Ôn tập hàm số đầy đủ

Chuyên Đề Hàm số_ Luyện thi đại học năm 2009 – 2010

Chuyên đề 1: Chiều biến thiên của đồ thị hàm số

A.Cơ sở lý thuyết:

I. Lý thuyết chung:

1. y = f(x) đồng biến trên (a, b) với mọi  x (a, b).

2. y = f(x) nghịch biến trên (a, b) với mọi  x (a, b).

3. y = f(x) đồng biến trên thì Min f(x) = f(a); Max f(x) = f(b)

4. y = f(x) nghịch biến trên thì Min f(x) = f(b); Max f(x) = f(a).

Chú ý:

 Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị y = f(x) với đồ thị y = g(x).

 Nếu hàm số,(a, b) mà f(x) liên tục tại a và b thì .

 Bất phương trình đúng Min f(x)

 Bất phương trình đúng Max f(x)

 BPT có nghiệmmax f(x)

 BPT có nghiệm Max f(x)

 Tam thức bậc hai: 



B. Bài tập:

1. Cho hàm số

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định của nó.

2. Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng .

3. Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng .

4. Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng .

5. Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng .

6. Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên .

7. Cho hàm số .

Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên .

8. Tìm m để hàm số luôn đồng biến.

9.Tìm m để luôn nghịch biến.

10.Tìm m để hàm số đồng biến với mọi x.

Chuyên đề 2: Cực trị của hàm số

A.Cở sở lý thuyết:

I. Cực trị hàm bậc ba:

 Điều kiện tồn tại cực trị

Hàm số có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt  

 Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = x0

 Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = x0

 Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu

Thực hiện phép chia y cho y’ khi đó phần dư chính là phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu.

 Chú ý: sử dụng định lý viét cho hoành độ các điểm cực trị.

II. Cực trị hàm bậc bốn:

 y’ = 0

 có đúng 1 nghiệm hoặc có đúng hai nghiệm (1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép) thì hàm số y có đúng 1 cực trị.

   Có 3 nghiệm phân biệt: thì hàm số có 3 cực trị.

B. Bài Tập:   

11. Tìm m để hàm số: đạt cực tiểu tại x = - 2.

12. Tìm m để có đường thẳng đi qua CĐ, CT song song với đường thẳng d: y = - 4x + 3.

13. Tìm m để có CĐ, CT nằm trên đường thẳng d: y = - 4x.

14. Tìm m để có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với đường thẳng d: y = 3x - 7.

15. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua d:

16. Cho

a. CMR: Hàm số luôn có CĐ, CT.

b. Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1, x2. CMR:

17. Tìm m để hàm số có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất.

18. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 1.

19. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.

20. Tìm m để hàm số có CĐ, CT lập thành tam giác đều.

21. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.

22.Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 < -1 < x2.

23. Cho hàm số: .

Tìm a để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 và x12+ x22 = x1+x2.

24. Cho hàm số

Tìm m để hàm số có CĐ và CT. CMR: khi đó đường thẳng đi qua CĐ, CT luôn đi qua 1 điểm cố định.

25. Cho hàm số

Tìm m để hàm số có CĐ và CT và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O.

26. Cho hàm số

Tìm m để hàm số có hai cực trị cùng dấu.

27. Cho hàm số

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.

28. Cho hàm số

Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT tại hai điểm A, B sao cho 3 điểm A, B, C(0; -1) thẳng hàng.

29. Cho hàm số

Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm CĐ, CT nằm về hai phía của trục tung.

30. Cho hàm số

Tìm m để đồ thị hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.

31. Cho hàm số:

Xác định m để hàm số có các điểm CĐ, CT:

 a. Lập thành 1 tam giác đều.

 b. Lập thành 1 tam giác vuông.

 c. Lập thành 1 tam giác có diện tích bằng 16.

C. Bài Tập tương tự:

32. Tìm m để đồ thị có cực đại, cực tiểu

 a.

b.  

33. CMR với mọi m hàm số sau luôn đạt cực trị tại x1, x2 và x1 – x2 không phụ thuộc vào m.

34. Tìm m để đồ đạt cực tiểu tại x = 2

35. Tìm m để không có cực trị.

36. Cho hàm số

Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu.Viết phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT.

37. Tìm m để có cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

38. Tìm a để hàm số luôn đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn

39. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía của đường thẳng y = x.

Chuyên đề 3: GTLN và GTNN của hàm số

A. Cơ sở lý thuyết:

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D

+Nếu tồn tại 1 điểm x0 thuộc D sao cho: thì M = f(x0) được gọi là GTLN của hàm số trên tập D.

+Nếu tồn tại 1 điểm x0 thuộc D sao cho: thì M = f(x0) được gọi là GTLN của hàm số trên tập D.

 Để tìm GTLN, GTNN ta có thể

  Lập bảng biến thiên của hàm số rồi kết luận.

   (Xét trên đoạn )

+ Giải phương trình y’=0 với x thuộc D. Giả sử có các nghiệm x1, x2.

+ Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2)

+ So sánh các giá trị trên và kết luận.

  Biến đổi và đặt ẩn phụ, đặt điều kiện cho biến mới và tìm GTLN, GTNN của hàm số theo biến mới.

 Ứng dụng của GTLN, GTNN để giải PT, BPT:

  Giải phương trình:

  + Lập phương trình hoành độ giao điểm, chuyển về dạng một bên là hàm số theo x, một bên là hàm theo m( giả sử là g(m)).

  + Để PT có nghiệm thì .

  + Tương tự cho trường hợp có k nghiệm và vô nghiệm.

  Giải bất phương trình:

Áp dụng các tính chất sau:

+Bất phương trình đúng Min f(x)

+Bất phương trình đúng Max f(x)

+ Bất phương trình có nghiệm max f(x)

+Bất phương trình có nghiệm Max f(x)

B. Bài tập:

40.Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn

.

41.Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn

.

42. Tìm GTLN, GTNN của hàm số .

43. Tìm GTLN, GTNN của hàm số .

44. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn .

45. Tìm GTLN, GTNN của hàm số .

46. Tìm GTLN, GTNN của hàm số

.

47. Chứng minh rằng: , .

48. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn

.

49. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn .

50.Tìm GTLN, GTNN của hàm số .

51.Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn .

52.Tìm GTLN, GTNN của hàm số .

53.Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn .

54.Tìm GTLN, GTNN của hàm số .

55.Tìm GTLN, GTNN của hàm số .

56.Tìm GTLN, GTNN của hàm số

57.Tìm GTLN, GTNN của trên đoạn .

58. Tìm GTLN, GTNN của hàm số .

59. Tìm GTLN, GTNN của hàm số .

60. Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.

61. Tìm m để bất PT: nghiệm đúng với mọi

.

62. a. Tìm m để phương trình có nghiệm.

      b. Tìm m để bất phương trình với mọi x.

63. Tìm m để phương trình: có nghiệm.

64. Tìm m để phương trình: có nghiệm.

65. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

66.Tìm m để phương trình: có nghiệmx.

C. Bài tập tương tự:

67. Xác định m để phương trình có nghiệm.

68. Xác định m để phương trình có nghiệm thực.

69. Tìm m để BPT: có nghiệm.

70.Tìm GTLN, GTNN của trên đoạn .

71.Tìm m để phương trình: có nghiệm.

Chuyên Đề 4: Tiếp tuyến và các bài toán liên quan

A.Cơ sở lý thuyết:

1.Dạng toán 1: Viết PTTT tại 1 điểm thuộc đồ thị hàm số.

 Phương pháp:

Áp dụng công thức từ ý nghĩa hình học

của đạo hàm:    

 Biết điểm có tung độ và hoành độ cho trước.

 Biết điểm có hoành độ cho trứơc.

 Biết điểm có tung độ cho trước.

2.Dạng toán 2: Viết PTTT có hệ số góc cho trước

  Phương pháp:

Từ ta suy ra các nghiệm x1, x2. Thế x1, x2 vào y ta được tọa độ tiếp điểm. Áp dung dạng 1 ta có PTTT.

Các biến dạng của hệ số góc:

 Biết trực tiếp:

 Tiếp tuyến song song với 1 đường thẳng cho trước.

 Tiếp tuyến vuông góc với 1 đường thẳng cho trước.

 Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox một góc bằng .

 Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc .

 Tiếp tuyến hợp với đường thẳng d cho trước 1 góc bằng cho trước.

3.Dạng toán 3: Viết PTTT đi qua 1 điểm A cho trước.

 Phương pháp:

Gọi xi là hoành độ tiếp điểm. Khi đó PTTT có dạng

Vì TT đi qua A nên tọa độ thỏa mãn phương trình, giải phương trình ta đựơc các nghiệm xi. Thế ngược lại ta được PTTT cần tìm.

Chú ý: Số nghiệm của phương trình chính là số tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị

B.Bài Tập:

72. Viết PTTT của đồ thị (C): khi biết:

 a. Tại điểm M(2; 7).

 b. Hoành độ tiếp điểm là x0 = - 1.

 c. Tung độ tiếp điểm là y0 = 5.

 d. Tại các giao điểm của (C) với đường thẳng

d: 7x + y = 0

73. Cho hàm số (C):

 a. Viết PTTT của đồ thị hàm số tại giao điểm A của đồ thị với trục tung.

 b. Viết PTTT của đồ thị hàm số, biết tuyết tuyến đi qua điểm B(3; 4).

 c. Viết PTTT của đồ thị hàm số, biết rằng tiếp tuyến đó song song với tiếp tuyến tại điểm A.

74. Cho hàm số (C):

Viết PTTT d của đồ thị hàm số tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

75. Cho hàm số (Cm):

Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng – 1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0.

76. Cho hàm số (C):

Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.

77.Chohàmsố(C):