ÔN TẬP ĐẠO HÀM 11
Hoạt động 1: Củng cố định nghĩa đạo hàm tại một điểm và các công thức tính đạo hàm
Định nghĩa : Cho hàm số 
xác định trên khoảng 
và 
, đạo hàm của hàm số tại điểm 
là : 
.
Chú ý :
-
Nếu kí hiệu
thì :
.
-
Nếu hàm số có đạo hàm tại
thì nó liên tục tại điểm đó.
Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm
Các quy tắc : Cho 
là hằng số .
Các công thức :
Hoạt động 2: Tìm đạo hàm theo định nghĩa
Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có 2 cách sau :
Bước 1 : Cho 
một số gia 
và tìm số gia 
tìm 
. Lập tỉ số 
Bước 2 : Tìm giới hạn 
Cách 2 : Áp dụng công thức:
Bài 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:
a) 
tại 
. Cho x0 = 1 một số gia 
vậy ta có: 
Vậy 
b) 
tại x0 = –3. Cho x0 = -3 một số gia vậy ta có: 
Vậy 
c) 
tại x0 = 2 f) 
tại x0 = 0
Bài 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:
a)
tại x
=4 b)
tại x
=1. c) 
tại x=2.
d)
tại x=0. e)
tại x=
f)
tại x=
.
Hoạt động 2: Rèn các công thức tính đạo hàm theo công thức
Phương pháp: Nắm chắc công thức và áp dụng vào tính
Bài 3: Tính các đạo hàm sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau :
a/ 
b/ 
c/ 
d/ 
Giải
a/ 
b/ 
c/ 
d/
Bài 5: Tính các đạo hàm sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Bài 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1. y = x3-3x2 – 
+ 3 + 2 sinx 2. y = 
3. y = (x2 -11)(2x3 – x2 + x – 3) 4. y= 
5. y = (x8 – x)10 6. y = x
7. y= 
8. y = cos
9.y=sin(cos23x) 10*. y= sin [cos2(tan3x) ]
11, 
12, 
13, 
14, 
15, f(x) = 
y’ = 
= 
16, g(x) = cos2x + cos2
g’(x) = - 2cosxsinx – 2cos
= - sin2x -sin
= - sin2x + 2cos
sin(-2x) = -sin2x + sin2x = 0
Bài 8: Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm của các hàm số sau đây trên 
.
a)
;
Ta có 
,
.
Vậy 
. Vậy hàm số liên tục tại x = 1
Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại x = 1
b)
Ta có 
,
.
Vậy để hàm số liên tục trên R thì a = 0
không tồn tại đạo hàm phải tại 0
. Vậy với mọi a, b hàm số có đạo hàm trái tại 0 nhưng không tồn tại đạo hàm tại 0
c) 
Vậy ta sẽ xét tại x = 1 và x = 2
Tại x = 1
Ta có 
,
.
Vậy 
. Vậy hàm số liên tục tại x = 1
.
Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 1
Tương tự tại x = 2
d) 
Bài 9*: Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
1) 
Giải:
Ta có: 
Ta dự đoán y(n) = (-1)n 
(*). Ta chứng minh (*) bằng quy nạp.
Từ (1) suy ra (*)đúng khi n = 1
Giả sử (*)đúng với n = k, ta có 
. Ta chứng minh (*)đúng với n = k+1
Lấy đạo hàm hai vế của (2) ta được:
= 
. Vậy với mọi n N*, ta có: 
1) y = 
. 3) y = sinx; 4) y= sin4x +cos4x; 5)y= 
Hoạt động 3: Ôn tập giải các PT, BPT chứa đạo hàm
Phương pháp : Tính đạo hàm trước sau đó giải PT, BPT
Bài 10 Giải các bất phương trình sau:
1, y’ > 0 với 
2, y’ < 4 với 
3, y’ ≥ 0 với 
4, y’>0 với 
5, y’≤ 0 với 
6, 
với 
Bài 11:a) Cho 
. Tính 
Tính 
, 
,
a) - Ta có 
Suy ra = 
. Vậy = 2 + 
b)Ta có 
b) Cho 
. Giải pt 
Bài 12: Cho hàm số : 
. Tìm 
để :
a)
b)
c)
d) 
Giải
f’(x) = x2 – 4x + m
a) 
b) 
Bảng biến thiên của hàm y = h(x) (Làm cho các câu tiếp)
Vậy m >
c)
d)
Bài 13: Cho hàm số : 
. Tìm để :
a) 
b)
có hai nghiệm cùng dấu
Giải
y’ = mx2 – mx + (4-m)
Nến m = 0 thì y’ = 4 > 0 không thỏa mãn
Nếu 
để 
vô nghiệm
b) có hai nghiệm trái dấu cần: 
Bài 14: Giải phương trình y’ = 0
a)
b) 
c)
Bài 15: Cho 
.
a) Giải PT:
b) Tính 
Bài 16: Giải phương trình 
biết :
a) 
; b) 
;
c) 
; d) 
.
Hoạt động 3 : Chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm
Phương pháp : Tính đạo hàm sau đó thay vào để hai vế bằng nhau
Bài 18 : Chứng minh rằng các hàm số sau thoả mãn các hệ thức:
a, 
thoả mãn: 
.
Ta có f’(x) = 5x4 + 3x2 – 2, f’(1) = 6, f’(-1) = 6, f(0) = -3 . Thay vào thỏa mãn
b, y = cot2x thoả mãn y’ + 2y2 + 2 = 0
Thay vào ta có: 
c, 
thỏa mãn 
Ta có: 
Thay vào suy ra ĐPCM:
d, y = a.cosx +b.sinx thỏa mãn hệ thức: y’’ + y = 0 .
thay vào: y’’ + y = acosx – b sinx + acosx + bsinx = 0 ĐPCM
Bài 19: a) Cho hàm số 
. Tính 
.
b) Cho hàm số 
. Chứng minh: 
Giải
Câu b tương tự.
Bài 20: Cho hàm số 
chứng minh :
a) 
; b) 
.
Bài 21: Cho các hàm số : 
, 
. Chứng minh : 
.
Bài 22: a) Cho hàm số 
. Chứng minh : 
.
b) Cho hàm số 
. Chứng minh : 
.
Hoạt động 4: Củng cố qua một số câu hỏi trắc nghiệm
Chương V: Đạo hàm
Câu 93: TĐ1119NCB: Số gia của hàm số 
, ứng với: 
và 
là:
A. 19 B. -7 C. 7 D. 0 PA: A
Câu 94: TĐ1119NCB: Số gia của hàm số 
theo 
và 
là:
A. 
B. 
C. 
D. 
PA: C
Câu 95: TĐ1119NCB: Số gia của hàm số 
ứng với số gia của đối số tại 
là:
A. 
B. 
C. 
D. 
PA: B
Câu 96: TĐ1119NCH: Tỉ số 
của hàm số 
theo x và là:
A. 2 B. 2 C.
D. 
− PA: A
Câu 97: TĐ1119NCH: Đạo hàm của hàm số 
tại 
là:
A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 PA: D
Câu 98: TĐ1119NCH: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số 
tại điểm M(-2; 8) là:
A. 12 B. -12 C. 192 D. -192 PA: B
Câu 99: TĐ1119NCH: Một chất điểm chuyển động có phương trình 
(t tính bằng giây, s tính bằng mét). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm 
(giây) bằng:
A. 
B. 
C. 
D. 
PA: C
Câu 100: TĐ1119NCH: Đạo hàm của hàm số 
trên khoảng 
là:
A. 
B. 
C. 
D. 
PA: A
Câu 101: TĐ1119NCH: Phương trình tiếp tuyến của Parabol 
tại điểm M(1; 1) là:
A. 
B. 
C. 
D. 
PA: B
Câu 102: TĐ1119NCH: Điện lượng truyền trong dây dẫn có phương trình 
thì cường độ dòng điện tức thời tại điểm bằng:
A. 15(A) B. 8(A) C. 3(A) D. 5(A) PA: D
Câu 103: TĐ1119NCH: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hàm số 
có đạo hàm tại mọi điểm mà nó xác định
B. Hàm số 
có đạo hàm tại mọi điểm mà nó xác định
C. Hàm số 
có đạo hàm tại mọi điểm mà nó xác định
D. Hàm số 
có đạo hàm tại mọi điểm mà nó xác định PA: A
Câu 104: TĐ1119NCH: Đạo hàm của hàm số 
bằng:
A. 5 B. -5 C. 0 D. Không có đạo hàm PA: C
Câu 105: TĐ1119NCV: Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động 
, 
và t tính bằng s. Vận tốc tại thời điểm 
bằng:
A. 
B. 
C. 
D. 
PA: A
4. Củng cố: Các công thức tính đạo hàm
5. Hướng dẫn về nhà:Xem các bài đã chữa và làm các bài tập sau:
Bài 1. Cho hàm số 
. Xác định 
để :
a) 
.
b) 
có hai nghiệm phân biệt cùng âm ;
c) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : 
.
Bài 2. Cho hàm số 
. Xác định để hàm số có 
.
Bài 3. Tìm các giá trị của tham số 
để hàm số: 
có 
trên một đoạn có độ dài bằng 1 .
Bài 4. Cho hàm số 
. Xác định để hàm số có 
có 3 nghiệm phân biệt .
Bài 5: Giải phương trình f’(x) = 0 biết:
1, f(x) = cos 2x – 5 cosx 2, f(x) = cosx + sinx – 2x – 5 3, 
