Tính đơn điệu của hàm số
A. Lý Thuyết:
Hàm số đơn điệu:
Cho hàm số f xác định trên khoảng K, trong đó K là một khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng.
* f đồng biến trên K nếu với mọi 
* f nghịch biến trên K nếu với mọi
Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó :
* Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì 
với mọi 
* Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì 
với mọi
Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:
Định lý 1:Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân ( Định lý Lagrange)
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm 
sao cho f(b)-f(a)=f'( c) ( b-a)
Định lý 2:1) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I
* Nếu 
và 
chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I.
* Nếu
và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số nghịch biến trên I.
* Nếu
thì hàm số f không đổi trên I
2) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoảng [a,b) và có đạo hàm trên khoảng (a,b).
* Nếu 
với mọi 
thì hàm số f đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên nửa khoảng [a,b)
* Nếu với mọi thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a,b)
B. Bài Tập :
Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi 
phương trình 
có một nghiệm duy nhất
thuộc đoạn 
Bài giải:
Xét hàm số
liên tục trên đoạn
Ta có
Vì sinx > 0 nên 
Hàm số đồng biến trên đoạn 
và nghịch biến trên đoạn 
* Hàm số f liên tục trên đoạn
, ta có 
, nên phương trình cho không có nghiệm
* Hàm số f liên tục trên đoạn ta có 
. Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục
( lớp 11) , với mọi 
, tồn tại một số thực
sao cho f( c) = 0 , với c là nghiệm phương trình , đồng thời hàm số f nghịch biến trên đoạn phương trình có nghiệm duy nhất
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc
Bài tập 2: Tìm m để hàm số sau đồng biến trên R 
Bài giải:
Để hàm số đồng biến trên R thì 
* 
!/ m = -2 thì 
không thỏa
!!/ m = 0 thì 
đúng 
. Vậy m = 0 thỏa
*
, khi đó để 
thì
Vậy 
hàm số đổng biến trên R
Bài tập 3: Cho hàm số : 
. Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5
Bài giải :
* Tập xác định : D = R
*
* 
, khi đó phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt 
Để hàm số luôn nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5 thì 
thỏa mãn
Bài tập tự luyện:
1/Chứng minh rằng phương trình 
có 1 nghiệm duy nhất.
2/Cho hàm số
có đồ thị là ( Cm); m là tham số.
a. Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4.
c. Tìm m để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.
Bài tập 4:Với giá trị nào của m thì hàm số
luôn luôn đồng biến?
Bài giải:
* Tập xác định D = R
* 
; với 
* Để hàm số đồng biến trên D khi
Bài tập 5:Cho hàm số
. Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng 
Bài giải:
. Để hàm số đồng biến trong khoảng 
PP1:
, do đó
PP2:
* m = 0 khi đó 
. Thế m = 0 có nhận không nhỉ ???
*
!/ Hàm số đồng biến trên D khi Do đó với 
thì hàm số cũng đồng biến trong khoảng 
!!/ Giả sử
thì pt y'=0 có hai nghiệm phân biệt 
Hàm số đồng biến trong khoảng khi ta có hệ Kết hợp các trường hợp được giá trị m cần tìm
Bài tập tự luyện:
1/Định m để hàm số
luôn luôn nghịch biến ?.
2/Định m để hàm số 
luôn luôn đồng biến ?.
3/ Định m để hàm số 
luôn luôn giảm
4/ Cho hàm số 
. Tìm m để
5/ Định m để hàm số 
đồng biến trong khoảng
6/ Định m để hàm số 
nghịch biến trong khoảng 
