ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II-MÔN TOÁN – LỚP 11

A. PHẦN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Chương III : DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Phương pháp quy nạp toán học:

Để c/m mệnh đề A(n) đúngnN* ta thực hiện:

B1: C/m A(n) đúng khi n=1.

B2: nN* giả sử A(n) đúng với n=k, cần chứng minh A(n) cũng đúng với n=k+1.

2. Dãy số tăng, dãy số giảm:

      Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu với mọi ta có .

       Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu với mọi ta có .

Phương pháp để chứng minh một dãy số tăng hoặc giảm

Cách 1: (un) là dãy số tăng  un < un+1 n N*

Cách 2: (un) là dãy số tăng  un+1 - un 0 n N* (xét dấu un+1 - un)

Cách 3: un >0 n, (un) là dãy số tăng  < 1

3. Dãy số bị chặn:

a) Dãy s được gọi là dãy s b chặn trên nếu tồn tại một s sao cho .

b) Dãy s được gọi là dãy s b chặn dưới nếu tồn tại một s sao cho .

c) Dãy s được gọi là b chặn nếu nó vừa b chặn trên, vừa b chặn dưới; nghĩa là, tồn tại một s và một s sao cho .

4. Cấp số cộng

Dãy số hữu hạn hoặc vô hạn (un) là cấp số cộng un=un-1 + d, n 2.

+ d không đổi gọi là công sai.

+ Kí hiệu cấp số cộng :  u1, u2, u3, …, un, …

*. Tính chất  (un) là cấp số cộng  , (k 2)

* . Số hạng tổng quát:  Số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức : un=u1+(n-1)d

*  Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng:

Cho cấp số cộng (un), gọi Sn=u1+u2+…+un

, n 1.

Chú ý: , n 1

5. Cấp số nhân(un) là CSN

Số q được gọi là công bội của CSN.

* Tính chất:  Cho cấp số nhân (un). Ta có: k 2, k N*

* Số hạng tổng quát: Cho cấp số nhân (un).

với q

*Tổng n số hạng đầu tiên của CSN

Giả sử có cấp số nhân (un) với công bội q. Với mỗi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó: Sn = u1 + u2 + ... + un

Nếu q=1 thì un = u1 với mọi n. Khi đó: Sn = nu1.

Nếu q, ta có kết quả: với q


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 1. Dãy số nào sau đây không bị chặn trên:

A)  B)  C)       D)

Câu 2. Cho dãy số () với . Khi đó số hạng bằng:

A) 25n  B) 10n  C) -25n  D)

Câu 3. Cho cấp số cộng ().Đẳng thức nào sau đây là đúng:

A)     B)    C)  D)

Câu 4.  Cho cấp số nhân ().Đẳng thức nào sau đây là đúng:

A)    B)  C)  D)

Câu 5. Cho cấp số cộng  x; 1; y; 9. Khi đ ó:

A) x = -3, y = 5 B) x = -5, y = 3 C) x =  -1, y = 7 D) x = -2, y = 6

Câu 6. Cho cấp số nhân 3 số hạng:  2,5 ; x; 40. Hãy chọn kết quả đúng:

A) x = 10  B) x = 5  C) x = 20  D) x = 25

Câu 7.Cho dãy số () với . Khi đó:

7.1. Số hạng thứ 100 bằng:

A) 299   B) 2100  C) 2101  D)200

7.2. Tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng:

A) 299 - 1  B) 2100 - 1  C) 2101 - 1  D) 1 - 2101

Câu 8. Cho cấp số cộng -2; -5; -8; -11;... Khi đó công sai d và tổng  20 số hạng đầu tiên là:

A) d = 3; S20 = 510;   B) d = -3; S20 = -610 

C) d = -3; S20 = 610   D) d = 3; S20 = -510

Câu 9. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng:

A)  B)  C)   D)

Câu 10. Ba số xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng là:

A) 7; 12; 17   B) 6; 10; 14  C)8; 13; 18  D) 5; 10; 17

Câu 11. Cho cấp số cộng có . Tổng  của 5 số hạng đầu tiên là:

A)    B)   C)   D)

Câu 12. Cho cấp số cộng có . Số hạng đầu tiên là:

A) 0,3   B)    C)   D) -0,3

Câu 13. Cho cấp số cộng có . Tổng  của 20 số hạng đầu tiên là:

A) 200  B)-200  C)250   D)-250

Câu 14. Cho tam giác có số đo 3 góc lập thành một cấp số cộng. Biết số đo một góc là 250, số đo 2 góc còn lại là:

A) 650; 900  B)750; 800  C) 600; 950  D)700; 850

Câu 15. Cho cấp số nhân với u1 = -1; q = - 0,1. Số 10-103 :

A) là số hạng thứ 103 của cấp số nhân đã cho.

B) là số hạng thứ 104 của cấp số nhân đã cho.

C) là số hạng thứ 102 của cấp số nhân đã cho.

D) không phải là một số hạng của cấp số nhân đã cho.


Câu 16.Cho dãy số . Chọn b để dãy số trên là một cấp số nhân:

A) b = -1  B) b = 1  C) b = 2  D) b = -2

Câu 17. Cho cấp số nhân 1; Số hạng thứ 10 bằng:

A) 29   B) 210   C) 2-9   D) 2-10

Câu 18. Các giá trị của x để 3 số 2x – 1; x; 2x + 1 lập thành một cấp số nhân là:

A)   B)    C)    D) .

Câu 19. Dãy số nào là cấp số nhân?

A) 1; 0,2; 0,04; 0,008; ...   B) 2; 22; 222; 2222; ...

C) x, 2x, 3x, 4x, 5x,...   D)

Câu 20. Cho cấp số nhân có u1 = -3; q = . Số

A) là số hạng thứ 6 của cấp số nhân đã cho.

B) là số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho.

C) là số hạng thứ 7 của cấp số nhân đã cho.

D) không phải là một số hạng của cấp số nhân đã cho.

Câu 21. Cho cấp số nhân có Khi đó:

A)  B)  C) D)

Câu 22.Cho dãy số . Công thức số hạng tổng quát của dãy này là:

A)  B)  C) D)

Câu 23. Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát un = 2n + 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A) (u­n) là cấp số cộng với công sai là d = 3

B) (u­n) là cấp số cộng với công sai là d = 2

C) (u­n) là cấp số nhân với công bội là q = 3

D) (u­n) là cấp số nhân với công bội là q = 2

Câu 24. Một cấp số nhân có 3 số hạng a, b, c khác 0 và công bội q  ≠ 0. Đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A)    B)   C)   D)

Câu 25. Đặt S­n = , . Khi đó :

A)   B)  C)  D)

Bài tập tự luận

Bài 1: Chứng minh bằng phương pháp qui nạp:, ta có 2n > 2n + 1


Bài 2: Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết      

Bài 3: Cho dãy số (un), biết:

a) Viết sáu số hạng đầu của dãy số

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng phương pháp qui nạp

Bài 4: Xác định cấp số nhân (un), biết :

Bài 5: Người ta xếp 3655 học sinh theo đội hình đồng diễn là một tam giác: hàng thứ nhất có 1 học sinh, hàng thứ hai có 2 học sinh, hàng thứ ba có 3 học sinh, ...Hỏi có bao nhiêu hàng?

Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức chia hết cho 6.

 

Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn luôn có

Bài 8: Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm công bội của cấp số nhân đó?

Bài 9: Bốn số lập thành một cấp số cộng. Biết rằng tổng của chúng bằng 22 và tích của chúng bằng 166. Tìm 4 số đó.

------- ( Hết) -------

Chương 4 : GIỚI HẠN

I. Vấn đề 1: Dãy số có giới han 0

* Phương pháp

a)   b)   c)   d)

e) Nếu |q| < 1 thì lim

f) Nếu thì Vn = 0 thì lim un = 0

4.1. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0.

a)   b)    c)

4.2. Chứng minh hai dãy số (un) và (vn) với:

:    có giới hạn 0

4.3. Chứng minh rằng các dãy số (un) sau đây có giới hạn 0

a)   b)    c)

4.4. Cho dãy số (un) với

a) Chứng minh rằng với mọi n.

b) Bằng phương pháp qui nạp chứng minh rằng với mọi n.

c) Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0.


 

II. Vấn đề 2: Dãy số có giới hạn hữu hạn

* Phương pháp

1)

2) Sử dụng định lí 1 và định lí 2 .

3) Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) với công bội q.

Ta có:

4.5. Cho dãy số (un) với . Chứng minh lim un = 15

4.6. Tìm các giới hạn sau:

a)  b)   c)   d)

4.7. Tìm các giới hạn:

a)     b)

4.8. Tìm giới hạn:

a)     b)

4.9. Tìm giới hạn

4.10. Tìm các giới hạn:

a)   b)

4.11. Tìm các giới hạn sau:

a)    b)   c)

4.12. Tìm các giới hạn:

a)    b)

c)

4.13. Tìm các giới hạn

a)     b)

4.14. Tìm các giới hạn:

a)     b)

4.15. Tìm giới hạn

4.16. Tìm giới hạn

4.17. Tìm tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

a)    b)

4.18. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777… dưới dạng phân số.

III. Vấn đề 3: Dãy số có giới hạn vô cực


* Phương pháp

1)   2)  3)  4)

5) nếu q > 1 6) Nếu lim (–un) = + thì lim un = –

7)  8) Nếu thì

9) Các qui tắc tìm giới hạn vô cực.

4.20. Tìm các giới hạn:

a)    b)

4.21. Tìm các giới hạn:

a)    b)

4.22. Tìm giới hạn của các dãy số (un), với:

a)    b)

4.23. Tìm các giới hạn sau:

a)    b)

4.24. Tìm giới hạn của các dãy số (un), với:

a)     b)

4.25. Tìm các giới hạn:

a)     b)

 

§GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

 

I. Vấn đề 1: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn

 

4.26. Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số. Tìm các giới hạn sau:

a)    b)

4.27. Tìm các giới hạn:

a)    b)   c)   d)

e)     f)

4.28. Tìm các giới hạn sau:

a)   b)   c)   

d)   e)   f)

4.29. Tìm các giới hạn:

a)    b)

4.30. Tìm các giới hạn:


a)    b)

4.31. Tìm các giới hạn

a)    b)

4.32. Tìm các giới hạn:

a)    b)

II. Vấn đề 2: Giới hạn một bên

Giới hạn vô cực

  • Phương pháp

          1. Cho hàm số f(x) =    . Tìm

2.m các giới hạn:

a)   b)   c)   d)

3. Tìm các giới hạn:

a)    b)   c)

4. Tìm các giới hạn:

a)    b)

5. Tìm các giới hạn:

a)   b)

6. Tìm các giới hạn:

a)   b)  c)  d)

7. Tìm các giới hạn:

a)   b)

c)   d)

8. Tìm giới hạn:

III. Vấn đề 3: Các dạng vô định -

* Phương pháp

Khi tìm giới hạn các dạng này, ta phải thực hiện một vài phép biến đổi để có thể sử dụng các định lí và qui tắc đã biết. Làm như vậy ta gọi là khử dạng vô định.

 

1. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau:

a)   b)

2. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau:

a)   b)


3. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau:

a)   b)

4. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau:

a)  b)

5. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau:

a)   b)

6. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau:

a)   b)

7. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau:

a)   b)

§ HÀM SỐ LIÊN TỤC

I. Vấn đề 1: Hàm số liên tục tại một điểm

* Phương pháp

Để chứng minh f(x) liên tục tại xo, ta qua 3 bước

B1: Tính f(xo)

B2: Tìm

B3: So sánh f(x) và

Nếu thì kết luận f(x) liên tục tại điểm x = xo.

 

1. Xét tính liên tục của hàm số:                     . Tại điểm xo = 2.

2. Cho hàm số:                         

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm xo = 1.

3. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm xo = 3.

a)

b)                        

4. Cho hàm số                         

Xác định a để hàm số f(x) liên tục tại điểm xo = 1.

II. Vấn đề 2: Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn

* Phương pháp

1. Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a, b) f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a, b).

2) Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và:


  

1. Xét tính liên tục của hàm số:                         

Trên tập xác định của nó.

2. Xét tính liên tục của hàm số:

Trên tập xác định của nó.

3. Cho hàm số:

Định a để hàm số f(x) liên tục trên

4. Cho hàm số

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm:

a) xo = 0   b) xo = 1

III. Vấn đề III:

Chứng minh phương trình có nghiệm nhờ tính liên tục của hàm số

*Phương pháp

Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a, b).

1. Chứng minh phương trình: , có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (–1, 1).

2. Chứng minh phöông trình : coù 3 nghieäm phaân bieät

3.Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (m2 + 1)x 4 – x 3 – 1 = 0  có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng (– 1; ).  

        4.Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm:cosx + mcos2x = 0

        5.Chứng minh rằng phương trìnhluôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của m.

Chương V :  ĐẠO HÀM

Một số câu hỏi trắc nghiệm

1.Cho hàm số y= f(x) = . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A. f(-1)=-3  B. f(1)=3    C. f’(1)=-3        D. f(0)=0                            

2. Tiếp tuyến với parabol y= x2 +3x tại điểm M0(1;4) có hệ số góc k bằng bao nhiêu ?

      A. 5         B. 4        C. 0        D.  tan5

3.  Lập phương trình tiếp tuyến với parabol (P): y= x2 tại điểm M(2;4)


     A.  y= 4x-4                        

     B. y=4x+4                      

     C. y= -4x-4                      

     D. y=4x


4.  Cho đường cong (C): y=x3 .Lập phương trình tiếp tuyên với (C) tại M (-1; -1) ,ta được :


     A. y=3x+2

     B. y= 3x

     C. y= 3x-2

     D. y= -3x+2


5. Một vật rơi tự do theo phương trình  s=gt2   với g=9,8 m/s2. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm    t= 5s  là bao nhiêu ?


  1. 122,5 m/s              
  2. 29,5 m/s
  3. 10m/s
  4. 49m/s

6. Cho hàm số y= f(x) = x5 -. Tính f’(1)


     A. 1

     B. 7

     C. 4

     d. 6


7. Cho hàm số f(x)= x.(x+1)10 . Tính f’(0) .

     A. 0       B. 1       C. 11      D. Một kết quả khác

8. Cho hàm số y=    ( a+b khác 0 ) . Tính f’(0)

     A.            B.  0      C. 1      D.

9.  Trong các mệnh đề sau ,hàm số nào là đạo hàm của hàm số  y=

A. 3x2 -12x +11 B. 3x2 +12x-11 C. 3x2 -12x-11  D.

10. Cho hàm số y= +2x2-5x+6.Tìm x để     f’(x) 0

A.x=1   và x=-5 B. x=1  hay x=-5 C.    D. x < -5    hoặc x >1

11. Cho f(x)= .Tìm mệnh đề đúng

A. f’(x) =0 , với mọi x    B. f’(x)= , với mọi x khác -1

C. f’(x)= , với mọi x khác -1 . D. Hàm liên tục trên R .

12. Hệ số góc của cát tuyên MN với đường cong (C): y= x2 –x+1 với M , N lần lượt có hoành độ là 1 và 2

A.1  B. 2  C. 3  D.

13.Cho hàm số y= . Mệnh đề nào sau đây đúng

A. y’= (x-m)2      B. y’>0  với mọi  x thuộc R.

C. y’>0 với mọi x thuộc R khi   D. y’>0 với mọi x thuộc R khi 

14. Cho hàm số y= .Mệnh đề nào sau đây đúng

A. y’  B.   C. y’ D. y’

15.Đạo hàm của hàm số y= là kết quả  nào sau đây :

A.  B.  C.  D.

16. Hàm số  y= có  đạo hàm là
A. y’=0 ,với mọi x    B. y’= với mọi x khác 3

C. y’= - với mọi x khác 3 . D. y’= -, với mọi x khác 3 .

17. Cho y= .Tìm mệnh đề đúng :

A. y’= , với mọi x B. y’= , với mọi x

C. y’= , với mọi x D. y’= , với mọi x


18.Tìm mệnh đề đúng  :

A. dsin 4x=cos4xdx  B. dsin4x=-cos4xdx C. dsin4x=- 4cos4xdx  D.dsin4x= 4 cos4xdx

Một số câu hỏi tự luận

Bài 1: Tính đạo hàm các hàm số sau
a) y= x+1+                                                      f) y=

b) y=                                                                 g) y= cos3x .cos2x

c) y= tan(sinx)                                                                 h) y=

d) y= cot                                                              i) y=

e) y= sin 32x –cos2 3x                                                     k) y=

Bài 2: Định a sao cho f(x) = cos2x-a sin2 x +2cos2x   không phụ thuộc x

Bài 3: a) Giải phương trình y’=0 với y=

           b) Cho f(t) = Tính f’()

Bài 4:a) Cho y= x cos2x  . Tính đạo hàm cấp hai cuả hàm số

          b) Cho y= . Chứng minh

          c) Chứng minh  :  với y=sin2x

          d) Chứng tỏ hàm y = acosx+bsinx thỏa hệ thức  y’’ + y=0

Bài 5*: Cho hàm f(x)= . Tìm m để   có nghiệm .

Bài 6*: Tìm m để đồ thị hàm số y= 4x3 -3x tiếp xúc với đường thẳng y=mx-1

Bài 7: Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm bất kỳ của đồ thị hàm số y= cắt trục tung tại một điểm cách đều tiếp điểm và gốc tọa độ .

Bài 8: Cho hàm  số f(x)= x3 -2x2 +mx-3

Tìm m để :

a)      f’(x) bằng bình phương một nhị thức ;

b)     với mọi x ;

c)      f’(x) <0 với mọi x(0; 2);

d)     f’(x) >0 với mọi x > 0 .

Bài 9: Cho hàm số y= x3 -3x+1

a)      Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số taị điểm x=2;

b)     Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiếp tuyến song song vói đường thẳng 45x-y+54=0 ;

c)      Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= -x+1

d)     Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiếp tuyến đi qua điểm M()

Bài 10*: Gọi (P) và (P’) lần lượt là đồ thị hai hàm số

   y= f(x) = -x2 -2x+1    (P) và   y= g(x) = x2 -2x-3   (P’)

a)      Vẽ các đồ thị của hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ .

nguon VI OLET