ON TAP HINH 11 CHUONG 2

§1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

A. LÝ THUYẾT

1. Mở đầu về hình học không gian

2. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian:

Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian

  Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

  Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.

  Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.

  Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt.

3. Điều kiện xác định mặt phẳng:

  Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. (mp(ABC), (ABC))

  Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng. (mp(A,d))

  Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng. (mp(a, b))

4. Hình chóp và hình tứ diện

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Xác định mặt phẳng: dùng 3 điều kiện xác định mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Chứng minh 3 trong 4 điểm này không thẳng hàng.

Ví dụ 2: Cho 3 đường thẳng a,b,c không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh chúng đồng quy.

Dạng 2: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: tìm hai điểm chung của chúng

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD trong đó đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Tìm giao tuyến của:

a)      Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)

b)     Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

c)      Hai mặt phẳng (MBC) và (SAN) với M là trung điểm của SA và N là trung điểm của BC

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M trên cạnh AB và điểm N trên cạnh AC sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại E. Gọi O là điểm trong tam giác BCD.

a)      Tìm giao tuyến của hai mp (OMN) và (BCD)

b)     Tìm giao tuyến của hai mp: (OMN) và (ACD)

 

Dạng 3: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp:

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC và O là điểm trong tam giác BCD. Tìm giao điểm của:

 a)  CD và mp(OMN)   b) AD và mp(OMN)

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.

a)      Tìm giao điểm I của AM với mp(SBD) và tính

b)     Gọi N là trung điểm của AB. Tìm giao điểm E của MN với mp(SBD). Chứng minh: EM=EN

c)      Tìm giao điểm của SD với mp(ABM).

Dạng 4: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

 

Phương pháp: Chứng minh 3 điểm cùng thuộc hai mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Lần lượt trên các cạnh AB, AC, AD lấy các điểm M, N, P sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại A’, đường thẳng NP cắt đường thẳng CD tại B’ và đường thẳng MP cắt đường thẳng BD tại C’. Chứng minh 3 điểm A’, B’, C’ thẳng hàng.

 

Dạng 5: Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

 

Phương pháp:

      Cách 1: Chứng minh 3 đường thẳng này không đồng phẳng và cắt nhau đôi một

      Cách 2: Chứng minh hai trong 3 đường thẳng này cắt nhau và giao điểm của chúng thuộc đường thẳng thứ 3.

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABC. Chứng minh: và cắt nhau. Suy ra ba đường thẳng , và đồng quy.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt phẳng (P) lần lượt cắt SA, SB, SC, SD tại A’, B’, C’, D’. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh ba đường thẳng A’C’, B’D’ và SO đồng quy.

 

Dạng 6: Tập hợp các đường thẳng là mặt phẳng. Tập hợp các điểm là giao tuyến của hai mặt phẳng

 

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại O. Điểm M di động trên đường đường thẳng d không nằm trong mp(P) và không đi qua O. Tập hợp các đường thẳng OM là mặt phẳng cố định nào?

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là hai điểm cố định trên các cạnh AB và AC sao cho EF không song song với BC. Điểm M di động trên cạnh CD.

a)      Xác định giao điểm N của mp(MEF) với đường thẳng BD

b)     Tìm tập hợp giao điểm I của EM và FN.

 

Dạng 7: Thiết diện của một hình khi cắt bởi mặt phẳng

 

Xác định các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp.

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD. Lấy điểm A’ trên cạnh SA. Xác định thiết diện của mp(A’CD) với hình chóp.

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Hình chóp có đáy là lục giác thì có bao nhiêu mặt bên và bao nhiêu cạnh?

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Lần lượt lấy trên các cạnh AB, AC và BD các điểm M, N, P sao cho MN cắt BC tại E và AD cắt MP tại F.

a)      Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD). Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD).

b)     Chứng minh CD, EP và NF đồng quy.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, giả sử AD và BC cắt nhau tại E. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SA và SB, điểm M lưu động trên cạnh SD.

a)      Tìm giao tuyến của hai mp: (SAD) và (SBC). Tìm giao tuyến của hai mp: (SAC) và (SBD)

b)     Tìm giao điểm N của SC với mp(MIJ)

c)      Tìm tập hợp giao điểm H của IN và JM.

Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M trên cạnh AB và N trên cạnh AD sao cho MN và BD không song song. Gọi O là điểm trong tam giác BCD. Tìm giao tuyến của mp(OMN) với các mp(BCD), (ABC), (ACD).

Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm P trên đường thẳng BD không thuộc đoạn BD. Trong mp(ABD) đường thẳng qua P cắt hai cạnh AB và AD lần lượt tại E và F. Trong mp(BCD) đường thẳng qua P cắt hai cạnh BC và CD lần lượt tại M và N.

a)      Bốn điểm E, F, M, N có thuộc một mặt phẳng không?

b)     Gọi O là giao điểm của BN và DM, I là giao điểm của BF và DE, J là giao điểm của EN và FM. Chứng minh ba điểm A, O, J thẳng hàng và ba điểm C, I, J thẳng hàng

c)      Giả sử EM và FN cắt nhau tại K. Chứng minh: A, K, C thẳng hàng.

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy điểm M trên cạnh SC, điểm N trên cạnh SD và gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

a)      Tìm giao điểm của SO với mp(BMN)

b)     Xác định giao tuyến của hai mp: (SAD) và (BMN)

c)      Xác định giao điểm của MN với mp(SAB)

Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M trong tam giác BCD và điểm N trong tam giác ACD. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (AMN) với các mặt phẳng (BCD), (ABC).

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD. Giả sử AD và BC không song song. Gọi O là giao điểm của AC và BD, E và F lầm lượt là trung điểm của SA và SB. Điểm M di động trên cạnh SC.

a)      Xác định giao điểm N của SD với mp(EFM)

b)     Tìm tập hợp giao điểm I của EM và FN

c)      Tìm tập hợp giao điểm J của EN và FM

Bài 9: Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh đều bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE=a và kéo dài BD một đoạn DF=a. Gọi M là trung điểm của AB. Xác định và tính diện tích thiết diện của tứ diện với mp(MEF).

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD và điểm O trong tam giác SAB. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bới mặt phẳng (CDO).

§2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

A. LÝ THUYẾT

1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt

2. Hai đường thẳng song song

a. Định nghĩa

  

b. Tính chất

  Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.

  Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

  Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

 

B. CÁC DẠNG TOÁN

 

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, CD, BC, DA, AC, BD.

a)      Chứng minh 3 đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn

b)     Gọi Ga là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh ba điểm A, G, GA thẳng hàng và tính

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a)      Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

b)     Lấy điểm E trên cạnh SC. Mặt phẳng (ABE) cắt SD tại F. Tứ giác ABEF là hình gì?

 

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

 

Bài 1: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy trên a hai điểm A, B. Lấy trên b hai điểm C và D. Hai đường thẳng AB và CD có thể song song với nhau không?

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD và ACD. Chứng minh EF song song với AB.

Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. P là điểm di động  trên đoạn BD. Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q.

a)      Tứ giác MNPQ là hình gì?

b)     Tìm tập hợp giao điểm I của MQ và NP khi P di động trên đoạn BD

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E và F là trung điểm của SA và SB.

a)      Lấy điểm M trên cạnh SC. Mặt phẳng (EFM) cắt hình chóp theo hình gì?

b)     Lấy điểm I trên BC. Mặt phẳng (EFI) cắt hình chóp theo hình gì?

 

§3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

 

A. LÝ THUYẾT

 

1. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:

2. Định nghĩa: d // (P)  d  (P) = 

3. Tính chất

  Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và d song song với đường thẳng d nằm trong (P) thì d song song với (P).

  Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với d.

  Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.

  Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b.

 

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

 

Chứng minh đường thẳng a song song với mp(P) ta cm a song song với đường thẳng b nằm trong (P)

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của CD, E là trung điểm của AM và F là trung điểm của BM.

a)      Chứng minh rằng EF song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD)

b)     Lấy điểm N trên cạnh AC. Xác định thiết diện của hình chóp với mp(NEF). Thiết diện là hình gì?

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của BC, AD và SA.

a)      Chứng minh SC và SD song song với mp(MNP)

b)     Xác định thiết diện của hình chóp với mp(R) qua O và song song với CD và SA.

 

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

 

Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD và BCD.

a)      Chứng minh EF song song với các mặt: (ABC), (ABD)

b)     Mặt phẳng (P) qua EF cắt tứ diện ABCD theo hình gì?

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M trên cạnh BC. Mặt phẳng (P) qua M và song song với AB và CD cắt tứ diện ABCD theo hình gì?

Bài 3: Cho hình thang ABCD (AB//CD) và điểm S ở ngoài mặt phẳng hình thang. Lấy điểm M trên cạnh CD. Mặt phẳng (P) qua M và song song với SA và BC.

a)      Mặt phẳng (P) cắt hình chóp S.ABCD theo hình gì?

b)     Tìm giao tuyến của mp(P) với mp(SAD)

Bài 4: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có cạnh chung AB và không cùng nằm trên một mặt phẳng.

a)      Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO’ song song với các mặt (ADF) và (BCE)

b)     Gọi M và N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và ABE. Chứng minh MN song song với mp(CEF).

 

§4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

 

A. LÝ THUYẾT

 

1. Định nghĩa

  (P) // (Q)  (P)  (Q) = 

2. Tính chất

  Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

  Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một mp(Q) chứa d và song song với (P).

  Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

  Cho một điểm A  (P). khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song song với (P) đều nằm trong một mp(Q) đi qua A và song song với (P).

  Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt phẳng kia và các giao tuyến của chúng song song với nhau.

  Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.

  Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

  Định lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d lần lượt lấy các điểm A, B, C và A, B, C sao cho:

    

 Khi đó, ba đường thẳng AA, BB, CC lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song với một mặt phẳng.

 

B. CÁC DẠNG TOÁN

 

Ví dụ 1: Trong mp(P) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ các nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt song song với nhau và nằm về một phía đối với mp(P). Mặt phẳng (Q) lần lượt cắt Ax, By, Cz, Dt tại A’, B’, C’, D’.

a)      Chứng minh mp(Ax, By) song song với mp(Cz,Dt)

b)     Chứng minh tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành

c)      Chứng minh AA’+CC’=BB’+DD’

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SA và CD.

a)      Chứng minh mp(OEF) song song với mp(SBC)

b)     Gọi M là trung điểm của SD và N là trung điểm của OE. Chứng minh MN song song với mp(SBC)

Ví dụ 3: Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo nhau. Hai điểm C và D lần lượt di động trên Ax, By sao cho AC=BD

a)      Chứng minh rằng CD luôn luôn song song với mp cố định

b)     Trung điểm M của CD chạy trên đường nào?

Ví dụ 4: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của B’C’

a)     Chứng tỏ mp(AA’M) cắt BC tại N và AN//A’M

b)     Chứng minh rằng đường thẳng AC’ song song với mp(BA’M)

c)      Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC)

Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’

a)      Chứng minh rằng 4 đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

b)     Chứng minh: tổng bình phương các đường chéo của một hình hộp bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình hộp đó.

Ví dụ 6: Cho hình chóp cụt tam giác ABC. A’B’C’. Gọi S là giao điểm các đường thẳng chứa các cạnh bên, G và G’ là trọng tâm các tam giác ABC và A’B’C’. Chứng tỏ AG//A’G’.

 

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

 

Bài 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có cạnh chung AB và không nằm trong cùng mặt phẳng.

a)      Chứng minh: (CBE)//(ADF)

b)     Lấy điểm M trên đường chéo AC với MC=2AM và điểm N trên đường chéo BF với NF=2BN. Các đường song song với AB kẻ từ M, N lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. Chứng minh: (DEF)//(MNN’M’).

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là tâm của hình bình hành, M và N lần lượt là trung điểm của SC và SD.

a)      Chứng minh: mp(OMN) song song với mp(SAB)

b)     Gọi E và F là trung điểm của CD và ON. Chứng minh EF song song với mp(SBC)

Bài 3: (*) Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N là hai điểm di động lần lượt trên hai đường thẳng AB và CD. Chứng tỏ trung điểm I của đoạn MN nằm trong mp cố định.

Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’ và AC.

a)      Dựng thiết diện của hình lăng trụ với mp(MNB’)

b)     Dựng thiết diện của hình lăng trụ với mp(MNP), với P là trung điểm của B’C’

Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a)      Chứng minh: (BDA’)//(B’D’C)

b)     Chứng minh đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G1 và G2 của hai tam giác BDA’ và B’D’C, biết

 

§5: PHÉP CHIẾU SONG SONG

 

A. LÝ THUYẾT

 

1. Định nghĩa

2. Tính chất

3. Hình biểu diễn của một hình không gian.

 

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

 

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ACD.

a)      Chứng minh rằng hình chiếu song song G’ của điểm G trên mp(BCD) thep phương AB là trọng tâm của tam giác BCD

b)     Gọi E, F, H lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Hình chiếu của tam giác EFH là hình gì?

Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB song song với mp(P). Gọi A’ và B’ lần lượt là hình chiếu song song của A và B trên (P) theo phương của đường thẳng d cho trước. Chứng minh rằng: A’B’=AB. Phần đảo có đúng không?

 

C. BÀI  TẬP LUYỆN TẬP

 

Bài 1: Chứng minh rằng hình chiếu song song của hình bình hành trên mp(P) theo phương d cho trước thường là hình bình hành.

Bài 2: Cho đường thẳng a cắt mp(P) tại A. Gọi a’ là hình chiếu song song của a trên mp(P) theo phương d cho trước.

a)      Chứng tỏ a’ qua A

b)     Lấy hai điểm B và C trên a và gọi B’, C’ lần lượt là hình chiếu song song của B và C trên (P) theo phương d. Hãy chọn phương d sao cho B’C’=BC

Bài 3: Cho tam giác ABC nằm ngoài mp(P). Giả sử BC song song với (P), AB và AC lần lượt cắt (P) tại D và E. Hãy chọn phương chiếu d sao cho hình chiếu của tam giác ABC trên (P) theo phương d là một tam giác đều.