- Trang Chủ
- Không dùng thư mục này
- Ôn thi ĐH
Ôn thi ĐH
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2011 MÔN: TOÁN- KHỐI A KHOA TOÁN-TIN - ------------ Thꢀi gian làm bài: 180 phút ( không kꢀ thꢁi gian giao ꢂꢃ ) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm). Câu I ( 2 điểm) 3 2 Cho hàm sꢁ y = x + (1− 2m)x + (2 − m)x + m + 2 (1) m là tham sꢁ. 1 2 . Kh
Thể loại Giáo án bài giảng Không dùng thư mục này
Số trang 22
Ngày tạo 3/20/2011 10:13:40 AM +00:00
Loại tệp pdf
Kích thước 0.77 M
Tên tệp wwwmathvncombo4dethithudhsphanoi2011 pdf
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2011
MÔN: TOÁN- KHỐI A
KHOA TOÁN-TIN
-
------------
Thꢀi gian làm bài: 180 phút ( không kꢀ thꢁi gian giao ꢂꢃ )
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm).
Câu I ( 2 điểm)
3
2
Cho hàm sꢁ y = x + (1− 2m)x + (2 − m)x + m + 2 (1) m là tham sꢁ.
1
2
. Khꢂo sát sꢃ biꢄn thiên và vꢅ ꢆꢇ thꢈ (C) cꢉa hàm sꢁ (1) vꢊi m=2.
. Tìm tham sꢁ m ꢆꢋ ꢆꢇ thꢈ cꢉa hàm sꢁ (1) có tiꢄp tuyꢄn tꢌo vꢊi ꢆưꢀng thꢍng d: x + y + 7 = 0 góc α ,
1
biꢄt cosα =
Câu II (2 điểm)
.
2
6
2x
− 4 ≤ 5 .
4 − x
2
1
1
. Giꢂi bꢎt phương trình: log
2
2
. Giꢂi phương trình:
3sin 2x.(2cos x +1)+ 2 = cos3x + cos2x − 3cos x.
Câu III (1 điểm)
4
x +1
Tính tích phân: I =
dx .
∫
2
0
1+ 1+ 2x
( )
Câu IV(1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có ꢆáy ABC là tam giác vuông cân ꢆꢏnh A, AB= a 2 . Gꢐi I là trung ꢆiꢋm cꢉa BC, hình
0
chiꢄu vuông góc H cꢉa S lên mꢑt ꢆáy (ABC) thꢒa mãn: IA = −2IH , góc giꢓa SC và mꢑt ꢆáy (ABC) bꢔng 60 .
Hãy tính thꢋ tích khꢁi chóp S.ABC và khoꢂng cách tꢕ trung ꢆiꢋm K cꢉa SB tꢊi (SAH).
Câu V(1 điểm)
2
2
2
Cho x, y, z là ba sꢁ thꢃc dương thay ꢆꢖi và thꢒa mãn: x + y + z ≤ xyz . Hãy tìm giá trꢈ lꢊn nhꢎt cꢉa biꢋu thꢗc:
x
y
z
P =
+
+
x + yz y + zx z + xy
.
2
2
2
PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ chọn làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B ).
A. Theo chương trình chuẩn:
Câu VI.a (2 điểm)
1
. Trong mꢑt phꢍng Oxy, cho tam giác ABC biꢄt A(3;0), ꢆưꢀng cao tꢕ ꢆꢏnh B có phương trình x + y +1 = 0 ,
trung tuyꢄn tꢕ ꢆꢏnh C có phương trình: 2x-y-2=0. Viꢄt phương trình ꢆưꢀng tròn ngoꢌi tiꢄp tam giác ABC.
2
. Trong không gian vꢊi hꢘ trꢙc tꢐa ꢆꢚ Oxyz, cho các ꢆiꢋm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hãy viꢄt phương
trình mꢑt phꢍng (P) qua hai ꢆiꢋm A và B, ꢆꢇng thꢀi khoꢂng cách tꢕ C tꢊi mꢑt phꢍng (P) bꢔng 3 .
Câu VII.a (1 điểm)
2
)
10
)
2
2
14
Cho khai triꢋn:
(1+ 2x
(
x + x +1
= a + a x + a x + ... + a x . Hãy tìm giá trꢈ cꢉa a .
0
1
2
14
6
B. Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b (2 điểm)
1
1
và trꢐng tâm G
1
. Trong mꢑt phꢍng tꢐa ꢆꢚ Oxy, cho tam giác ABC biꢄt A(1;-1), B(2;1), diꢘn tích bꢔng
thuꢚc ꢆưꢀng thꢍng d:3x + y − 4 = 0 . Tìm tꢐa ꢆꢚ ꢆꢏnh C.
2
x − 2 = y −1 = z −1
2
.Trong không gian vꢊi hꢘ trꢙc Oxyz, cho mꢑt phꢍng (P) x + y − z +1 = 0 ,ꢆưꢀng thꢍng d:
1
−1
− 3
Gꢐi I là giao ꢆiꢋm cꢉa d và (P). Viꢄt phương trình cꢉa ꢆưꢀng thꢍng ∆ nꢔm trong (P), vuông góc vꢊi d và cách
I mꢚt khoꢂng bꢔng 3 2 .
3
z + i
Câu VII.b (1 ꢆiꢋm)
Giꢂi phương trình:
= 1.
i − z
-
----------------------------------------------------
-
WWW.MATHVN.COM -
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011
MÔN:TOÁN, Khối A
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH.
Câu
ý
Nội dung
Điểm
I(2đ)
1(1ꢆ) Khꢄo sát hàm sꢅ khi m = 2
3
2
Khi m = 2, hàm sꢁ trꢛ thành: y = x − 3x + 4
a) TXꢜ: R
b) SBT
•
Giꢊi hꢌn: lim y = −∞; lim y = +∞
0,25
x→−∞
x→+∞
•
Chiꢝu biꢄn thiên:
2
Có y’ = 3x − 6x; y’=0 ⇔ x =0, x =2
x
y’
−∞
0
0
4
2
0
+∞
+∞
+
−
+
0
,25
y
−
∞
0
Hàm sꢁ ꢜB trên các khoꢂng (−∞ ; 0) và (2 ; +∞), nghꢈch biꢄn trên (0 ; 2).
•
Hàm sꢁ ꢆꢌt cꢃc ꢆꢌi tꢌi x = 0, yCꢜ = y(0) = 4;
0,25
0,25
y
Hàm sꢁ ꢆꢌt cꢃc tiꢋu tꢌi x = 2, y = y(2) = 0.
c) ꢜꢇ thꢈ:
Qua (-1 ;0)
Tâm ꢆꢁi xꢗng:I(1 ; 2)
CT
4
I
2
0
-1
1 2
x
2(1ꢆ) Tìm m ...
Gꢐi k là hꢘ sꢁ góc cꢉa tiꢄp tuyꢄn ⇒tiꢄp tuyꢄn có véctơ pháp n = (k;−1)
1
0
,5
d: có véctơ pháp n = (1;1)
2
3
2
2
3
n1.n2
k1 =
1
2
k
−1
2
Ta có cosα =
⇔
=
⇔ 12k − 26k +12 = 0 ⇔
2
6
n1 n
2
2 k +1
k2 =
/
Yêu cꢞu cꢉa bài toán thꢒa mãn ⇔ ít nhꢎt mꢚt trong hai phương trình: y = k (1)
1
/
và y = k (2) có nghiꢘm x
2
2
3
2
2
3
0
,25
3
x + 2(1− 2m)x + 2 − m =
có nghiꢘm
có nghiꢘm
/
∆
1
2
≥ 0
≥ 0
⇔
⇔
/
∆
2
3
x + 2(1− 2m)x + 2 − m =
1
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận - WWW.MATHVN.COM -
Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-
1
1
2
m ≤ − ;m ≥
8m − 2m −1 ≥ 0
1
2
4
3
⇔
⇔
2 ⇔ m ≤ − 1
hoꢑc m ≥
0,25
2
4m − m − 3 ≥ 0
4
m ≤ − ;m ≥1
4
II(2đ) 1(1ꢆ) Giꢄi bꢆt phꢇơng trình ...
2
1
2x
2x
log
− 4 ≥ 0
− 3 ≤ log1
≤ −2(1)
4
− x
4 − x
2
2
Bpt⇔
⇔
0,25
0,25
2
x
2x
2
1
log
≤ 9
2 ≤ log1
≤ 3(2)
4 − x
4 − x
2
2
3x − 8 ≥ 0
2
x
4 − x
8 ≤ x ≤ 16
3 5
.
.
Giꢂi (1): (1) ⇔ 4 ≤
≤ 8 ⇔
⇔
⇔
4
− x
5x −16 ≤ 0
4 − x
17x − 4 ≥ 0
Giꢂi (2): (2) ⇔
1 ≤
8
2x
≤
1 ⇔ 4 − x
4 ≤ x ≤
4
17
0,25
0,25
4 − x
4
9x − 4 ≤ 0
9
4 − x
4 4 8 16
; ∪ ;
.
Vꢟy bꢎt phương trình có tꢟp nghiꢘm
17 9 3 5
2
(1ꢆ) Giꢄi PT lꢇꢈng giác
Pt⇔ 3sin 2x(2cos x +1) = (cos3x − cos x) + (cos2x −1) − (2cos x +1)
0
,5
2
2
⇔
⇔
3sin 2x(2cos x +1) = −4sin xcos x − 2sin x − (2cos x +1)
2
(2cos x +1)( 3sin 2x + 2sin x +1) = 0
π
2
•
3sin 2x + 2sin x +1 = 0 ⇔ 3 sin 2x − cos2x = −2 ⇔ sin(2x − ) = −1
0
,25
6
π
x = − + kπ
⇔
6
2π
x =
+ k2π
3
•
2cos x +1 = 0 ⇔
(k ∈ Z)
2
π
x = −
+ k2π
0,25
3
2
π
2π
π
Vꢟy phương trình có nghiꢘm: x =
+ k2π ; x = −
+ k2π và x = − + kπ
3
3
6
III(1đ) 1(1ꢆ) Tính tích phân.
2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận - WWW.MATHVN.COM -
Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
-
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4
x +1
I=
dx .
2
)
∫
0
(
1+ 1+ 2x
2
dx
t − 2t
0,25
•ꢜꢑt t = 1+ 1+ 2x ⇒ dt =
⇒ dx = (t −1)dt và x =
1
+ 2x
2
ꢜꢖi cꢟn
x
t
0
2
4
4
•
Ta
có
I
=
4
2
4
3
2
4
1
(t − 2t + 2)(t −1)
1 t − 3t + 4t − 2
1
4
2
t
dt =
2
dt = t − 3 + − dt
∫
2
∫
2
∫
2
0,5
2
t
2
t
2
t
2
2
2
2
1
2
t
2
=
=
− 3t + 4ln t +
t
1
4
2ln 2 −
0
0
,25
,25
(
1ꢆ) Tính thꢀ tích và khoꢄng cách
IV
S
•
Ta có IA = −2IH ⇒ H thuꢚc tia ꢆꢁi cꢉa tia IA và IA = 2IH
IA
a
BC = AB 2 = 2a ; AI= a ; IH=
=
2
2
K
3
a
AH = AI + IH =
A
B
2
I
H
C
a 5
2
2
2
0
•
Ta có HC = AC + AH − 2AC.AH cos45 ⇒ HC =
2
0
,25
∧
∧
0
Vì SH ⊥ (ABC) ⇒ (SC;(ABC)) = SCH = 60
a 15
0
SH = HC tan 60 =
2
3
a 15 = a 15
2
.SH = . (a 2)
2 6
1
1 1
•
VS.ABC = S
3
0,25
∆ABC
3 2
3
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận - WWW.MATHVN.COM -
Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BI ⊥ AH
BI ⊥ SH
•
⇒ BI ⊥ (SAH)
0
,25
d(K;(SAH)) = SK =
d(B;(SAH)) SB
1
2
⇒ d(K;(SAH)) = d(B;(SAH) = BI =
1
1
a
Ta có
2
2
2
V
(1ꢆ) Tim giá trꢉ lꢊn nhꢆt cꢋa P
x
y
z
P =
+
+
x + xy y + zx z + xy
.
2
2
2
x
y
z
Vì x; y; z > 0 , Áp dꢙng BꢜT Côsi ta có: P ≤
+
+
=
2 2 2
x yz 2 y zx 2 z xy
0,25
2
1
4
2
2
+
zx
2
=
+
yz
xy
2
2
2
1
1 1 1
1
1
1 1 yz + zx + xy 1 x + y + z
≤
+ + + + + =
≤
4
y
z
z
x
x
y
2
xyz
2
xyz
1
2
xyz
1
≤
=
0
,5
xyz
2
1
2
0,25
Dꢎu bꢔng xꢂy ra ⇔ x = y = z = 3. Vꢟy MaxP =
PHẦN TỰ CHỌN:
Câu
ý
Nội dung
Điểm
VIa(2đ) 1(1ꢆ) Viꢌt phꢇơng trình ꢂꢇꢁng tròn…
KH: d : x + y +1 = 0;d : 2x − y − 2 = 0
0,25
1
2
d có véctơ pháp tuyꢄn n = (1;1) và d có véctơ pháp tuyꢄn n = (1;1)
1
1
2
2
•
AC qua ꢆiꢋm A( 3;0) và có véctơ chꢏ phương n = (1;1) ⇒ phương trình
1
AC: x − y − 3 = 0 .
x − y − 3 = 0
⇒ C(−1;−4) .
C = AC ∩ d ⇒ Tꢐa ꢆꢚ C là nghiꢘm hꢘ:
2
2
x − y − 2 = 0
x + 3 y
B
B
) ( M là trung ꢆiꢋm AB)
•
Gꢐi B(x ; y ) ⇒ M (
;
B
B
0
,25
2
2
x + y +1 = 0
B B
Ta có B thuꢚc d và M thuꢚc d nên ta có:
⇒ B(−1;0)
− 2 = 0
1
2
yB
xB + 3 −
2
•
Gꢐi phương trình ꢆưꢀng tròn qua A, B, C có dꢌng:
2 2
x + y + 2ax + 2by + c = 0 .
Thay tꢐa ꢆꢚ ba ꢆiꢋm A, B, C vào pt ꢆưꢀng tròn ta có:
4
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận - WWW.MATHVN.COM -
Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0
,5
6a + c = −9
a = −1
−
2a + c = −1
⇔ b = 2 ⇒Pt ꢆưꢀng tròn qua A, B, C là:
−
2a − 8b + c = −17
c = −3
2
2
x + y − 2x + 4y − 3 = 0 . Tâm I(1;-2) bán kính R = 2 2
(1ꢆ) Viꢌt phꢇơng trình mꢍt phꢎng (P)
2
•
Gꢐi n = (a;b;c) ≠ O là véctơ pháp tuyꢄn cꢉa (P)
Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) ⇒ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0
Mà (P) qua B(0;0;-2) ⇒a-b-2c=0 ⇒ b = a-2c
Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0
0
,25
2
a + c
2 2
= 3 ⇔ 2a −16ac +14c = 0
2
a + (a − 2c) + c
•
d(C;(P)) = 3 ⇔
2
2
0
,5
a = c
⇔
a = 7c
•TH1: a = c ta chꢐn a = c = 1 ⇒ Pt cꢉa (P): x-y+z+2=0
0
,25
TH2:a = 7cta chꢐn a =7; c = 1 ⇒Pt cꢉa (P):7x+5y+z+2=0
VII.a
(1 ꢆ) Tìm hꢏ sꢅ cꢋa khai triꢀn
1
3
4
2
2
•
Ta có x + x +1 = (2x +1) +
nên
4
0
,25
1
0
2
2
1
14
3
12
9
10
(
1+ 2x
)
(x + x +1) = (1+ 2x) + (1+ 2x) + (1+ 2x)
16
1
6
8
6
1
4
6
6
•
Trong khai triꢋn
Trong khai triꢋn
Trong khai triꢋn
(
1+ 2x
)
hꢘ sꢁ cꢉa x là: 2 C
1
4
1
)
2
6
6
6
1
(
1+ 2x
hꢘ sꢁ cꢉa x là: 2 C
2
0
,5
1
)
0
6
6
6
1
(
1+ 2x
hꢘ sꢁ cꢉa x là: 2 C
0
1
3
9
0,25
6
6
14
6
6
12
6
6
10
•
Vꢟy hꢘ sꢁ a = 2 C + 2 C + 2 C = 41748.
6
1
6
8
16
VI.b(2đ) 1(1ꢆ) Tìm tꢐa ꢂꢑ cꢋa ꢂiꢀm C
xC yC
;
•
Gꢐi tꢐa ꢆꢚ cꢉa ꢆiꢋm C(x ; y ) ⇒ G(1+
) . Vì G thuꢚc d
3
C
C
3
0
,25
x yC
C
⇒
31+
+
− 4 = 0 ⇒ y = −3x + 3 ⇒ C(x ;−3x + 3)
3
C
C
C
C
3
•ꢜưꢀng thꢍng AB qua A và có véctơ chꢏ phương AB = (1;2)
5
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận - WWW.MATHVN.COM -
Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-
⇒
ptAB : 2x − y − 3 = 0
1
11
11
5
2x + 3x − 3 − 3 11
C
C
•
S∆ABC
=
AB.d(C; AB) = ⇔ d(C; AB) =
⇔
=
2
2
5
5
xC = −1
0,5
⇔
5x − 6 = 11 ⇔
C
17
xC =
5
•
TH1: x = −1⇒ C(−1;6)
C
0
0
,25
1
7
17 36
⇒ C( ;− ) .
TH2: x =
C
5
5
5
2
(1ꢆ) Viꢌt phꢇơng trình cꢋa ꢂꢇꢁng thꢎng
•
•
(P) có véc tơ pháp tuyꢄn n(P) = (1;1;−1) và d có véc tơ chꢏ phương .u = (1;−1;−3)
I = d ∩ (P) ⇒ I(1;2;4)
,25
vì ∆ ⊂ (P);∆ ⊥ d ⇒ ∆ có véc tơ chꢏ phương u =
[
n ;u
]
= (−4;2;−2)
2(−2;1;−1)
∆
(P)
=
•
Gꢐi H là hình chiꢄu cꢉa I trên ∆ ⇒ H ∈ mp(Q)qua I và vuông góc ∆
Phương trình (Q): − 2(x −1) + (y − 2) − (z − 4) = 0 ⇔ −2x + y − z + 4 = 0
Gꢐi d = (P) ∩ (Q) ⇒ d có vécto chꢏ phương
1
1
x =1
[
n ;n
]
= (0;3;3) = 3(0;1;1) và d qua I ⇒ ptd : y = 2 + t
(
P)
(Q)
1
1
z = 4 + t
Ta có H ∈ d ⇒ H(1;2 + t;4 + t) ⇒ IH = (0;t;t)
1
0
0
,5
t = 3
2
•
•
IH = 3 2 ⇔ 2t = 3 2 ⇔
t = −3
x −1 y − 5 = z − 7
TH1: t = 3 ⇒ H(1;5;7) ⇒ pt∆ : −
=
2
1
−1
,25
x −1 y +1 = z −1
TH2: t = −3 ⇒ H(1;−1;1) ⇒ pt∆ : −
=
2
1
−1
VII.b
1 ꢆ Giꢄi phꢇơng trình trên tꢒp sꢅ phꢓc.
ꢜK: z ≠ i
z + i
3
2
•
ꢜꢑt w =
ta có phương trình: w =1 ⇔ (w −1)(w + w +1) = 0
i − z
0
,5
6
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận - WWW.MATHVN.COM -
Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
w = 1
w = 1
−1+ i 3
⇔
⇔ w =
2
w + w +1 = 0
2
−
1− i 3
w =
2
z + i
Vꢊi w = 1⇒ i − z = 1 ⇔ z = 0
•
•
−
1+ i 3
z + i −1+ i 3
⇒ i − z
Vꢊi w =
Vꢊi w =
=
⇔ (1+ i 3)z = − 3 − 3i ⇔ z = − 3
⇔ (1− i 3)z = 3 − 3i ⇔ z = 3
2
2
0
,5
−
1− i 3
z + i −1− i 3
⇒ i − z
•
=
2
2
Vꢟy pt có ba nghiꢘm z = 0; z = 3 và z = − 3 .
-----------------------------------------------------
7
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận - WWW.MATHVN.COM -
Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2011
MÔN: TOÁN- KHỐI A
KHOA TOÁN-TIN
-
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------
Thꢀi gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề )
-
A. PHẦN CHUNG CHO MỌI THÍ SINH
Câu I (2 điểm).
4
2
1
. Khꢁo sát và vꢂ ꢃꢄ thꢅ hàm sꢆ y = x – 4x + 3
4
2
2
. Tìm m ꢃꢇ phꢈơng trình x − 4x + 3 = log m có ꢃúng 4 nghiꢉm.
2
Câu II (2 điểm).
3
2
x
x
x+
1
. ꢊꢋꢁi bꢌt phꢈơng ꢍꢎꢏnh:
5 −1 + 5 +1 − 2 ≤ 0
(
)
(
)
2
2
. ꢊꢋꢁi phꢈơng ꢍꢎꢏnh: x − (x + 2) x −1 = x − 2
Câu III (2 điểm)
x−1
2
e
. Tính giꢐi hꢑn sau: lxi→m1
+ tan(x −1) −1
1
2
3
x −1
. Cho hình chóp S.ABCD có ꢃáy là hình thoi , ∠BAD = α . Hai mꢒt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông
góc vꢐi mꢒt ꢃáy, hai mꢒt bên còn lꢑi hꢓp vꢐi ꢃáy mꢔt góc β . Cꢑnh SA = a. Tính diꢉn tích xung quanh
và thꢇ tích khꢆi chóp S.ABCD.
Câu IV (1 điểm). Cho tam giác ABC vꢐi các cꢑnh là a, b, c. Chꢕng minh rꢖng:
3
3
3
2
2
2
2
2
2
a + b + c + 3abc ≥ a(b + c ) + b(c + a ) + c(a + b )
B. PHẦN TỰ CHỌN: Mỗi thí sinh chỉ chọn câu Va hoặc Vb
Câu Va (3 điểm). Chương trình cơ bản
1
. Trong mꢒt phꢗng tꢘa ꢃꢔ Oxy cho ꢃꢈꢀng thꢗng ∆ : x + 2y −3 = 0 và hai ꢃiꢇm A(1; 0), B(3; - 4).
ꢀ ꢀꢁ ꢀꢀ ꢀꢁ
Hãy tìm trên ꢃꢈꢀng thꢗng ∆ mꢔt ꢃiꢇm M sao cho MA+3MB nhꢙ nhꢌt.
ꢀ
x =1−t
x = t
2
. Trong không gian Oxyz cho hai ꢃꢈꢀng thꢗng: d : y = 2t
và d : y =1+ 3t .
1
2
z = −2 + t
z =1−t
Lꢚp phꢈơng trình ꢃꢈꢀng thꢗng ꢃi qua M(1; 0; 1) và cꢛt cꢁ d và d .
1
2
2
3
. Tìm sꢆ phꢕc z thꢙa mãn: z + 2z = 0
Câu Vb. (3 điểm). Chương trình nâng cao
2
2
2
2
1. Trong mꢒt phꢗng tꢘa ꢃꢔ cho hai ꢃꢈꢀng tròn (C ): x + y = 13 và (C ): (x - 6) + y = 25 cꢛt nhau tꢑi
1
2
A(2; 3). Viꢜt phꢈơng trình ꢃꢈꢀng thꢗng ꢃi qua A và cꢛt (C ), (C ) theo hai dây cung có ꢃꢔ dài bꢖng nhau.
1
2
x =1−t
x = t
2
. Trong không gian Oxyz cho hai ꢃꢈꢀng thꢗng: d : y = 2t
và d : y =1+3t .
1
2
z = −2 +t
z =1−t
Lꢚp phꢈơng trình mꢒt cꢝu có ꢃꢈꢀng kính là ꢃoꢑn vuông góc chung cꢞa d và d .
1
2
3. Trong các sꢆ phꢕc z thꢙa mãn ꢃiꢟu kiꢉn z +1+ 2i =1, tìm sꢆ phꢕc z có modun nhꢙ nhꢌt.
------------------------------------------------------------
-
WWW.MATHVN.COM -
ꢠꢡI HꢢC Sꢣ PHꢡM HÀ NꢤI
-
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011
MÔN:TOÁN, Khối A
Câu ý
1
Nꢔi dung
ꢠiꢇm
2
1
TXꢠ D = »
Giꢐi hꢑn : lim y = +∞
x→±∞
I
3
Sꢥ biꢜn thiên : y’ = 4x - 8x
y’ = 0 ⇔ x = 0, x = ± 2
0
0
25
25
Bꢁng biꢜn thiên
x
−
∞
∞
− 2
0
0
3
2
+
y’
y
-
0
+
-
0
+
+∞
+∞
-1
-1
0
25
Hàm sꢆ ꢃꢄng biꢜn trên các khoꢁng − 2;0 , 2;+∞ và nghꢅch biꢜn trên các khoꢁng
) (
(
)
−
∞;− 2 , 0; 2
(
) (
)
Hàm sꢆ ꢃꢑt cꢥc ꢃꢑi tꢑi x = 0, yCD = 3. Hàm sꢆ ꢃꢑt cꢥc tiꢇu tꢑi x = ± 2 , y = -1
CT
ꢠꢄ thꢅ
0
25
2
1
4
2
ꢠꢄ thꢅ hàm sꢆ y = x − 4x + 3
4
2
Sꢆ nghiꢉm cꢞa phꢈơng trình x − 4x + 3 = log m bꢖng sꢆ giao ꢃiꢇm cꢞa ꢃꢄ thꢅ hàm sꢆ
2
4
2
y = x − 4x + 3 và ꢃꢈꢀng thꢗng y = log m.
2
Vꢚy phꢈơng trình có 4 nghiꢉm khi và chꢦ khi log m = 0 hoꢒc 1< log m < 3
2
2
hay m = 1 hoꢒc 2
-
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1
Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
Gv: Trần Quang Thuận
-
WWW.MATHVN.COM -
ꢠꢡI HꢢC Sꢣ PHꢡM HÀ NꢤI
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
-
II
2
1
1
x
x
5
−1
5 +1
Viꢜt lꢑi bꢌt phꢈơng trình dꢈꢐi dꢑng
+
− 2 2 ≤ 0
2
x
2
025
025
x
5
+1
5 −1
1
ꢠꢒt t =
,t > 0. khi ꢃó
=
2
2
t
Bꢌt phꢈơng trình có dꢑng
1
2
t + − 2 2 ≤ 0 ⇔ t − 2 2t +1≤ 0
0
25
t
⇔
⇔
2 −1≤ t ≤ 2 +1
x
5
+1
2 −1≤
≤ 2 +1
025
1
2
⇔
log 5+1 ( 2 −1) ≤ x ≤ log 5+1 ( 2 +1)
2
2
2
ꢠiꢟu kiꢉn : x ≥1
Phꢈơng trình tꢈơng ꢃꢈơng vꢐi x − x( x −1 −1) − 2 x −1 − 2(x −1) = 0
2
(*)
2
2
ꢠꢒt y = x −1, y ≥ 0 . Khi ꢃó (*) có dꢑng : x – x(y - 1) – 2y – 2y = 0
0
0
25
25
⇔
⇔
⇒
⇔
⇔
(x − 2y)(x + y +1) = 0
x − 2y = 0(do x + y +1≠ 0)
x = 2 x −1
2
x − 4x + 4 = 0
05
x = 2
III
2
1
1
x−1
2
x−1
2
e
+ tan(x −1) −1
e
−1+ tan(x −1)
3
2
3
lim
= lim
.( x + x +1)
025
x→1
3
x→1
x −1
x −1
x−1
2
e
−1
tan(x −1)
3
2
3
3
2
3
=
=
lim
.( x + x +1) + lim
.( x + x +1)(x +1)
2
x→1
x→1
x −1
x −1
05
3
2
3
3
2
3
lim( x + x +1) + lim( x + x +1)(x +1) = 9
x→1
x→1
025
2
1
Kꢧ ꢃꢈꢀng cao SI cꢞa tam giác SBC. Khi ꢃó AI ⊥ BC
-
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
Gv: Trần Quang Thuận
-
WWW.MATHVN.COM -
ꢠꢡI HꢢC Sꢣ PHꢡM HÀ NꢤI
-
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
(ꢠꢅnh lí 3 ꢃꢈꢀng vuông góc) do ꢃó ∠SIA = β
S
025
a cot β
sinα
a
AI = a.cot β , AB = AD =
, SI =
sin β
2
2
a cot β
sinα
025
SABCD = AB.AD.sinα =
A
3
2
a cot β
VS.ABCD
=
3
sinα
0
25
25
Sxq = S
+ SSAD SSBC + SSCD
B
I
C
SAB
2
0
a cot β
sinα
1
=
.(1+
)
sin β
IV
1
0
3
3
3
2
2
2
2
2
2
Ta có a + b + c + 3abc ≥ a(b + c ) + b(c + a ) + c(a + b )
2
a + b − c b + c − a
2
2
2
2
2
2
2
2
c + a −b
2ca
3
2
⇔
⇔
+
+
≤
2
ab
2bc
25
3
2
cos A+ cos B + cosC ≤
025
Mꢒt khác
cos A+ cos B + cosC = (cos A+ cos B).1− (cos Acos B −sin Asin B)
05
1
2
1
3
2
2
2
2
2
≤
[(cos A+ cos B) +1 ]+ [sin A+sin B]-cos Acos sB =
2
3
Do ꢃó cos A+ cos B + cosC ≤
2
Va
3
1
1
5
Gꢘi I là trung ꢃiꢇm cꢞa AB, J là trung ꢃiꢇm cꢞa IB. Khi ꢃó I(1 ; -2), J( ;−3 )
2
ꢀ
ꢀ ꢀꢁ ꢀꢀ ꢀꢁ ꢀꢀ ꢀꢁ ꢀꢀ ꢀꢁ ꢀꢀ ꢀꢁ
Ta có : MA+ 3MB = (MA+ MB) + 2MB = 2MI + 2MB = 4MJ
ꢀ ꢀꢁ ꢀꢀ ꢀꢁ
ꢀꢀꢀꢁ
ꢀꢀꢁ ꢀꢀꢀꢁ
0
25
ꢀ
Vì vꢚy MA+ 3MB nhꢙ nhꢌt khi M là hình chiꢜu vuông góc cꢞa J trên ꢃꢈꢀng thꢗng ∆
025
25
0
ꢠꢈꢀng thꢗng JM qua J và vuông góc vꢐi ∆ có phꢈơng trình : 2x – y – 8 = 0.
−2
5
19
5
x =
y =
x + 2y −3 = 0
19 −2
025
Tꢘa ꢃꢔ ꢃiꢇm M là nghiꢉm cꢞa hꢉ
⇔
vꢚy M(
;
)
2
x − y −8 = 0
5 5
2
1
-
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
Gv: Trần Quang Thuận
-
WWW.MATHVN.COM -
ꢠꢡI HꢢC Sꢣ PHꢡM HÀ NꢤI
-
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
ꢀꢁ
025
ꢠꢈꢀng thꢗng d ꢃi qua A(1; 0; -2) và có vecto chꢦ phꢈơng là u = (−1;2;1), ꢃꢈꢀng thꢗng d
1
2
1
ꢀ
ꢀꢁ
ꢃi qua B(0; 1; 1) và có vecto chꢦ phꢈơng là u = (1;3;−1) .
2
Gꢘi (α),(β) là các mꢒt phꢗng ꢃi qua M và lꢝn lꢈꢓt chꢕa d và d . ꢠꢈꢀng thꢗng cꢝn tìm
025
1
2
chính là giao tuyꢜn cꢞa hai mꢒt phꢗng (α)và (β)
ꢀ ꢀꢁ ꢀꢀ ꢀꢁ
Ta có MA = (0;0;−3), MB = (−1;1;0)
ꢀ
ꢀ
1
ꢁ
ꢀꢀ ꢀꢁ ꢀꢁ ꢀ ꢀꢁ ꢀꢀ ꢀꢁ ꢀ ꢀꢁ
1
2
n = MA;u = (2;1;0),n = − MB;u = (1;1;4) là các vecto pháp tuyꢜn cꢞa (α)và (β)
1
2
025
025
1
3
ꢁ
ꢀꢁ ꢀꢀꢁ
ꢠꢈꢀng giao tuyꢜn cꢞa (α)và (β) có vectơ chꢦ phꢈơng u = n ;n = (4;−8;1) và ꢃi qua
1
2
I
M(1;0;1) nên có phꢈơng trình x= 1 + 4t, y = 8t, z = 1 + t
3
2
2
2
025
025
025
25
Gꢘi z = x + y.i. Khi ꢃó z = x – y + 2xy.i, z = x − yi
2
2
2
z + 2z = 0 ⇔ x − y + 2x + 2(x −1)yi = 0
2 2
x − y + 2x = 0
⇔ (x =1; y = ± 3),(x = 0; y = 0),(x = −2; y = 0)
⇔
2
(x −1)y = 0
Vꢚy có 4 sꢆ phꢕc thꢙa mãn z = 0, z = - 2 và z = 1± 3i
0
3
1
Vb
1
Gꢘi giao ꢃiꢇm thꢕ hai cꢞa ꢃꢈꢀng thꢗng cꢝn tìm vꢐi (C ) và (C ) lꢝn lꢈꢓt là M và N
1
2
2
2
Gꢘi M(x; y)∈(C ) ⇒ x + y =13
1
(
1)
025
Vì A là trung ꢃiꢇm cꢞa MN nên N(4 – x; 6 – y).
Do N ∈(C ) ⇒ (2 + x) + (6 − y) = 25
2
2
(2)
2
2
2
x + y =13
025
25
Tꢨ (1) và (2) ta có hꢉ
2
2
(2 + x) + (6 − y) = 25
0
−
17
6
−17
6
5
Giꢁi hꢉ ta ꢃꢈꢓc (x = 2 ; y = 3) ( loꢑi) và (x =
; y = ). Vꢚy M(
;
)
5
5
5
025
1
ꢠꢈꢀng thꢗng cꢝn tìm ꢃi qua A và M có phꢈơng trình : x – 3y + 7 = 0
2
Gꢘi M (1- t ; 2t ; -2 + t) ∈d , N(t’ ; 1+3t’ 1- t’) ∈d
1
2
ꢀꢁ
ꢠꢈꢀng thꢗng d có vecto chꢦ phꢈơng là u = (−1;2;1), ꢃꢈꢀng thꢗng d có vecto chꢦ phꢈơng
1
2
1
ꢀ
ꢀꢁ
2
là u = (1;3;−1) .
ꢀ
ꢀꢀꢁ
MN = (t '+ t −1;3t '− 2t +1;−t '−t + 3)
025
MN là ꢃoꢑn vuông góc chung cꢞa d và d2
1
3
5
7
ꢀ
ꢀꢀꢁ ꢀꢁ
t ' =
MN.u = 0
2t '−3t +3 = 0
1
⇔
⇔
O
ꢀ
ꢀꢀꢁ ꢀꢀꢁ
1
1t '− 4t −1= 0
MN.u = 0
2
t =
5
025
-
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4
Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
Gv: Trần Quang Thuận
-
WWW.MATHVN.COM -
ꢠꢡI HꢢC Sꢣ PHꢡM HÀ NꢤI
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
−
2 14 −3
3 14 2
Do ꢃó M(
;
;
), N( ; ; ).
5
5 5
5 5 5
MN
2
1 14 −1
và tâm I( ; ;
) có phꢈơng trình 025
Mꢒt cꢝu ꢃꢈꢀng kính MN có bán kính R =
=
2
2
10 5 10
1
14 2
x − ) + (y − ) + (z + ) =
10
1
1
2
2
2
(
1
0
5
025
3
1
Gꢘi z = x + yi, M(x ; y ) là ꢃiꢇm biꢇu diꢩn sꢆ phꢕc z.
2
2
z +1+ 2i =1⇔ (x +1) + (y + 2) =1
0
0
25
2
2
ꢠꢈꢀng tròn (C) : (x +1) + (y + 2) =1 có tâm (-1;-2)
ꢠꢈꢀng thꢗng OI có phꢈơng trình y = 2x
Sꢆ phꢕc z thꢙa mãn ꢃiꢟu kiꢉn và có môdun nhꢙ nhꢌt khi và chꢦ khi ꢃiꢇm
Biꢇu diꢩn nó thuꢔc (C) và gꢝn gꢆc tꢘa ꢃꢔ O nhꢌt, ꢃó chính là mꢔt trong hai
giao ꢃiꢇm cꢞa ꢃꢈꢀng thꢗng OI và (C)
25
Khi ꢃó tꢘa ꢃꢔ cꢞa nó thꢙa
1
1
x = −1−
y = −2 −
x = −1+
y = −2 +
y = 2x
5
5
mãn hꢉ
⇔
,
2
2
2
025
(
x +1) + (y + 2) =1
2
5
5
1
2
)
5
Chon z = −1+
+ i(−2 +
025
5
=
=============================
-
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5
Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
Gv: Trần Quang Thuận
-
WWW.MATHVN.COM -
KHOA TOÁN-TIN
------------
MÔN: TOÁN- KHỐI A
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề )
-
-
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm )
x -1 (C).
2
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số: y =
x -1
. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận, M là một điểm bất kì trên (C), tiếp tuyến của (C) tại M cắt các tiệm cận
tại A, B. Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên (C).
1
2
Câu II: (2,0 điểm)
3
3
sin x.sin3x + cos x.cos3x
1
8
1
. Giải phương trình
= -
æ
p ö
æ
p ö
tan x -
.tan x +
ç
÷
ç
÷
è
6 ø
è
3 ø
3
3
ù
û
2
é
2
2
. Giải phương trình 1+ 1- x
(
1+ x
)
-
(
1- x
)
= 2 + 1- x .
ê
ë
ú
1
2
Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân I = xln
(
x + x +1
)
dx .
ò
0
a 3
0
Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a , AA' =
, góc BAD bằng 60 . Gọi
2
M, N lần lượt là trung điểm của cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN) và tính thể
tích khối đa diện AA’BDMN theo a .
2
2
2
Câu V. (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c =1, ta có:
5
3
5
3
5
3
a - 2a + a b - 2b + b c - 2c + c 2 3
+
+
£ .
3
2
2
2
2
2
2
b + c
c + a
a + b
B. PHẦN RIÊNG (3,0 ĐIỂM):Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
I. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1
. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của
hai đường thẳng: d : x – y – 3 = 0, d : x + y – 6 = 0. Trung điểm một cạnh là giao điểm của d và tia Ox. Tìm
1
2
1
tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
x -14
y
z + 5
-2
2
. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;1;1) và đường thẳng d:
=
=
. Viết phương
4
1
trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 16.
n
æ
1 ö
2
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm hệ số chứa x trong khai triển:
x +
2 x ø
÷ , biết n là số nguyên dương thỏa mãn:
ç
è
4
2
3
n+1
2
2
2
6560
.
n +1
0
n
1
n
2
n
n
2
C + C + C +...+
C =
n
2
3
n +1
II. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1
7
. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông có đỉnh là (-4; 8) và một đường chéo có phương trình
x – y + 8 = 0. Viết phương trình các cạnh của hình vuông.
2
. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z -1= 0 và hai điểm A(1;-3;0), B(5;-1;-2).
Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA- MB đạt giá trị lớn nhất.
ì1
2
log x - log y = 0
ï
3
3
Câu VII.b (1.0 điểm) Cho hệ phương trình 2
,(mÎ R) . Tìm m để hệ có nghiệm.
í
3
2
ï
x + y - my = 0
î
.
........Hết.........
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:............................................................; Số báo danh:...................
-
WWW.MATHVN.COM -
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011
Môn thi: TOÁN
.
Câu
I
Ý
1
Đáp án
Điểm
1,0
·
·
{ }
TXĐ : D = R\ 1 .
Sự biến thiên:
-
1
2
y’ =
< 0,"xÎ D .
x -1
)
0,25
(
Hàm số nghịch biến trên:
( )
(
)
-¥;1 và 1;+¥
Giới hạn: lim = lim = 2 ; tiệm cận ngang: y = 2
x®+¥
x®-¥
0
,25
lim = +¥, lim = -¥ ; tiệm cận đứng: x = 1
+
-
x®1
x®1
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
0,25
,25
1,0
·
0
2
2
m -1
)
Gọi M(m;
m -1
0
,25
-
1
2m -1
( )
x - m +
2
m -1
Tiếp tuyến của (C) tại M: y =
(
m -1
)
2
m
), B(2m-1; 2)
A(1;
IA =
0,25
0,25
m -1
2
m
1
- 2 = 2
, IB = 2m - 2 = 2 m -1
m -1
m -1
1
SDIAB = IA.IB = 2 .
0
,25
2
Vậy diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên (C).
II
1
1,0
p
6
kp
2
Điều kiện: x ¹
+
0
,25
æ
è
p ö
6 ø
æ
è
p ö
3 ø
æ
è
p ö
6 ø
æp
è 6
ö
ø
Ta có tan x -
.tan x +
= tan x -
.cot
- x = -1
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
1
3
3
Phương trình tương đương với: sin x.sin3x + cos x.cos3x =
8
1
- cos2x cos2x - cos4x 1+ cos2x cos2x + cos4x
1
8
Û
.
+
.
=
0,25
0,25
2
2
2
2
1
2
Û 2
(
cos2x - cos2x.cos4x
)
=
1
1
2
3
Û cos x = Û cos2x =
8
-
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
-
WWW.MATHVN.COM -
é
ê
p
6
x = + kp
(
loai
)
p
6
Û ê
ê
,k ÎZ . Vậy : x = - + kp
0,25
p
6
x = - + kp
ê
ë
2
1,0
Đk: -1 £ x £1
3
3
Đặt u =
(
1+ x
)
, v = (1- x) ; u,v ³ 0
2
0
,25
2
ìu + v = 2
ï
Hệ thành:
í
3
3
ï 1+ uv(u - v ) = 2 + uv
î
1
2
1
1
2
2
u + v
2
2
1
+ uv =
(
2+ 2uv
)
=
(
u + v + 2uv
)
=
(
)
2
2
Ta có:
0,25
0,25
3
3
2
u + v =
(
u - v
)
(
u + v + vu
)
= (u - v)
(
2 + uv
)
2
2
ìu + v = 2
ï
2
2
Þ
Þ u =1+
í
2
2
2
ïu - v = 2
î
2
Þ x =
0,25
2
III
1,0
ì
2x +1
2
du =
x + x +1
2
dx
2
u ln x x 1
ì =
+ +
ï
ï
ï
(
)
Đặt
Þ
í
í
ï
x
ïdv = xdx
î
v =
0
0
,25
,25
ï
î
2
2
1
3
2
1
x
1 2x + x
2
I = ln x + x +1 -
dx
2 x + x +1
(
(
)
ò
2
2
ln3-
3
0
1
0
1
1
2
1
2
1
3
dx
2
2
1
0
x - x)0 + ln(x + x +1) -
ò
2
4
4 x + x +1
0
3
=
ln3- J
4
4
1
dx
2
1
3
æ p p ö
tant,t Î - ;
÷
è 2 2 ø
J =
J =
. Đặt x + =
ò
2
ç
2
2
0
1
æ 3 ö
æ
ö
÷
x +
+
ç
è
ç
è
÷
ø
2 ø
p
2
0,25
2
3
p 3
9
3
dx =
p
ò
3
6
3
p 3
12
Vậy I = ln 3 -
0,25
4
IV
1,0
Gọi O là tâm của ABCD, S là điểm đối xứng với A qua A’Þ M, N lần lượt là trung
điểm của SD và SB
a 3
0
AB = AD = a, góc BAD = 60 Þ D ABD đều Þ OA =
, AC = a 3
0
,25
2
a 3
SA = 2AA’ = a 3,CC ' = AA' =
2
-
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
-
WWW.MATHVN.COM -
AO SA
Þ
=
Þ DSAO ~ DACC '
AC CC '
Þ DACC ' ~ DAIO (I là giao điểm của AC’ và SO)
0
0
,25
,25
Þ SO ^ AC '
Mặt khác BD ^ (ACC ' A') Þ BD ^ AC '
(1)
(2)
Từ (1) và (2) Þ đpcm
2
1
VSABD = a
3
3
a
a 3 =
2
2
4
2
2
a
1
æ a ö 3 a 3
VSA'MN
=
=
=
ç ÷
3
è 2 ø 4
2
32
2
7
a
VAA'BDMN =VSABD -VSA'MN
0,25
3
2
V
1,0
2
2
2
( )
Do a, b, c > 0 và a + b + c =1 nên a, b, c Î 0;1
2
2
5
3
a a -
(
1
2
)
a - 2a + a
3
Ta có:
=
= -a + a
2
2
0,25
b + c
1- a
2
3
3
3
3
BĐT thành: -a + a + -b + b + -c + c £
(
) (
) (
)
3
3
Xét hàm số f
(
x
)
= -x + x, xÎ
(
0;1
)
2
3
0,25
Ta có:
f
(
x
)
=
Max
9
(
0;1
)
0
0
,25
,25
2
3
Þ đpcm
Þ f
(
a
)
+ f
(
b
)
+ f
(
c
)
£
3
1
3
Đẳng thức xảy ra Û a = b = c =
VI.a
1
1,0
æ 9 3 ö
è 2 3 ø
I
;
÷ , M
(
3;0
)
0,25
ç
Giả sử M là trung điểm cạnh AD. Ta có: AB = 2IM = 3 2
SABCD = AB.AD =12 Þ AD = 2 2
0
,25
AD qua M và vuông góc với d Þ AD: x + y – 3 = 0
1
Lại có MA = MB = 2
ìx + y -3 = 0
ìx = 2
ìx = 4
0,25
0,25
ï
Tọa độ A, D là nghiệm của hệ:
Û
hoặc
í
î
í
í
2
2
y =1
y = -1
(
x -3
)
+ y = 2
î
î
ï
Chọn A(2 ; 1) Þ D
(
4;-1
)
Þ C
(
) (
)
7;2 và B 5;4
2
1,0
Gọi H là trung điểm đoạn AB Þ HA = 8
0,25
0,25
0,25
2
IH = 17
2
IA = 81 Þ R = 9
2
2
2
z -1 = 81
(
C
)
:
(
x -1
)
+
(
y -1
)
+
(
)
0,25
VII.a
1,0
-
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
-
WWW.MATHVN.COM -
2
3
n+1
2
2
2
2
n
1+ x dx
0
n
1
n
2
n
n
n
Ta có: 2C + C + C +...+
C =
(
)
0,25
0,25
0,25
ò
2
3
n +1
0
n+1
3
-1 6560
= Û 3 = 6561Û n = 7
n+1
Û
æ
n +1
1 ö
n +1
7
7
14-3k
4
1
k
k
7
x +
=
C x
ç
è
÷ å
4
2 x ø
0
2
1
4 -3k
4
2
Số hạng chứa x ứng với k thỏa:
= 2 Û k = 7
0
,25
2
1
Vậy hệ số cần tìm là:
4
VI.b
1
1,0
Gọi A(-4; 8) Þ BD: 7x – y + 8 = 0Þ AC: x + 7y – 31 = 0
Gọi D là đường thẳng qua A có vtpt (a ; b)
0,25
D: ax + by + 4a – 5b = 0, 0
0,25
0,25
D hợp với AC một góc 45 Þ a = 3, b = -4 hoặc a = 4, b = 3
ÞAB: 3x - 4y + 32 = 0; AD : 4x + 3y +1= 0
1
9
( )
Gọi I là tâm hình vuông Þ I( - ; ) Þ C 3;4
2
2
Þ BC : 4x + 3y - 24 = 0;CD :3x - 4y + 7 = 0
KL:
0,25
2
1,0
Ta có: A, B nằm khác phía so với (P).Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P)
Þ B’(-1; -3; 4)
0
,25
MA- MB = MA- MB' £ AB'
Đẳng thức xảy ra khi M, A, B’ thẳng hàng Þ M là giao điểm của (P) và AB’
0
,25
ìx =1+ t
ï
AB’: y = -3
0,25
í
ï
z = -2t
î
M(-2; -3; 6)
0,25
VII.b
1,0
Đk: x ¹ 0, y > 0
ì1
2
2
log x - log y = 0
ìlog x = log y
3 3
ï
í
3
3
ï
Û
í
x + y - ay = 0
ï
3
2
3
2
ï
î
0,25
x + y - my = 0
î
ìy = x
ìy = x ,
(
1
)
ï
ï
Û
Û
í
í
3
2
2
ïy + y - ay = 0
ïy + y = a,
(
2
)
î
î
Hệ có nghiệm khi (2) có nghiệm y > 0
2
0,25
Ta có : f(y) = y + y >0 ," y > 0
Do đó pt f(y) = a có nghiệm dương khi a>0
Vậy hệ có nghiệm khi a > 0
0,25
0,25
-
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
-
WWW.MATHVN.COM -
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2011
Môn thi : TOÁN - khối A.
KHOA TOÁN-TIN
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ THI THỬ
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm).
x −3
. Khꢀo sát sꢁ biꢂn thiên và vꢃ ꢄꢅ thꢆ (C) cꢇa hàm sꢈ y = x +1
1
.
2
. Viꢂt phưꢉng trình ꢄưꢊng thꢋng d ꢄi qua ꢄiꢌm I −1;1 và cꢍt ꢄꢅ thꢆ (C) tꢎi hai ꢄiꢌm M, N sao
(
)
cho I là trung ꢄiꢌm cꢇa ꢄoꢎn MN.
Câu II (2,0 điểm).
3
− 2 3 cos x −3 3 cos2x +8 3cos x −sinx −3 3 = 0 .
1
. Giꢀi phưꢉng trình sin 2x
(
cos x + 3
)
(
)
3
x − y = 4xy
3
3
(
)
2
. Giꢀi hꢏ phưꢉng trình
.
2
x y = 9
2
Câu III (2,0 điểm).
2 2
. Cho x, y là các sꢈ thꢁc thoꢀ mãn x + xy + 4y = 3.
1
2
3
3
Tìm giá trꢆ nhꢐ nhꢑt, lꢒn nhꢑt cꢇa biꢌu thꢓc: M = x +8y −9xy .
2
2
2
c
a
b
1
+
(
. Chꢓng minh
+
+
ab + bc + ca ≥ a + b + c vꢒi mꢔi sꢈ dưꢉng a;b;c .
)
a + b b + c c + a 2
Câu IV (1,0 điểm). Cho lꢕng trꢖ tam giác ꢄꢗu ABC.A'B'C ' có cꢎnh ꢄáy là a và khoꢀng cách tꢘ A
a
ꢄꢂn mꢙt phꢋng (A’BC) bꢚng . Tính theo a thꢌ tích khꢈi lꢕng trꢖ ABC.A'B'C '.
2
II. PHẦN RIÊNG(3,0 điểm): Tất cả thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: A hoặc B.
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu Va (1,0 điểm). Trong mꢙt phꢋng tꢔa ꢄꢛ (Oxy). Lꢜp phưꢉng trình ꢄưꢊng thꢋng qua M 2;1 và
( )
tꢎo vꢒi các trꢖc tꢔa ꢄꢛ mꢛt tam giác có diꢏn tích bꢚng 4 .
Câu VI.a (2,0 điểm).
1
. Giꢀi bꢑt phưꢉng trình 1+ log x + log
(
2
) ( )
x + 2 > log 2 6− x .
2
3
2
2
2
. Tìm m ꢄꢌ hàm sꢈ y = x −3(m +1)x + 2(m + 7m + 2)x − 2m(m + 2) có cꢁc ꢄꢎi và cꢁc tiꢌu.
Viꢂt phưꢉng trình ꢄưꢊng thꢋng ꢄi qua ꢄiꢌm cꢁc ꢄꢎi và cꢁc tiꢌu khi ꢄó.
B. Theo chương trình Nâng cao
1
Câu Vb (1,0 điểm). Trong mꢙt phꢋng tꢔa ꢄꢛ (Oxy) , cho ꢄiꢌm M 3; . Viꢂt phưꢉng trình chính
2
tꢍc cꢇa elip ꢄi qua ꢄiꢌm M và nhꢜn F − 3;0 làm tiêu ꢄiꢌm.
1
(
)
Câu VI.b (2,0 điểm).
2 2
y + x = x + y
.
1
. Giꢀi hꢏ phưꢉng trình
x y+1
2 = 3
2
. Tìm trên mꢙt phꢋng tꢔa ꢄꢛ tꢜp hꢝp tꢑt cꢀ các ꢄiꢌm mà tꢘ ꢄó có thꢌ kꢞ ꢄưꢝc hai tiꢂp tuyꢂn ꢄꢂn ꢄꢅ
2
x − 2x + 2
thꢆ hàm sꢈ y =
và hai tiꢂp tuyꢂn này vuông góc vꢒi nhau.
x −1
----------------------------------HẾT---------------------------------
-
WWW.MATHVN.COM -
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
=
=======================================================================
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Môn thi : TOÁN - khối A.
CÂU
Ý
NỘI DUNG
ĐIỂM
0,25 đ
Câu I
Ý 1
(1,0đ)
{ }
Tập xác định: D = R \ −1 .
Sự biến thiên:
(2,0đ)
•
Giꢒi hꢎn và tiꢏm cꢜn: lim y =1; lim y =1⇒ y =1 là TCN.
x→−∞ x→+∞
0
,25 đ
lim y = +∞; lim y = −∞ ⇒ x = −1 là TCꢟ
−
+
( )
x→ −1
x→
(
−1
)
4
y' =
> 0,∀x∈ D .
2
(
x +1
)
•
BBT:
+
∞
x
-1
-
∞
+
+
y'
0
,25 đ
1
y
+∞
1
-∞
( ) ( )
Hàm sꢈ ꢄꢅng biꢂn trên các khoꢀng −∞;−1 , −1;+∞
Và không có cꢁc trꢆ.
Đồ thị: ꢟT cꢍt Ox tꢎi (3;0), cꢍt Oy tꢎi (0;-3) và ꢄꢈi xꢓng qua
(
−1;1
)
.
y
4
2
y = 1
-5
O
5
x
x = -1
-2
0
0
,25 đ
,25 đ
Ý 2
1,0đ)
Gꢔi d là ꢄưꢊng thꢋng qua I và có hꢏ sꢈ góc k d : y = k
(
x +1
)
+1.
(
x −3
x +1
Ta có: d cꢍt ( C) tꢎi 2 ꢄiꢌm phân biꢏt M, N ⇔ PT :
có 2 nghiꢏm PB khác −1.
= kx + k +1
2
0
,25 đ
Hay: f
(
x
)
= kx + 2kx + k + 4 = 0 có 2 nghiꢏm PB khác −1
-
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
-
WWW.MATHVN.COM -
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
=======================================================================
=
k ≠ 0
⇔
∆ = −4k > 0 ⇔ k < 0.
( )
f −1 = 4 ≠ 0
Mꢙt khác: x + x = −2 = 2x ⇔ I là trung ꢄiꢌm MN vꢒi ∀k < 0 .
0,25 đ
0,25 đ
M
N
I
KL: PT ꢄưꢊng thꢋng cꢠn tìm là y = kx + k +1 vꢒi k < 0 .
Chú ý: Có thꢌ chꢓng minh ꢄꢅ thꢆ ( C) có I là tâm ꢄꢈi xꢓng, dꢁa vào
ꢄꢅ thꢆ ( C) ꢄꢌ kꢂt luꢜn kꢂt quꢀ trên.
2 3 2
2sinx.cos x+6sinx.cosx−2 3.cos x−6 3cos x+3 3+8( 3.cosx−sinx)−3 3=0
Câu II
2,0đ)
Ý 1
(1,0đ)
⇔
(
2
−2cos x( 3cosx−sinx)−6.cosx( 3cosx−sinx)+8( 3cosx−sinx)=0
⇔
0,50 đ
.
2
( 3 cos x −sin x)(−2cos x − 6cos x +8) = 0
⇔
tan x = 3
.
3
cos x −sin x = 0
⇔
⇔
⇔ cos x =1
2
cos x + 3cos x − 4 = 0
cos x = 4(loai)
0,25 đ
π
x = + kπ
3
,k ∈Ζ
0,25 đ
0,25 đ
x = k2π
Ý 2
2 2
Ta có : x y = 9 ⇔ xy = ±3.
(1,0đ)
3 3
3 3
Khi: xy = 3 , ta có: x − y = 4 và x . −y = −27
( )
.
3
3
2
0,25 đ
Suy ra: x ; −y là nghiꢏm PT X − 4X − 27 = 0 ⇔ X = 2± 31
(
)
3
3
Vꢜy ngiꢏm cꢇa PT là x = 2 + 31, y = − 2 − 31
0
0
,25 đ
,25 đ
3
Hay x = 2 − 31, y = − 2 + 31 .
3
3
3
3
3
Khi: xy = −3 , ta có: x − y = −4 và x . −y = 27
(
)
3
3
2
Suy ra: x ; −y là nghiꢏm PT X + 4X + 27 = 0(PTVN)
(
)
2
t −3
Câu III
2,0đ)
Ý 1
(1,0đ)
Ta ꢄꢙt t = x + 2y , tꢘ giꢀ thiꢂt suy ra xy =
30
.
(
3
0
0
,25 đ
,25 đ
2
ꢟiꢗu kiꢏn t ≤
5
3
3
3
•
Khi ꢄó M = x +8y −9xy =
(
x + 2y
)
− 6xy
(
x + 2y
)
−9xy
3
2
=
( )
−t −3t + 6t + 9 = f t
0
,5 đ
2
30 2 30
;
•
Xét hàm f(t) vꢒi t ∈ −
, ta ꢄưꢝc:
5
5
-
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
Gv: Trần Quang Thuận
Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
-
WWW.MATHVN.COM -
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
=======================================================================
=
3
5−12 30
35 +12 30
min f
(
t
)
=
; max f
(
t
)
=
5
5
2
Ý 2
1,0đ)
a
ab
= a −
a +b
ab
1
Ta có:
≥ a −
= a −
ab (1)
0,50 đ
0,25 đ
(
a +b
2 ab
2
2
2
b
1
2
c
1
2
Tưꢉng tꢁ:
≥ b −
bc (2),
≥ c −
ca (3).
b + c
c + a
Cꢛng (1), (2), (3), ta có:
2
2
2
c
a
b
1
0,25 đ
+
+
+
ab + bc + ca ≥ a + b + c
( )
a + b b + c c + a 2
Câu IV
1,0đ)
Gꢔi M là trung ꢄiꢌm BC, hꢎ AH vuông góc vꢒi A’M
BC ⊥ AM
(
0
,25 đ
Ta có:
⇒ BC ⊥ (AA'M ) ⇒ BC ⊥ AH .
BC ⊥ AA'
a
Mà AH ⊥ A'M ⇒ AH ⊥ (A'BC) ⇒ AH = .
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
2
1
1
1
a 6
Mꢙt khác:
=
+
⇒ AA' =
.
2
2
2
AH
A' A
3
AM
4
3a
2
KL: VABC.A'B'C '
=
.
1
6
Câu Va
1,0đ)
Gꢔi d là ꢟT cꢠn tìm và A
(
a;0
)
, B
(
0;b
)
là giao ꢄiꢌm cꢇa d vꢒi Ox,
(
0
,25 đ
x
y
2 1
Oy, suy ra: d : + =1 . Theo giꢀ thiꢂt, ta có: + =1, ab = 8 .
a b
a b
Khi ab = 8 thì 2b + a = 8. Nên: b = 2;a = 4 ⇒ d : x + 2y − 4 = 0 .
0,25 đ
1
Khi ab = −8 thì 2b + a = −8. Ta có:
2
b + 4b − 4 = 0 ⇔ b = −2± 2 2 .
0
,25 đ
Vꢒi b = −2 + 2 2 ⇒ d : 1− 2x + 2 1+ 2 y − 4 = 0
2
(
)
(
)
Vꢒi b = −2 − 2 2 ⇒ d : 1+ 2x + 2 1− 2 y + 4 = 0 . KL
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
3
(
)
(
)
Câu VIa
2,0đ)
Ý 1
(1,0đ)
2
.
2
ꢟK: 0 < x < 6 . BPT ⇔ log 2x + 4x > log
(
6 − x
)
2
(
)
2
(
2
2
Hay: BPT ⇔ 2x + 4x >
2
⇔ x +16x −36 > 0
(
6 − x
)
Vꢜy: x < −18 hay 2 < x
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
So sánh vꢒi ꢄiꢗu kiꢏn. KL: Nghiꢏm BPT là 2 < x < 6.
2
Ta có y' = 3x −6(m +1)x + 2(m + 7m + 2)
2
Ý 2
(1,0đ)
2
2
HS có Cꢟ, CT khi phưꢉng trình 3x − 6(m +1)x + 2(m + 7m + 2) = 0 có
0
,25 đ
hai nghiꢏm phân biꢏt. Hay m < 4 − 17 hoꢙc m > 4 + 17
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
-
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
-
WWW.MATHVN.COM -
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
=
=======================================================================
Chia y cho y’ ta có y = y '(x)q(x) + r(x) ;
2
r(x) = − (m −8m −1)x + (m + 5m + 3m + 2)
2
0,25 đ
2
3
2
3
3
y'(x) = 0
Toꢎ ꢄꢛ ꢄiꢌm cꢁc trꢆ là nghiꢏm cꢇa hꢏ
⇒ y = r(x)
y = y '(x).q(x) + r(x)
Vꢜy phưꢉng trình ꢄưꢊng thꢋng cꢠn tìn là
2
y = − (m −8m −1)x + (m + 5m + 3m + 2)
2
0,25đ
2
3
2
3
3
2
2
2
2
Câu Vb
1,0đ)
x
y
PTCT elip có dꢎng:
+
=1(a > b > 0)
(
0,25 đ
a
b
2
a − b = 3
2
Ta có:
0,25 đ
3
2
1
2
+
= 1
a
4b
3
Ta có: 4b −b −3 = 0 ⇔ b =1(th),b = − (kth)
4
2
2
2
0,25 đ
0,25 đ
0,50 đ
0,25 đ
4
2
2
y
=1
1
x
2
Do ꢄó: a = 4 . KL:
+
4
Câu VIb
2,0đ)
Ý 1
(1,0đ)
2
2
( )
y + x = x + y ⇔ y − x)( y + x −1= 0 ⇔ y = x, y =1− x .
(
x
2−x
x
Khi: y =1− x thì 2 = 3 ⇔ 6 = 9 ⇔ x = log 9
6
x
x
Khi: y = x thì 2 = 3
x+1
2
3
⇔
= 3 ⇔ x = log 3.
2
0,25 đ
3
Ý 2
Gꢔi M(a;b) là mꢛt ꢄiꢌm thoꢀ mãn ꢄꢗ bài. Khi ꢄó ꢄưꢊng thꢋng qua M
(1,0đ) có dꢎng y = k(x − a) + b
Sꢡ dꢖng ꢄiꢗu kiꢏn tiꢂp xúc cho ta hꢏ
1
1
x −1+
= k(x − a) + b
x −1+
x −1−
= k(x − a) + b
= k(x −1)
(1)
x −1
x −1
1
0,25 đ
⇔
1
1
−
= k
(*)
1
(2)
2
(x −1)
x −1
1
Lꢑy (1) – (2) ta có
=
[
k(1− a) + b
]
x −1 2
Kꢂt hꢝp vꢒi (*) cho ta
k ≠1
k ≠1
0,25 đ
2
⇔
k(1− a) +b
2
(a −1) k + 2
2
2
k + b − 4 = 0
1
−
= k
[
(1− a)b + 2
]
2
ꢟꢌ tꢘ M kꢞ ꢄưꢝc hai tiꢂp tuyꢂn vuông góc ꢄꢂn ꢄꢅ thꢆ hàm sꢈ thì hꢏ
phưꢉng trình trên phꢀi có 2 nghiꢏm phân biꢏt k , k sao cho k .k = −1
1
2
1
2
-
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
-
WWW.MATHVN.COM -
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
=
=======================================================================
a −1≠ 0
a ≠1
2
b − 4
2
⇔ (a −1) + b = 4
2
Hay
= −1
2
a −1)
0,25 đ
(
−
a + b +1≠ 0
2 2
[ ]
a −1) + 2 (1− a)b + 2 + b − 4 ≠ 0
(
Vꢜy tꢜp hꢝp ꢄiꢌm M thoꢀ mãn yêu cꢠu bài toán thuꢛc ꢄưꢊng tròn
2
2
)
x −1 + y = 4 trꢘ bꢐ ꢄi 4 giao ꢄiꢌm cꢇa ꢄưꢊng tròn này vꢒi 2 ꢄưꢊng 0,25 đ
(
thꢋng : x = 1 và –x + y + 1 = 0.
------------------------------HẾT------------------------------
-
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
-
WWW.MATHVN.COM -
© 2024 - nslide
Website chạy thử nghiệm. Thư viện tài liệu miễn phí mục đích hỗ trợ học tập nghiên cứu , được thu thập từ các nguồn trên mạng internet ... nếu tài liệu nào vi phạm bản quyền, vi phạm pháp luật sẽ được gỡ bỏ theo yêu cầu, xin cảm ơn độc giả