán qua (–1, 1) laø :

   y = – (2m + 3)(x + 1) + 1

   y = (m2 – 2m – 3)(x + 1) + 1

Nhaän xeùt : Coù 1 tieáp tuyeán taïi tieáp ñieåm (–1, 1) neân phöông trình (12) chaéc chaén coù nghieäm keùp laø x = – 1 vaø phöông trình (13) chaéc chaén coù nghieäm laø x = – 1.

13) Caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi tieáp ñieåm cuûa hoaønh ñoä x coù heä soá goùc laø :

   h = – 3x2 + 2mx

 Ta coù h ñaït cöïc ñaïi vaø laø max  khi  (hoaønh ñoä ñieåm uoán)

 Vaäy tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát.

 

Nhaän xeùt

Ghi chuù : Ñoái vôùi haøm baäc 3

  y = ax3 + bx2 + cx + d, ta coù :

i) Neáu a > 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc nhoû nhaát.

ii) Neáu a < 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát.

 

nguon VI OLET