Ôn thi ĐH về hàm số bậc ba

Bài tập tổng hợp số 1

Bài 1. Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + 3(1 – m)x + m – 1  (Cm)

Với m = 1:    y = x3 – 3x2     (C)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2. Chứng minh rằng tại điểm A(1; -2) hệ số góc của tiếp tuyến với (C) là nhỏ nhất.
3. Chứng minh rằng (C) cắt đường thẳng y = -1 tại điểm có hoành độ x0 thoả mãn x02 – x0 < 0.
4. Tìm k để đường thẳng y = k(x – 1) – 2 cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
5. Tìm trên (C) các điểm M sao cho qua M chỉ có thể kẻ được một tiếp tuyến duy nhất với (C).
6. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(1, -2). (hoặc tại điểm có hoành độ x = 1). Trên tiếp tuyến đó tìm điểm từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C).
7. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(0, -4).
8. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -4x + 2009.
9. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x + 2009.
10. Tìm trên đường thẳng y = -4 các điểm từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị (C).
11. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 18) và có hệ số góc là k. Tìm k để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.
12. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:  |x|3 – 3x2 = a.
13. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x3 – 3x2 = m3 – 3m2.
14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
15. Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y = 0, x = 0, x = 3 quay quanh trục Ox.

                     ******************************

16. Chứng minh rằng (Cm) đi qua ba điểm cố định thẳng hàng.
17. Tìm m để (Cm) nhận điểm I(1, 2) làm tâm đối xứng.
18. Tìm m để trên (Cm) tồn tại cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
19. Tìm m để (Cm) không có cực trị.
20. Tìm m để (Cm) có cực đại, cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm cực trị đó. Chứng minh rằng khi đó d luôn đi qua một điểm cố định.
21. Tìm m để hoành độ điểm cực trị là x1, x2 thoả mãn x12 + x22 – x1.x2 ≤ 4.
22. Tìm m để hoành độ điểm cực đại, cực tiểu lần lượt là x1, x2 thoả mãn x1 + 2x2 = 1.
23. Tìm m để hoành độ của điểm cực đại, cực tiểu là các số dương (âm).
24. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và xCĐ < xCT.
25. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.
26. Tìm m để điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng  .
27. Tìm m để điểm cực đại, cực tiểu của (Cm) nằm hai phía của đường thẳng y = 2x – 8.
28. Tìm m để (Cm) có điểm cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
29. Tìm m để (Cm) nghịch biến trên một đoạn có độ dài đúng bằng 1.
30. Tìm m để (Cm) đồng biến trên khoảng (0; +).
31. Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 3x + y + 2009 = 0.
32. Tìm các điểm mà tiếp tuyến có phương không đổi với mọi m.
33. Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = m – 1 tại ba điểm phân biệt A, B, I(0, m – 1) sao cho tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau.
34. Cho điểm A(x0, y0) thuộc (Cm). Tiếp tuyến với (Cm) tại điểm A cắt (Cm) tại điểm B khác A. Tìm hoành độ điểm B theo x0.
35. Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = - 4 tại ba điểm phân biệt C, D, H(-1, -4) sao cho OC  OD.

Bài 2. (ĐH.D’0)  Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – 1  (1) ,  m là tham số.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc toạ độ.

Bài 3. (ĐH.D’08) Cho hàm số  y = x3 – 3x2 + 4  (1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > -3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Bài 4.  Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1  (1)  có đồ thì (Cm)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
2. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho tích yCĐ.yCT đạt giá trị nhỏ nhất.
3. Tìm m để hàm số (1) có cực cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó bằng .
4. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu cách đều trục Oy (trục Ox)

Bài 5. (HSG’09)  Cho hàm số y = x3 + 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x + m3 + 1  (m là tham số)

1. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị (Cm) của hàm số đã cho chỉ cắt trục hoành tại một điểm.

Bài 6. Cho hàm số  y = x3 – 3x2 – m2 + 5m   (Cm)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị (Cm) luôn cắt đường thẳng y = - 4 tại 3 điểm phân biệt.

Bài 7. Cho hàm số  y = x3 – 6x2 + 9x.

1)     Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2)     Với giá trị nào của m, đường thẳng y = x + m2 – m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).

Bài 8. <ĐHNT.A’98> Cho hàm số  y = x3 + 3mx2 + 3(m2 – 1)x + m3 – 3m.

Chứng minh rằng: với mọi m, hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu; đồng thời chứng minh rằng khi m thay đổi các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn chạy trên hai đường thẳng cố định.

Bài 9. Với mỗi giá trị của tham số m, tìm toạ độ của điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (Cm) của hàm số y = -x3 + mx2 – 4.

Bài 10. Cho hàm số y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu và đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của hàm số song song với đường thẳng y = -4x.

Bài 11. Tìm m để f(x) = x3 – 3(m – 1)x2 + (2m2 – 3m + 2)x – m(m – 1) có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tạo với một góc 450.